高一数学上学期期末模拟卷（提高篇）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷（提高篇） 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第一册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知集合，且的元素个数为2，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（5分）已知为实数，且．则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（   ）倍．（参考数据：） A．1.8 B．18 C．63 D．128 4．（5分）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   6．（5分）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 7．（5分）函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数不是中心对称图形 B．函数在上只有1个零点 C．函数在上有2个零点 D．函数的最大值为1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（6分）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象 D．若方程在上有且只有一个实数根，则m的取值范围是 11．（6分）已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数是奇函数 D．若对任意，成立，则实数的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）设, 用二分法求方程在区间内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间 内. 13．（5分）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 14．（5分）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 16．（15分）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 17．（15分）已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 18．（17分）已知函数 是定义域为 的奇函数，且 . (1)求函数 的表达式； (2)判断函数 在 上的单调性，并用定义证明; (3)设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 19．（17分）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知集合，且的元素个数为2，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】依据题意得到，计算即可. 【解答过程】由题意得，得． 则的取值范围为. 故选：A. 2．（5分）已知为实数，且．则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】利用必要、充分条件的定义判断即可． 【解答过程】，推不出，例如：此时推不出“”， 反之，，推不出，例如：此时推不出“”， 所以是既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（5分）2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（   ）倍．（参考数据：） A．1.8 B．18 C．63 D．128 【答案】C 【解题思路】根据题意可得，进而求出和时地震的最大振幅，进而求解即可. 【解答过程】由，则，即， 当时，地震最大振幅为， 当时，地震最大振幅为， 则. 故选：C. 4．（5分）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】运用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 5．（5分）函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，进而得到大致图象． 【解答过程】函数（且）中由得， 则函数过定点， 设，代入可得，解得， 故幂函数，则B选项图象符合. 故选：B. 6．（5分）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【解题思路】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【解答过程】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 7．（5分）函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】本题考查函数的值域.由题可得在上的值域，以及在上的值域，要使，有，则在上的值域为在上的值域的子集，利用集合间的基本关系确定参数的范围即可. 【解答过程】由题可得，要使，有， 则在上的值域为在上的值域的子集， 在上单调递减，∴函数在上的值域为， 为开口向上的二次函数，其对称轴为， 当，即时，在上单调递增，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上单调递减，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上的值域为， ∴，解得，∴. 综上，的取值范围为. 故选：A. 8．（5分）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数不是中心对称图形 B．函数在上只有1个零点 C．函数在上有2个零点 D．函数的最大值为1 【答案】C 【解题思路】通过判别的奇偶性可判别A；分情况求函数的零点可判别B、C；通过求复合函数的值域可判别D. 【解答过程】对于A，因为，，， ，∴是中心对称图形，故A不正确； 对于B，C，当时，，令得，解得； 当时，，令得，解得. 所以函数在上有2个零点，故B不正确，C正确； 令，因为，而在上单调递增，所以，即函数的最大值为.故D不正确 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解题思路】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【解答过程】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．（6分）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象 D．若方程在上有且只有一个实数根，则m的取值范围是 【答案】AC 【解题思路】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【解答过程】由函数图象可得，由，解得，故A正确； 所以，又函数过点，即， 所以，，即，，又，所以， ∴， 对于B：当时，， 所以的图象不关于点对称，故B错误； 对于C：将函数的图象向右平移个单位得到： ，故C正确； 对于D：当时，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 又，，， 故方程在上有且只有一个实数根时，则的取值范围是，故D错误． 故选：AC. 11．（6分）已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数是奇函数 D．若对任意，成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解题思路】对于A：赋值，令即可得结果；对于B：先求得，再结合题意即可判断；对于C：根据奇函数的定义分析判断即可；对于D：根据奇偶性和单调性可得，结合恒成立问题分析求解. 【解答过程】因为对任意，满足， 对于选项A：令，可得，即，故A正确； 对于选项B：因为，且， 可得，即， 又因为函数在上单调，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于选项C：设， 令，可得， 即，可得， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于选项D：因为，即， 可得， 又因为函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 可得，且，整理可得， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 可得，则， 所以实数的取值范围是，故D正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）设, 用二分法求方程在区间内近似解的过程中, 计算得到则方程的根落在区间 内. 【答案】 【解题思路】根据零点存在性定理，结合题设条件即可得解． 【解答过程】因为，可得方程的根落在区间内． 故答案为：． 13．（5分）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（5分）已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】画出函数的图象，问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，利用数形结合思想、化归思想，利用对钩函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】函数与直线的图象如下图所示： 因为方程有四个不同根， 所以函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图可知：， 因为二次函数的对称轴为， 所以， 由及图象可得， 因为， 所以由 ， 因为，所以， 于是， 由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减， 所以有， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1) ， 或； (2) 【解题思路】（1）利用交集和并集概念求出答案； （2）先得到，，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）时，，又或， 故 或 ， 或 或； （2），故， ， 当时，，解得，与矛盾，舍去， 当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 16．（15分）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)150台，万元 【解题思路】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方法和基本不等式求最值，再比较大小得解即可. 【解答过程】（1）当时，； 当时， ， 则. （2）当时，， 当时，万元. 当时， 万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，则当该产品的年产量为150台时， 该公司所获年利润最大，最大年利润是万元. 17．（15分）已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【解题思路】（1）根据题意，结合函数的图像分别求得，再由正弦型函数的对称中心公式代入计算，即可得到结果； （2）由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果； （3）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）根据函数的部分图像， 可得，，所以， 再根据五点法作图，可得，， 又因为，可得，所以， 令，，解得，， 故函数对称中心为，． （2）因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值域为． （3）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，得到的图像， 即． 令，，解得，， 可得的减区间为，． 18．（17分）已知函数 是定义域为 的奇函数，且 . (1)求函数 的表达式； (2)判断函数 在 上的单调性，并用定义证明; (3)设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上递增，证明见解析； (3) 【解题思路】（1）利用奇函数的性质可求得，再由的值，可求得，从而得到 的表达式. （2）用定义法判断证明在上的单调性即可. （3）将问题转化为，对进行分类讨论，结合一次函数的单调性，求得的取值范围. 【解答过程】（1）依题意函数是定义域为 的奇函数， 所以，所以 又，解得. 此时，经检验，该函数为奇函数． 故. （2）函数在上递增，证明如下： 任取，则，， 因为，，所以， 所以，故在上递增. （3）由（1）得 若对任意的，存在，使得成立，则 由（2）得在上递增，所以， 存在，成立，即 若，则在上为增函数， ， 若，则，此时符合题意． 若，则在上为减函数， ，符合题意 综上可知：. 即实数的取值范围是：. 19．（17分）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）将函数式代入待证式，计算即得证； （2）根据函数的单调性定义，和指数函数的单调性证明即可； （3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围. 【解答过程】（1） . （2）的定义域为，任取，，则，即， 由 ，可得， 故在上单调递增. （3）.因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，易知在区间上单调递增，故， 由可得，令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $