17 因式分解-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版）

第十七章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 第1课时用提公因式法分解因式(1) √针对训练 1.下列从左到右的变形属于因式分解的是5.分解因式： (1)x2+3x; A.x(x-y)=x2-xy B.x2+2xy+1=x(x+2y)+1 C.(y-1)(y+1)=y2-1 D.x2-2x+1=(x-1)2 (2)2a2-3ab; 2.如果多项式2x十B可以分解为2(x十 2),那么B为 A.2 B.2x C.4 D.4x 3.多项式a2十3ab各项的公因式是( (3)-8m2+16mn-8n. A.a B.a2 C.3a D.ab 4.若多项式x2十ax十b可因式分解为(x十 9)(x一6)，则a的值为 第2课时 用提公因式法分解因式(2) √针对训练 1.把多项式9ab2-18ab分解因式时，应 D.5x4+25x2=5.x2(x2+5) 提出的公因式是 () 4.分解因式： A.9a26 B.9ab2 C.a2b2 D.18ab2 (1)-3x2+6xy-9xz; 2.把2(a-3)+a(a-3)提取公因式a-3 后，另一个因式为 ( ) A.2-a B.a+2 C.a-2 D.-2-a (2)6(+q)一4q(p+q). 3.下列因式分解正确的是 A.2m2-6m=m(2m-6) B.2πR-2πr=2π(R-2πr) C.a2-ab+a-a(a-6) ·34· 17.2用公式法分解因式 第1课时运用平方差公式分解因式 √知识梳理 运用平方差 a2-b2= ,即两个数的 等于这两个数的 与这 公式分解因式 两个数的 的 针对训练 1.把a2一4分解因式，结果是 ( 分解因式，则“口”的部分可以是 A.(a-8)(a+8) B.(a-4)(a+4) .(写出一个即可) C.(a-2)(a+2) D.(a-2)2 8.分解因式： 2.下列各式是多项式x2一36的因式的是 (1)1-x2; ( ) A.x-3 B.x-4 C.x-6 D.x-9 3.下列多项式不能使用平方差公式分解因 式的是 ( (2)4x2-y2; A.-m2-n2 B.-16.x2+y2 C.62-a2 D.4a2-49n2 4.下列因式分解正确的是 ( ) A.a2-b2=(a-b)2 B.-m2+n2=(n十m)(n-m) (3)(a-2b)2-4a2; C.x2+4y2=(x+2y)2 D.x2-4y2=(x+4y)(x-4y) 5.计算852一15的结果正确的是( A.6300 B.7000 (4)-16+a262. C.7400 D.8200 6.若x十y=2,x2一y2=8,则x一y的值为 7.小贤在抄题目时，不小心漏抄了二项式 a2一☐b中“口”的部分，若该二项式能 ·35· 第2课时运用完全平方公式分解因式 知识梳理 运用完全平方 a2±2ab+b2= ,即两个数的 加上（或减去）这两个数的 公式分解因式 等于这两个数的和（或差）的平方 针对训练 1.下列式子中，能用完全平方公式进行因7.分解因式： 式分解的是 ( ) (1)a2-10a+25; A.x2-1 B.x2+xy+y2 C.x2-2x+1 D.x2+2x-1 2.多项式x2一4x十4因式分解的结果是 ( (21+x+, A.x(x-4)+4 B.(x十2)(x-2) C.(x+2)2 D.(x-2)2 3.若关于x的多项式x2一4x十m能用完 全平方公式进行因式分解，则常数m的 值为 ( ) A.2 B.-4 (3)-a2+6ab-9b2; C.4 D.16 4.下列因式分解正确的是 A.4a2-4a+1=4a(a-1)+1 B.a2-4b2=(a+4b)(a-4b) C.4a2-12a+9=(2a-3)2 (4)9(x+y)2-6(x+y)+1. D.2ab-a2-b2=-(a+b)2 5.分解因式： (1)9x2+6x+1= (2)a2+4ab+4b= 6.已知正方形的面积是(16一8x+x2)cm2 (x>4),则该正方形的边长是 cm. ·36· 第3课时综合运用公式法分解因式 针对训练 1.将多项式3x2一6x十3分解因式，下列结 (2)m2n+6mn+9n; 果正确的是 ( A.3(x2-2x) B.3x(x-2) C.3(x2-2x+1) D.3(x-1)2 2.将多项式x一1分解因式，结果是（) A.(x2+1)(x2-1) B.(x-1)(x+1)(x2+1) (3)b2(a-b)+4(b-a); C.(x十1)2(x-1)2 D.(x-1)(x+1)3 3.下列各式不是多项式a3b一4ab的因式 的是 ( A.ab B.a+2C.a-2D.a-4 4.下面是甲、乙两名同学因式分解一x3十x (4)(x2+y2)2-(2xy)2; 的结果，下列判断正确的是 甲同学：原式=一x(x十1)(x一1)； 乙同学：原式=x(1+x)(1一x). A.只有甲的结果正确 B.只有乙的结果正确 C.甲、乙的结果都正确 (5)16x4-y; D.甲、乙的结果都不正确 5.分解因式： (1)x4-x2= (2)-4a2+16a-16= 6.分解因式： (6)81x4-18x2+1. (1)x3y-4xy3; ·37·其存储容量为21B. 16.1.2幂的乘方与积的乘方 知识梳理 底数指数am乘方相乘a“b”(a)m(ab)n 针对训练 1.C2.A3.D4.B5.D6.9 7.解：(1)原式=m°·m5=m14.(2)原式=23·(x2)3-x6=8x5-x5=7x5.(3)原式= -b(-5)=6.(4)原式=[25×（方）门=(-1)°=1.(5)原式=。+a+ (-2)2·(a4)2=2a8+4a8=6a8. 8.解：9"X27+1=81,.(32)"X(33)+1=3.∴.32mX33m+3=34,即35a+3=34.∴5n十 3=4,解得n=方 1 16.2整式的乘法 第1课时单项式与单项式相乘 知识梳理 系数同底数幂指数 针对训练 1.D2.B3.C4.A 5.解：（原式-「-号×(-4x·)=10x.(2)原式=[2×(-4]2·0y )·=-8x.(3原式=4xy·（合）-[4×(-合)门x·x)g·” ·x=-2x7y3x. 6.解：1光年=(3×108)×(3×10)=(3×3)×(108×10)=9×1015(m).9×1015m= 9×1012km.答：1光年约是9×1012km. 第2课时单项式与多项式相乘 知识梳理 每一项相加pa十b十pc 针对训练 1.C2D3A4号a+号b5.-号 6.解：1)原式=3a,号b+3a2·G=a6+3a2以.(2)原式=-2z·2十(-2a)· (-2x)+(-2x)X3=-2x3+4x2-6x.(3)原式=（-x2-xy十y2)·x2y2=-x2· x2y2+(-xy)·x2y2+y2·x2y2=-xy2-x3y3+x2y4. 7.解：原式=-合22x+(合)（-4y)+4ry=-y+2xy+ 4x3y2=3x°y2+2xy2.当x=2,y=-1时，原式=3×23×(-1)2+2×24×(-1)2=56. 第3课时多项式与多项式相乘 知识梳理 每一项每一项积ap十aq十bp十bg 针对训练 1.C2.B3.B4.a2+4a+35.6 6.解：(1)原式=2a·(-a)+2a·(-3)+5·(-a)+5×(-3)=-2a2-6a-5a-15 =-2a2-11a-15.(2)原式=2x·x+2x·5y+(-3y)·x+(-3y)·5y=2x2+ 10xy-3.xy-15y2=2x2+7xy-15y2.(3)原式=(2a-1)(2a-1)=2a·2a+2a· (-1)+(-1)·2a+(-1)×(-1)=4a2-2a-2a+1=4a2-4a+1.(4)原式=x·x2 +x·(-xy)+x·y2+y·x2+y·(-xy)+y·y2=x3-x2y十xy2+x2y-xy2+y =x3+y3. 7.解：(1)绿化的面积是(2a+b)(a+b)-a2=2a2+3ab+b2-a=a2+3ab+b(m2). (2)当a=3,b=2时，a2+3ab十b2=32+3×2×3+22=31.∴.绿化的面积为31m2. 46 第4课时同底数暴的除法 知识梳理 不变相减am-?11 针对训练 1.B2.B3.D4.C5.6 6.解：(1)原式=m22-2=m20.(2)原式=-x8÷(-x5)=x8-5=x8.(3)原式= (x2y)5-2=(x2y)3=x5y3.(4)原式=a2m+4-m-2)=am+6. 7.解：(1)3-m=3÷32m=3”÷(3m)2=36÷22=9.(2)由(1)知3-m=9=32,.n-2m =2.∴.2m÷4m=2m÷(22)m=20÷22m=2m-2m=22=4. 第5课时单项式除以单项式 知识梳理 系数同底数幂字母指数 针对训练 1.D2.D3.(1)4y(2②)-号a64.1.4X10 5.解：(1)原式=(-8÷2)x5-2y2-1=-4x3y.(2)原式=[-3÷(-9)]a3-1b2-2c= 3)原式=[1.5÷(-3)]×(10°÷10)=-0.5×105=-5×10.( -6a*b÷6a2b=-a2b. 6.解：(1)根据题意，得这条边上的高为2×8(a2b)3÷(2ab)2=16a°b3÷4a2b2=4a4b. (2)(a562)2÷a2b2=ab÷a2b=a86=4,.(ab)2=4..ab>0,∴a*b=2.∴.4a*b =8,即这条边上的高为8. 第6课时多项式除以单项式 知识梳理 每一项相加 针对训练 1.B2.B3.A4.A5.5y2-3y+16.-3 7.解：(1)原式=12x2y3÷4xy2-8x3y2÷4x2y2=3y-2x.(2)原式=12x3÷(-4x)+ 8x2÷(-4x)-16x÷(-4x)=-3x2-2x+4.(3)原式=20x3y5÷（-5x3y2)+10xy ÷(-5x3y2)-20x3y2÷(-5x3y2)=-4y3-2xy2+4.(4)原式=(12x6-16x5)÷4x =12x8÷4x3-16.x5÷4x3=3x3-4x2. 8.解：原式=4xy3-2x2y2+3.当x=-1,y=1时，原式=4×(-1)×13-2×(-1)2× 12+3=-4-2+3=-3. 16.3乘法公式 16.3.1平方差公式 知识梳理 a2-b2和差平方差 针对训练 1.D2.A3.A4.10010010029999 5.解：(1)原式=52-(4x)2=25-16x2.(2)原式=(ax)2-=a2x2-b.(3)原式= (-2-x)(-2+x)=(-2)2-x2=4-x2.(4)原式=(60-0.2)×(60+0.2)=602一 0.22=3599.96. 6.解：原式=x2-x-(x2-4)=x2-x-x2十4=-x十4.当x=24时，原式=-24十4 =-20. 16.3.2完全平方公式 第1课时完全平方公式 知识梳理 a2+2ab+b2a2-2ab+b2平方和2 -47 针对训练 1.D2.C3.C4.B5.(1)42(2)12x(3)8ab6.19 7.解：(1)原式=m2-2m·3n2+(3n2)2=m2-6mn2+9n.(2)原式=p2-6pg十9q2. 8.解：原式=x2-3x十x2+2x+1=2x2-x十1.，2x2-x-7=0,2x2-x=7..原式 =7+1=8. 第2课时添括号法则 知识梳理 不变改变 针对训练 1.C2.B3.C4.B5.2029 6.解：(1)原式=[(m十1)-n][(m十1)十n]=(m十1)2-n2=m2+2m十1-n2.(2)原式 =[(x-y)-1]2=(x-y)2-2(x-y)+1=x2-2xy十y2-2x+2y+1.(3)原式=[(2a +3b)-1][(2a+3b)+1]=(2a+3b)2-1=4a2+12ab+9b-1.(4)原式=-(2a-b- c)2=-[2a-(b+c)]2=-[4a2-4a(b+c)+(b+c)2]=-4a2+4ab+4ac--2bc-c2. 第十七章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 第1课时用提公因式法分解因式(1) 针对训练 1.D2.C3.A4.3 5.解：(1)原式=x·x+x·3=x(x十3).(2)原式=a·2a-a·3b=a(2a-3b).(3)原 式=-8(m2-2mn+n). 第2课时用提公因式法分解因式(2) 针对训练 1.B2.B3.D 4.解：原式=-3.x(x-2y十3z).(2)原式=(p+q)(6p-4q)=2(p十q)(3p-2q). 17.2用公式法分解因式 第1课时运用平方差公式分解因式 知识梳理 (a十b)(a-b)平方差和差积 针对训练 1.C2.C3.A4.B5.B6.47.4(答案不唯一) 8.解：(1)原式=(1十x)(1-x).(2)原式=(2x)2-y2=(2x十y)(2x-y).(3)原式=(a -2b+2a)(a-2b-2a)=(3a-2b)(-a-2b)=-(3a-2b)(a+2b).(4)原式=a2- 16=(ab)2-42=(ab+4)(ab-4). 第2课时运用完全平方公式分解因式 知识梳理 (a士b)2平方和积的2倍 针对训练 1.C2.D3.C4.C5.(1)(3x+1)2(2)(a+2b)26.(x-4) 7.解：1)原式=a2-2a5+52=(a-5识.(2)原式=1+21…之x+(合)- 1 (1+2x）.(3)原式=-(a2-6ab+9b)=-[a2-2·a·3b+(3b)]=-(a-3b)3. (4)原式=[3(x+y)]2-6(x+y)+1=(3x+3y-1)2. 第3课时综合运用公式法分解因式 针对训练 1.D2.B3.D4.C 5.(1)x2(x-1)(x+1)(2)-4(a-2)2 -48 6.解：(1)原式=xy(x2-4y2)=xy(x+2y)(x-2y).(2)原式=n(m2+6m十9)=n(m +3)2.(3)原式=(a-b)(b-4)=(a-b)(b+2)(b-2).(4)原式=(x2+y2+2xy)(x2 +y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2.(5)原式=(4x2+y2)(4x2-y2)=(4x2+y2)(2x+ y)(2x-y).(6)原式=(9x2)2-2·9x2·1+12=(9x2-1)2=[(3x-1)(3x十1)]= (3x-1)2(3x+1)2. 第十八章分式 18.1分式及其基本性质 18.1.1从分数到分式 知识梳理 字母≠0 针对训练 1.B2.B3.C4.-15.1)120(2)m4 a m+r 6.解：婴使分式2有意文，则分母2-2≠0，即x≠2.(2)婴使分式3千有意义， 则分母3x十4≠0，即x≠-手.(3)要使分式，有意义，侧分母x十≠0，即≠一 z+y 18.1.2分式的基本性质 第1课时分式的基本性质 针对训练 1.D2.B3.D4.(1)10a2b(2)3y(3)2a2+2ab 1 ab x一4 5.解：I)a6≠0，&66.交(2)”x=4≠0， 二少=1 (x-4)2÷(x-4)x-4 第2课时分式的约分、通分 针对训练 1.D2.C3.B 4.解：(1)一2xy 1 (2)mn m十n x=x2,x=x·2x=2x2 5.解：(1)最简公分母是2xy2x2x'y-y·2z2xy (2)最简公分母是(x十2)(x 2 2 -2)4= x(x+2) (x+2)(x-2)'x-2=(x+2)(x-2)1 18.2分式的乘法与除法 第1课时分式的乘除 知识梳理 分子分母只：治服倒位置相菜8： b.d 针对训练 °a+6(a-b) 1.A2.D3.B4.265.> 6解：1原武-a+2a-2》·a千2-aat99-2》-aa-2》-d-2a2原式-. a+2 ab a+0-万兰63原式-女2义.计3y-士红x+32- ab a 4x(x+3y)x-y 4x(x+3y)(x-y) 4x 第2课时分式的乘方及乘除混合运算 知识梳理 " 6 针对训练 1.B2.A3.C 49 云+x-刀2x-）.生y=2(④原式=a=2.a x ar6·6-a·(a+b)(a-b)= a(a+6)_a2+ab 5.解：原式=5x-3 2x.-(5x+3)(5x-3）.x 3 ·千=一号2.当=-1时原式=子 3 18.3分式的加法与减法 第1课时分式的加减 知识梳理 不变士也通分同分母 针对训练 1.C2.C3.B4.D5.3 6.解：(1)原式=号-a+)a-D=a-1.(2)原式=。-(a+b)a-= a+1 a+1 a-b 拉-。原式-》-2-号年 a2-a2+&=2 第2课时分式的混合运算 针对训练 1.A2.C3.D4.(1)0(2)15.-1 6解：0原式=一兰·若十之·子=一若+若-0(2)原式=。2号.。 a-23-a 2g2=-28)原式-[所]÷4=. a-23-a a2+2a+1=1 (a十1)2=1 a2-1=a+1'a+)a-D-a 18.4整数指数幂 第1课时负整数指数暴 针对训练 1.A2.C3.y x 4.解：1)原式=12a2+16+-D=12a1=号.(2)原式=一m2÷(一m)=m26= (8)原式=a护·a63=at6=a61=云4)原式=9-2X1×2=5。 1 第2课时用科学记数法表示绝对值小于1的数 针对训练 1.B2.A 3.解：(1)原式=(2×3)×(10-3×10-3)=6×10-6.(2)原式=(16×10-14)÷(4× 10-10)=4×10-4. 18.5分式方程 第1课时分式方程及其解法 知识梳理 未知数 针对训练 1.A2.A3.B4.75.(1)-5（2)1 6.解：（1)方程两边乘3一x,得2x十1=一3十x,解得x=一4.检验：当x=一4时，3一x ≠0..原分式方程的解为x=一4.(2)方程两边乘x(x一1)，得3x=x十4，解得x=2. 检验：当x=2时，x(x一1)≠0.∴.原分式方程的解为x=2.(3)方程两边乘2(2x一1)， 得2=2x一1-3，解得x=3.检验：当x=3时，2(2x-1)≠0.∴.原分式方程的解为x= 3.(4)方程两边乘x2-1,得x(x-1)一4=x2-1,解得x=-3.检验：当x=一3时，x2 -50 一1≠0.'.原分式方程的解为x=一3. 第2课时分式方程的应用 针对训练 1.D2.B3.D 4.解：设《水浒传》的单价为x元，则《三国演义》的单价为(x十10)元.根据题意，得 570=2×器解得=4低经检，=8是原分式方程的解，且符合题意。十 x 10=58.答：《水浒传》的单价为48元，《三国演义》的单价为58元. 5.解：设小刚跑步的平均速度为工m根据题意，得12+1.5-19，解得x一150 经检验，x=150是原分式方程的解，且符合题意.答：小刚跑步的平均速度为150m/min, 提分小卷 阶段小测（一） 1.C2.B3.B4.B5.B6.C7.EC∠ACE8.119.310.90°或50 11.解：直角三角形是△ABD,△BCD,△BCE,△CDE.钝角三角形是△ADE. 12.解：1)AE,CD如图所示.(2)①4②3 、8 B D 13.证明：，PA平分∠MPN,.∠APM=∠APN.PM∥AC,PN∥AB,∴.∠APM= ∠PAN,∠APN=∠PAM..∠PAM=∠PAN,即∠BAD=∠CAD.∴.AD是△ABC 的角平分线。 14.解：(1)(a-b)2十(b-c)2=0,.a一b=0,b-c=0..a=b=c,.△ABC是等边三 角形.(2)a=6,b=4,.a-b<c<a十b,即2<c<10..c为整数，.当c=9时， △ABC的周长最大，最大值为6+4+9=19. 15.解：设腰长为xcm.分两种情况讨论：①当底边长大于腰长时，底边长为(x十6)cm. 由题意，得2x十(x十6)=18，解得x=4..x十6=10..腰长为4cm,底边长为10cm. ,4十4<10，.不能围成腰长为4cm的等腰三角形；②当底边长小于腰长时，底边长为 (x-6)cm.由题意，得2x+x一6=18，解得x=8..腰长为8cm,底边长为2cm.,2+十 8>8,∴.能围成腰长为8cm的等腰三角形.综上所述，三角形各边的长分别为8cm, 8 cm,2 cm. 16.解：延长BD,交AC于点H,甲猴沿B→D→C的线路行走的距离为BD十DC,乙猴 沿B→A→C的线路行走的距离为AB十AC.,AB+AH>BD+DH,CH>DC-DH, ∴.AB+AH+CH>BD+DH+DC-DH,即AB+AC>BD+DC.,两只猴子同时以 相同的速度行走，∴.甲猴先到达C地. 几何专练（一）与三角形的角有关的计算及证明 1.解：∠BEC=95°，∠A=65°，∴.∠ABE=∠BEC-∠A=30°.'BE平分∠ABC, ∠CBE=∠ABE=30°.，DE∥BC,∴.∠BED=∠CBE=30°. 2.解：(1)∠BAD三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和40°(2)，∠B= 40°，∠BAC=70°，.∠C=180°-∠B-∠BAC=70° 3.解：由题意，得DB∥AE,∠BAE=40°，∠CAE=10°，∠DBC=85°，.∠BAC= ∠BAE+∠CAE=50°，∠DBA=∠BAE=40°.∴.∠ABC=∠DBC-∠DBA=45. .∠C=180°-∠BAC-∠ABC=85. 4.证明：，AD⊥BC,∴∠ADB=90°..∠BED+∠EBD=90°.，BF平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠EBD.∠BED+∠ABE=90°.∠1=∠BED,∠1=∠2，∴∠BED= ∠2.∴.∠2+∠ABE=90°.∴∠BAC=180°-（∠2+∠ABE)=90°.∴.△ABC是直角三 -51