高二数学上学期期末模拟卷（提高篇）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第二册）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷（提高篇） 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册全册+选择性必修第二册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 2．（5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 3．（5分）设，向量，，，且，∥，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 4．（5分）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 5．（5分）已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 6．（5分）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 7．（5分）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知直线，则（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线与之间的距离为 10．（6分）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值1 B．在处的切线方程为 C．有两个零点 D．若在上恒成立，则 11．（6分）在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则 面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则 ． 13．（5分）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为 ． 14．（5分）《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 16．（15分）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 17．（15分）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； (3)若，求证：直线过定点. 19．（17分）已知函数，其中，e为自然对数的底数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在极小值点，且，求实数a的取值范围； (3)若函数有两个零点，，求证：. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据过两点的直线的斜率公式列方程求解. 【解答过程】因为经过，两点的直线的倾斜角为45°， 所以该直线的斜率，即，解得. 故选：C. 2．（5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义计算进行求解. 【解答过程】由， 则. 故选：D. 3．（5分）设，向量，，，且，∥，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【解答过程】由，∥，得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 4．（5分）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解题思路】由对数的运算性质可得，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【解答过程】解：等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：C． 5．（5分）已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】将双曲线渐近线分别与直线联立，求得两点的横坐标，结合可得，运算得解. 【解答过程】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率. 故选：D.      6．（5分）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程． 【解答过程】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A. 7．（5分）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【解答过程】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A. 8．（5分）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解. 【解答过程】因为，所以为上的奇函数． 又因为， 所以在上单调递增. 又恒成立， 所以，则， 因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知直线，则（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线与之间的距离为 【答案】CD 【解题思路】根据直线过定点、两直线垂直和平行的条件以及两平行直线的距离公式进行判断计算即可. 【解答过程】对于A：变形为， 令得，因此直线过定点，故A错误； 对于B：当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C：当时，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D：当时，则满足，得， 此时，， 则两直线间的距离为，故D正确. 故选：CD. 10．（6分）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得极大值1 B．在处的切线方程为 C．有两个零点 D．若在上恒成立，则 【答案】ABD 【解题思路】利用导数来研究原函数的单调性即可判断A，利用导数求切线方程即可判断B，利用方程的解即可判断C，利用分离参变量构造函数求导来研究函数最大值，即可判断D. 【解答过程】由题得， 所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得极大值1，故A正确； 由于，， 所以在处的切线方程为， 整理得：，故B正确； 由，所以只有一个零点，故C错误； 由，可得，构造，求导得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得最大值，所以，故D正确； 故选：ABD. 11．（6分）在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则 面 B．若，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【解题思路】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【解答过程】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确；      如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则 ． 【答案】4 【解题思路】由抛物线方程可得顶点坐标与焦点坐标，建立方程，可得答案. 【解答过程】由抛物线，则其顶点为，焦点，由题意可得，解得. 故答案为：. 13．（5分）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】由题意先求出切线方程，然后设曲线上的切点为，再由斜率及切线方程得出相应的方程组，从而可求解. 【解答过程】由题可得，所以在处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 设曲线上的切点为， 则，在处的切线斜率为，且， 解得，所以，则，所以. 故答案为：. 14．（5分）《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则 . 【答案】239 【解题思路】根据题意可得数列，的通项公式，再分析数列，结合周期性可知，即可得结果. 【解答过程】因为， 可知数列是首项为2，公差为3的等差数列，是首项为2，公差为4的等差数列， 可得， 又因为数列，的相同的数组成的数列为， 可知数列是首项为2，公差为12的等差数列，可得， 则数列依次为， 可得，所以. 故答案为：239. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【解答过程】（1）当时，满足，解得. 所以实数的值为. （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 16．（15分）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 【答案】(1)，. (2). 【解题思路】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出； （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. 【解答过程】（1）为等差数列，故， 因为，，所以， 整理得，解得或， 当时，，当时，， 因为，所以，，故， 此时，所以， 因为等比数列的首项，公比为3，得. （2）由题，， ， ， 两式相减得 ， 故. 17．（15分）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）证明平面即可； （2）取的中点，连接，以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量公式即可求解． 【解答过程】（1）连接与交于点， 在菱形中，， 底面平面， 平面，， 平面， 平面； （2）取的中点，连接， 为中点，中，， 底面底面， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设， ，即，由此可求， 设平面，平面的法向量分别为， ， ∴即取； 同理，即，取； 设二面角的平面角为，则， 二面角为锐二面角，二面角的余弦值为． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值； (3)若，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率公式，可得，将点坐标代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，即可求得答案. （2）分析可得直线l斜率存在，设方程为，与椭圆联立，根据韦达定理，可得、表达式，代入弦长公式，可得表达式，再求得O到直线MN的距离，代入面积公式，结合m的范围，即可得答案. （3）由，可得，将直线方程代入，结合韦达定理，化简可得或，分别讨论，分析检验，即可得答案. 【解答过程】（1）由题意得：，解得，椭圆方程为： （2）因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在. 设直线，代入，可得， 设，，则，， 因为弦的中点的纵坐标为， 所以，即， ， O到直线MN的距离， ， 由，，可得， 当即时，取得最大值. （3），， 即， ，， 代入（*）式，得， 即， 化简得， 即  ， 或， 当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去， 当时，则直线，此时直线过定点， 当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，， 此时，显然成立. 直线过定点. 19．（17分）已知函数，其中，e为自然对数的底数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在极小值点，且，求实数a的取值范围； (3)若函数有两个零点，，求证：. 【答案】(1)答案见详解 (2) (3)证明见详解 【解题思路】（1）求导可得，利用导数判断原函数的单调性； （2）求导构建，可知在存在零点，结合题意整理可得，构建，求导，利用导数分析单调性和符号，即可得结果； （3）整理可得，构建，，，利用导数结合单调性可得，，结合单调性分析证明. 【解答过程】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 设，则， 可知在单调递增，且， 当时，，即；当时，，即； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由题意可知：的定义域为，且， 设，则，可知在单调递增， 因为函数存在极小值点，所以在存在零点， 即，可得. 则，可得， 设，且， 当，，则； 当，，则. 可得，， 所以实数a的取值范围为. （3）令，可得， 由题意可得：， 构建，则， 不妨设，可得， 令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减，且， 可得， 构建，， 则， 可知函数在上单调递增，则，即， 则，且， 又因为在上单调递减，所以，即. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $