高二数学上学期期末模拟卷（基础篇）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第二册）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷（基础篇） 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册全册+选择性必修第二册第四章数列； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（5分）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 3．（5分）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 4．（5分）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 5．（5分）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 7．（5分）已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 10．（6分）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 11．（6分）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（   ）    A． B．与平面所成角的余弦值为 C．三棱柱的外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知，，，若，则的值为 . 13．（5分）若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 14．（5分）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 16．（15分）已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 17．（15分）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 18．（17分）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 19．（17分）如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知直线经过和两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出直线的斜率，从而得到倾斜角. 【解答过程】直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，解得. 故选：D. 2．（5分）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【解答过程】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 3．（5分）已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【解题思路】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【解答过程】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 4．（5分）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【解答过程】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 5．（5分）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出已知圆的圆心关于直线对称的点，再利用轴对称的性质求出半径，即得对称圆的方程. 【解答过程】由题意得圆的圆心坐标为，半径为． 设点关于直线对称的点， 则，解得，． 由轴对称的性质得新圆的半径为， 对称的圆的方程为，故A正确. 故选：A. 6．（5分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 【解答过程】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得， 所以谷雨日影长为（尺）. 故选：C. 7．（5分）已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设椭圆的左焦点为，不妨设，根据题意分析可得，，结合勾股定理可得，即可得离心率. 【解答过程】设椭圆的左焦点为，连接， 不妨设，则， 因为，且，可知为矩形， 则，， 又因为，， 即， 可得，，则， 在中，， 即，解得， 可得，则， 即，可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 8．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三棱锥放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的余弦值． 【解答过程】由题可知两两垂直，且． 因此，如图所示正方体内的三棱锥即为满足题意的鳖臑， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，    则，，，，，则，，． 设平面的法向量为， 则即 故可取．设直线与平面所成角为， 则，故， 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 【答案】CD 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项. 【解答过程】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确； D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确； 故选：CD. 10．（6分）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的定义可判断B，求出直线的方程并得到坐标可判断C，分别计算和的面积可判断D. 【解答过程】对于A，由抛物线，可得，所以，且焦点在轴正半轴上，则焦点，所以A错误； 对于B，由抛物线的方程得，由定义可得，所以B正确； 对于C，直线的方程分别为，，分别与联立得，，所以，所以C正确； 对于D，联立，得，解得， 所以，由，所以D错误． 故选：BC. 11．（6分）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（   ）    A． B．与平面所成角的余弦值为 C．三棱柱的外接球的表面积为 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【解题思路】根据线线的关系可判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法可求与平面所成角的余弦值，判断B；求出三棱柱的外接球的半径，即可求出外接球表面积，判断C；利用向量法求点到平面的距离，判断D. 【解答过程】对于A，连接，因为， 所以为等边三角形，则，而， 所以，故A正确； 以为原点，在平面内过点D作的垂线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， 对于B，平面的一个法向量为， ，设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的余弦值为，故B错误； 对于C，由题意知为等边三角形， 的外接圆半径， 三棱柱的外接球半径 ， 所以三棱柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 则， 点到平面的距离，故D错误． 故选：AC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【解题思路】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【解答过程】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为：. 13．（5分）若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据求的取值范围. 【解答过程】由，可得， 两式相减可得：， 又，所以. . 因为数列为递增数列， 所以 ，故. 故答案为：. 14．（5分）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ． 【答案】 【解题思路】设与渐近线交于，则，利用点到直线的距离公式求得，利用勾股定理可得出，利用中位线的性质可求出的值，进而可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】设与渐近线交于，则， 点到直线的距离为， 因为点关于直线的对称点为，则为线段的中点， 又因为为的中点，则，且， 由勾股定理可得， 由双曲线的离心率为，则， 所以，， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2)且 【解题思路】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 16．（15分）已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立，解得， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； （2）因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或. 17．（15分）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 【答案】(1)焦距为，短轴长为6，离心率为 (2) 【解题思路】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. 【解答过程】（1）由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. （2）由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 18．（17分）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【解答过程】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 19．（17分）如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点位于线段靠近点的三等分点 【解题思路】（1）利用勾股定理可分别证得，，根据线面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【解答过程】（1）证明：，，，， 又，，，； ，，四边形为平行四边形，， 即图（2）中，，又，，， ，，平面，平面， 平面，， ，平面，平面. （2）解：由（1）得：平面，又，两两互相垂直， 以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，且，， ， 设平面的法向量， 则，令，解得：，， ； 轴平面，平面的一个法向量， ， 解得：（舍）或，， 当点位于线段靠近点的三等分点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $