第7章 三角函数（知识清单）数学苏教版2019必修第一册

该高中数学三角函数知识清单全面覆盖第7章核心内容，从任意角、弧度制到三角函数概念、图像性质及模型应用，涵盖概念定义、公式推导、图像分析、综合应用四大知识范畴，搭建从基础定义到实际建模的递进式学习支架。 清单采用“知识清单+易错点剖析+例题精析”三维架构，通过表格对比（如角度弧度换算表）、分级标注（如易错点错误提示）呈现知识体系，突出完整性与条理性。特别设计“五点作图法步骤”“三角函数符号口诀”等实用工具，培养学生数学思维与模型意识，如易错点3结合终边上点坐标强调定义应用，助力学生自主高效复习，教师精准设计教学活动。

第7章 三角函数 清单01任意角 1.任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置 针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的 和 ． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 类型 定义 图示 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转 方向 且 相等，那么就称. ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为. ③设是任意两个角。我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的 在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角 相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 注意：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2）与中间用“”连接，如可理解成．． 清单02弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做 ． （2）弧度制：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 3．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 清单03三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的 ，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的 ，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的 ，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为 ，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 注意：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个 ． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置 ，而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀： 清单04同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系: . （2）商数关系: . 清单05三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 清单06正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 1．正弦函数、余弦函数的周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数， (k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是 . 2．正切函数的周期 正切函数是周期函数，最小正周期是 . 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期 清单07三角函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 最值 周期性 奇偶性 单调性 对称性 清单08函数的图象与性质 1．函数的图象的画法 （1）变换作图法 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“ ”与“ ”.如下图. （2）五点作图法 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象； ②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下： 由此可得五个关键点； ③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图. 2．函数（A>0,ω>0）的性质 （1）奇偶性：时，函数为 ；时，函数为 （2）周期性：存在周期性，其最小正周期为 （3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得 ；由得 （4）对称性：利用y=sinx的对称中心为求解，令，求得x. 利用y=sinx的对称轴为求解，令，得其对称轴. 3．函数（A>0,ω>0）的物理意义 当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做 ，T=叫 做 ，f =叫做 ,叫做 ，x=0时的相位叫做 . 清单09三角函数的综合应用 （1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为. （2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为. （3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为． （4）对于，当且仅当时为 ，当且仅当时为 ；对于，当且仅当时为 ，当且仅当时为 ；对于，当且仅当时为 ． （5）函数的单调递增区间由不等式 来确定，单调递减区间由不等式 来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定． 注意：函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解． （6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为. 注意：函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴. 清单10三角函数模型应用 1.三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决． 步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． 这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式． 2.三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 3.我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 易错点1 忽略了角的旋转方向导致角的正负出错 错误：忽略射线旋转方向导致角的正负出错 注意：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角 例题1亲爱的考生，本场考试需要小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为 . 易错点2 n分角与n倍角的象限问题 错误：忽略n倍角与n分角结果的多种可能性 注意：对于的范围问题,可采用等分象限法,即把每个象限平均分成n份,从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针方向循环标注象限序号(如图以为例),则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域 例题2“为第二象限角”是“是第一象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点3 三角函数的定义考虑不全 错误：忽略正弦函数、余弦函数在单位圆中的几何意义导致出错 注意：（1）设角终边上任一点的坐标为，它与原点的距离为 ，则，，. （2）求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．当已知坐标含参数时需注意分类讨论． 例题3若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 易错点4 同角三角函数关系中忽略角的范围 错误：在计算三角函数的求值问题忽略角的范围导致出错 注意：（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号 例题4（24-25高一上·江苏南通·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 易错点5 与分式或多项式求值时注意分子与分母要同时除以同一个不为“0”的数 例题5已知，则 易错点6 忽略ω的正负对三角函数性质的影响 错误：忽略ω的正负对函数单调性的影响导致出错 注意：ω＞0和ω＜0时三角函数单调性结论相反 例题6已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 易错点7 利用图象求三角函数解析式时选点不当 错误：选点不当致错！容易因忽视点所在的单调区间产生错解．故选点时优先选取图象上的最高点或最低点 注意：理解五点作图法的五个关键点对应函数y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)的一个周期内的特征点： 起始点（平衡位置）、最高点、中间点（平衡位置）、最低点、结束点（平衡位置）.对于正弦函数，第一关键点通常是 起始点（即相位角 ωx+ϕ=0 对应的点）；对于余弦函数，第一关键点通常是 最高点（即ωx+ϕ=0 的点），提醒，正弦型函数的起始点在增区间上且距离y轴最近. 例题7如图是函数的部分图象，则其解析式可以为（ ） A． B． C． D． 易错点8 函数图象平移、伸缩变换法则掌握不牢 注意：在水平平移图象时，注意只针对x进行“左加右减”，若x的系数不为1，则需“提出”系数之后再“左加右减” 例题8 将函数的图象向左平移个单位长度后得到奇函数的图象，则（ ） A．     B．     C．     D． 1．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 2．“”是“角的终边落在第一或第四象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．若为第四象限角，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D．0 5．在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称.若，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）已知函数的部分图象如图所示，其中，，将的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则的解析式是（    ）    A． B． C． D． 10．（多选）函数的部分图象如图所示，把的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A． B． C．在上单调递增 D．当时，对任意的恒成立 11．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则与轴距离最短的对称轴的方程是 . 12．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为 . 13．已知函数的图象关于直线 对称，且在区间上单调. (1)求ω的值; (2)若函数有两个零点，求的取值范围. 14．已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 三角函数 清单01任意角 1.任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为. ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 注意：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2）与中间用“”连接，如可理解成．． 清单02弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 3．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 清单03三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的余弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 注意：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 清单04同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 清单05三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 奇变偶不变，符号看象限 清单06正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 1．正弦函数、余弦函数的周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π. 2．正切函数的周期 正切函数是周期函数，最小正周期是π. 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝. 清单07三角函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时，． 当时，； 当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 ,奇函数 ，偶函数 ，奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 清单08函数的图象与性质 1．函数的图象的画法 （1）变换作图法 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. （2）五点作图法 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象； ②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下： 由此可得五个关键点； ③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图. 2．函数（A>0,ω>0）的性质 （1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数. （2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= . （3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间. （4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x. 利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴. 3．函数（A>0,ω>0）的物理意义 当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相. 清单09三角函数的综合应用 （1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为. （2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为. （3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为． （4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数． （5）函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定． 注意：函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解． （6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为. 注意：函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴. 清单10三角函数模型应用 1.三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决． 步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题． 这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式． 2.三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 3.我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题． 易错点1 忽略了角的旋转方向导致角的正负出错 错误：忽略射线旋转方向导致角的正负出错 注意：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角 例题1亲爱的考生，本场考试需要小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为 . 【答案】/ 【分析】根据时针旋转一周为小时，转过的角度为计算可得. 【详解】因为时针旋转一周为小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角， 所以经过小时，时针所转过的弧度数为. 故答案为：. 易错点2 n分角与n倍角的象限问题 错误：忽略n倍角与n分角结果的多种可能性 注意：对于的范围问题,可采用等分象限法,即把每个象限平均分成n份,从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针方向循环标注象限序号(如图以为例),则标注序号与α所在象限序号相同的区域即为所在的区域 例题2“为第二象限角”是“是第一象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用特殊值得出象限角结合充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】由为第二象限角，当，得是第三象限角，不满足充分性， 当时，，不满足必要性， 则“为第二象限角”是“是第一象限角”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 易错点3 三角函数的定义考虑不全 错误：忽略正弦函数、余弦函数在单位圆中的几何意义导致出错 注意：（1）设角终边上任一点的坐标为，它与原点的距离为 ，则，，. （2）求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．当已知坐标含参数时需注意分类讨论． 例题3若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的三角函数的定义分计算求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，； 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，． 综上，． 故选：B． 易错点4 同角三角函数关系中忽略角的范围 错误：在计算三角函数的求值问题忽略角的范围导致出错 注意：（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号 例题4（24-25高一上·江苏南通·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方关系先求出，结合的范围判断正弦值余弦值的符号，从而求解. 【详解】因， 则， 又时，，故是第四象限角，则. 则. 故选：A 易错点5 与分式或多项式求值时注意分子与分母要同时除以同一个不为“0”的数 例题5已知，则 【答案】/ 【分析】根据题意利用结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 易错点6 忽略ω的正负对三角函数性质的影响 错误：忽略ω的正负对函数单调性的影响导致出错 注意：ω＞0和ω＜0时三角函数单调性结论相反 例题6已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【详解】可化为，故单调增区间： ，， 解得，. 令，，令，. ， 所以的单调递增区间是. 故选：D 易错点7 利用图象求三角函数解析式时选点不当 错误：选点不当致错！容易因忽视点所在的单调区间产生错解．故选点时优先选取图象上的最高点或最低点 注意：理解五点作图法的五个关键点对应函数y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)的一个周期内的特征点： 起始点（平衡位置）、最高点、中间点（平衡位置）、最低点、结束点（平衡位置）.对于正弦函数，第一关键点通常是 起始点（即相位角 ωx+ϕ=0 对应的点）；对于余弦函数，第一关键点通常是 最高点（即ωx+ϕ=0 的点），提醒，正弦型函数的起始点在增区间上且距离y轴最近. 例题7如图是函数的部分图象，则其解析式可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察题图可得函数的最小正周期为， 所以，故或． 观察题图可得当时，函数取最小值， 当时，可得，， 所以，，排除BC； 当时，可得，， 所以，， 令，得， 故函数的解析式可能为，A正确． 对于D，，D错误． 故选A． 易错点8 函数图象平移、伸缩变换法则掌握不牢 注意：在水平平移图象时，注意只针对x进行“左加右减”，若x的系数不为1，则需“提出”系数之后再“左加右减” 例题8 将函数的图象向左平移个单位长度后得到奇函数的图象，则（ ） A．     B．     C．     D． 【答案】B 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象， 因为是奇函数，所以，，即，， 又，所以．故选B． 1．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 【答案】B 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断. 【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：B. 2．“”是“角的终边落在第一或第四象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】通过反例可说明充分性与必要性均不成立，由此可得结论. 【详解】当时，角的终边落在轴的正半轴，不属于第一或第四象限，充分性不成立； 当时，角的终边落在第一象限，但，必要性不成立； “”是“角的终边落在第一或第四象限”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 3．若为第四象限角，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求所在象限，再由三角函数在各象限符号求解. 【详解】由α为第四象限角，可得， 所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以 故选：B 4．角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点， 则. 所以 故选：B 5．在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义计算求解. 【详解】根据三角函数的概念，得，，所以. 故选：C. 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算得解. 【详解】由，得， 所以. 故选：C 7．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用平方关系，得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为， 又，则， 又因为，则，所以， 故选：B. 8．在平面直角坐标系中，角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示出，再由诱导公式计算可得. 【详解】因为角与角均以轴正半轴为始边，它们的终边关于直线对称且， 所以， 所以. 故选：D 9．（多选）已知函数的部分图象如图所示，其中，，将的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则的解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据图象求出函数的解析式，再由函数图象的平移得出. 【详解】设函数的最小正周期为T. 由题图及，利用勾股定理得，则，. 又由，得，且，得. 所以， 则. 故选：AD 10．（多选）函数的部分图象如图所示，把的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A． B． C．在上单调递增 D．当时，对任意的恒成立 【答案】ACD 【分析】根据正弦函数的图像、性质、变换进行逐项计算即可. 【详解】由图象可知，，， 解得，解得. 又函数过点，所以， 则，因为，所以. 所以函数，A正确； 根据函数的变换可知，B错误； ，因为，所以， 此时是单调递增的，C正确； 因为， 所以不等式变为. 因为，所以，所以， 所以，所以要使得不等式恒成立，那么，D正确. 故选：ACD. 11．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则与轴距离最短的对称轴的方程是 . 【答案】 【分析】通过平移变换得到的表达式为,再利用 “整体法”对正弦型函数的对称轴方程进行分类讨论求解即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 令,解得图像的对称轴方程为， 要求与轴距离最短的对称轴的方程，即求距离的最小值，则 当时，得距离为，对称轴的方程为； 当时，得距离为，对称轴的方程为； 当时，得距离为，对称轴的方程为； 综上可知或时，距离都大于，故与轴距离最短的对称轴的方程是. 故答案为： 12．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为 . 【答案】5 【分析】先根据是的零点，是图象的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到合适的最大值即可． 【详解】由题意可得， 即，解得， 又因为在上单调， 所以，即 因为要求的最大值，令，因为是的对称轴， 所以，又，解得， 所以此时， 令，解得， 所以函数在区间上单调递减， 即函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 故在不单调，不符合题意舍去； 令，因为是的对称轴， 所以，又，解得， 所以此时， 令，解得， 所以函数在区间上单调递减， 即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故在不单调，不符合题意舍去； 同理，令，， 令，解得， 在上单调递减，因为， 所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5． 故答案为：5. 13．已知函数的图象关于直线 对称，且在区间上单调. (1)求ω的值; (2)若函数有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的图象关于直线 对称得到，得到关于的等式，再由在区间上单调得到关于的取值范围即可求解. （2）由有两个零点，得到，转化为函数与直线有两个交点，求出在区间的值域并作图求解即可. 【详解】（1）由题意可知,则 , 故， 又在区间上单调，则，即， 则，故或. 当时，在区间 上单调递增，符合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，不合题意，舍去. 综上所述，. （2） 令，则， 由（1）可知 ，故当时，， 作出函数在区间上的大致图象如下所示，    因为，所以a的取值范围为 . 14．已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据题设易得，进而求得，再根据正弦型函数的奇偶性可求得，即可求得的解析式，再根据余弦函数的性质求解即可； （2）先根据题意得到，再结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以函数的最小正周期，可得， 又由函数为偶函数，可得，解得， 因为，所以， 则， 令，解得， 故的单调递减区间为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，，则， 故， 即函数的值域为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $