数列 课时作业-2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习 课时作业：数列 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在数列中，已知，，则它的前30项的和为（   ） A． B． C． D． 2．已知首项为2的数列满足，当的前项和时，则的最小值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 3．数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（    ） A． B． C．49 D．149 4．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 5．记数列的前n项和分别为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 6．设数列满足，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 7．设数列的前项和为，，，若，则正整数的值为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 8．已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知数列满足的前项和为，则（    ） A． B． C．构成等差数列 D．数列前100项和为 11．已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知数列的前项和为，，，则 ． 13．已知数列的前项和为，，则 ． 14．数列中，满足，，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)令，求的前项和． 16．（15分）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 18．（17分）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求m的值及的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 19．（17分）已知数列的前n项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，记数列的前n项和为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学一轮复习 课时作业：数列 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在数列中，已知，，则它的前30项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，运用数列的恒等式可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和． 【详解】解：由，可得，所以当时，， 又，所以，所以．故选：D． 2．已知首项为2的数列满足，当的前项和时，则的最小值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】B 【分析】通过计算得到为一个周期为4的数列，从而计算出，得到答案. 【详解】由题意得，，解得，同理，解得， ，解得，，解得， 故为一个周期为4的数列，且， 故，， 故的最小值为41.故选：B 3．数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（    ） A． B． C．49 D．149 【答案】B 【分析】由与的关系，结合等差数列的通项公式求得，即可得到，再由并项求和法计算可得． 【详解】因为， 当时，，即， 可得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 当时，所以，当时也成立， 所以，可得数列的前项之和为． 故选：B． 4．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推关系利用累乘法求出通项，利用错位相减法求出的前100项和得解. 【详解】由，得， 所以，，，，（，）， 累乘可得，又，得. 设①， 则②， ①-②得， ，，.故选：C. 5．记数列的前n项和分别为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列前n项和公式,联立方程组,可求出通项公式，再利用裂项相消法,求出数列的前n项和，即可求得. 【详解】因为是等差数列，可设公差为，由， 可得，解得：，所以， 再由得：，则数列的前n项和分别为， 即，所以， 故选：A. 6．设数列满足，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用递推关系求出，再利用裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】当时，， 当时，，， 两式相减可得：，所以， 又时，，所以不满足， 所以，设，数列的前项和，所以， 设数列的前5项和为：. 故选：D. 7．设数列的前项和为，，，若，则正整数的值为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】C 【分析】根据递推关系，构造等比数列求出通项公式，再由分组求和及放缩法得出的范围即可. 【详解】由，两边取倒数可得：，即，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列，所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2022．故选：C 8．已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再结合，可得，进而可得数列是等差数列，即可求出的通项，从而可求出数列的通项，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，，即，所以数列是等差数列， 又，，所以，所以数列的公差为，首项为， 所以，所以，所以，则， 所以.故选：C. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据递推关系即可判断A选项；再利用迭代法可求数列的通项公式判断B选项；利用分组求和判断C选项；利用等差数列求和公式判断D选项. 【详解】因为，所以，解得，故A错误；当时，， 则，且也符合，故B正确； ，故C正确； ，则，故D正确. 故选：BCD 10．已知数列满足的前项和为，则（    ） A． B． C．构成等差数列 D．数列前100项和为 【答案】ABD 【分析】根据给定的递推公式求出通项公式判断AB；求出前项和并结合等差数列定义判断C；利用裂项相消法求和判断D. 【详解】数列中，，对于A，，A正确； 对于B，，则， 解得，当时，，而满足上式，因此， 所以，B正确； 对于C，，， ，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：ABD 11．已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】BD 【分析】由数列递推式两边同除以，可得，推得等比数列，排除A项；通过证明和可得B正确；利用错位相减法可求得的前项和为，排除C项；化简得，易求得该数列的前项和推出D项正确. 【详解】由两边同除以，可得：， 因，则，故为等比数列，首项为4，公比为2. 对于A，由上分析，是公比为2的等比数列，故不可能是等差数列，即A错误； 对于B，由上分析，可得，即， 由，因，故为递增数列，故B正确； 对于C，由上已得，则 ①， 则  ②， 由：， 即，即，故得，故C错误； 对于D，因，则， 故的前项和为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知数列的前项和为，，，则 ． 【答案】24 【分析】先依题意计算，判断和均是等差数列，求得通项公式，再利用等差数列的求和公式分类计算即可. 【详解】因为，，所以，即. 又①，则②，由②-①，得， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列，是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，， 所以，， 所以. 故答案为：24. 13．已知数列的前项和为，，则 ． 【答案】 【分析】由题意得，利用裂项相消法即可求解. 【详解】由题意得，所以 ． 故答案为：． 14．数列中，满足，，则 ． 【答案】 【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和. 【详解】因为，所以.所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：，显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以.故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)令，求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用与的关系作差求，利用等比数列的通项公式求； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为数列的前项和，且满足， 所以，当时，，所以， 经验证时，满足，故， 因为数列为公比大于0的等比数列，且，， 设公比为，所以，解得，所以，. （2）由（1）可得，所以①， ②， ①②得，所以. 16．（15分）已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出及并裂项，再按分奇偶求出，进而求出的最小值即可. 【详解】（1）在正项数列中，， 则，所以是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项，公差，则，， ，于是，而满足上式， 因此，， 则， ， 显然，且数列单调递增，， 因此，又不等式对任意正整数n恒成立，则，所以实数的取值范围是. 17．（15分）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 【答案】(1)， (2)96 【分析】（1）设出公差，结合题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到，根据题目条件得到时，，两式相减求出，经过检验，得到的表达式； （2）在中，从开始到项为止，计算出项数，从而确定数列前75项是项之后，还有5项为1，分组求和即可. 【详解】（1）为等差数列，设其公差为d，则，解得， 故；又①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，，又，故，满足，从而； （2）由（1）知，，，所以在中，从开始到项为止， 共有项数为，当时，， 当时，，所以数列前75项是项之后，还有5项为1， 故. 18．（17分）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求m的值及的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把等比数列的前项和公式形式为（为常数，为公比），再通过与的关系求解即可； （2）先借助(1)代入知，借用“等差数列×等比数列”型数列，再用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为， 当时，；当时，， 又因为是等比数列，所以，解得；所以的通项公式为．故；． （2）由（1）知，所以， 所以， 两式相减得： 所以． 19．（17分）已知数列的前n项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由的关系求解即可； （2）由题意，利用错位相减法和等比数列求和公式即可求解； （3）由题意得，由裂项相消法即可证明. 【详解】（1）因为，所以，解得，又， 所以，即，所以，即， 因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即． （2）因为，所以，① ，② ①－②得，所以． （3）因为，所以， 易知是增函数，所以，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：数列 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 在数列a}中，已知4=m+2a4三M,则它的前30项的和为 28 29 30 A. 19 29 B. C. D. 29 30 31 【答案】D 。+2运用数列的血等式可得么一。，1再直数列的袋项相消求和，计第可所状 【分析】由题意可得马型=” 和. 【详解】解：由0+2)a1=a,可得=” an+2所以当n22时，8=4222=××2××-111 9aa12345n+1nn+1)nn+1' 1 又4=21 12所以a=11 nn+1?所以8。=1-是+11 1-130 223++。331·故选：D 2.己知首项为2的数列{a}满足4a+1-5a4。-2a.=2,当{a}的前n项和Sn≥16时，则n的最小值为（) A.40 B.41 C.42 D.43 【答案】B 【分析】通过计算得到{a}为一个周期为4的数列，从而计算出S1=10(a+a+4+a)+2=17,得到答案 【详解】由题意得4=2,4a2-5a4-2a=2,解得42=-1，同理4a-5a,42-2a2=2,解得4=0， 4,-5a4-24-2,解得a-分4a-4-2a=2,解得a=2, 故a,}为一个周期为4的数列，且a+a,+a+a,=2-1+0+1-3, 22 故S40=10(a+a2+4+a)=15,S41=10(a1+42+4+a)+2=17, 故n的最小值为41.故选：B 3.数列{an}的前n项和为Sn,a4=-1,na.=Sn+n(a-1neN),设b=(-1)a,则数列b}的前51项之和为() A.-149 B.-49 C.49 D.149 【答案】B 【分析】由a4.与S的关系，结合等差数列的通项公式求得a,=2n-3,即可得到b.=(-1)(2n-3),再由并项求和法 计算可得。 【详解】因为nan=S+n(n-l(neN), 当n≥2时，na.=n(S4-S1)=Sn+n(n-1),即(n-1)S.-nSa1=(n-1), 可得头1，又=4=1，所以 s. 是以-1为首项，1为公差的等差数列， n n-1 所以三=-1+2-1=-2，则3=0n-2), 当n≥2时Sa-1=(n-1)(n-3),所以a.=S.-Sx-1=(n-2)-(n-1)(n-3)=2n-3,当n=1时an=2n-3也成立， 所以b.=（-1)4=(-1)(2n-3),可得数列b}的前51项之和为1+1)+(-3+5)+…+(95+97)-99=2×25-99=-49， 故选：B 4.已知数列{a}满足，a=1,a1=(21+2)a.,则 40 2+4+44++a0 50 50 A·101 B. C. 51 D. 101 99 99 【答案】C 【分析】根据递推关系利用累乘法求出通项a,利用错位相减法求出a,的前100项和得解 【详解】由01=(2n+2)a,得1=2.n+1 4 所以%=2”，a=2-02=2m-2. 2 L1 n),En-2,a,n-3’,a122,ne a 1 累乘可得经-2只又a=1,得4=n2, a 设S=4+4+4++40=12°+2.2+3.22+4.2+…+100.29①， 则2S=1.2+2.22+3.2+4.24+…+100.20②， ①-②得-S=1+2+22+23+…+299-100.2100, 3=121 410 100.2950 -2100.100=-99.2100-1,.S=99.2100+1, 1-2 a+a+a++ao99.209故选：C 5.记数列{a},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若{a}是等差数列，且S6=S+25=90,a,bana=1,则TIo=() 8 B.45 10 C.41 D. 40 41 【答案】A 【分析】利用等差数列前n项和公式，联立方程组，可求出通项公式，再利用裂项相消法，求出数列b}的前1项和T, 即可求得To 【详解】因为{a}是等差数列，可设公差为d,由S。=S,+25=90, 2d=90 6× 64+ 可得 a=5 5×4 ,解得：d=4,所以a,=5+n-)4=4n+1, 5a+ 2d=6 再由ab.a1=1得：b=1 1-1(11 aa(+1)+5)4(1+1机+5，则数列私.}的前n项和分别为， -44+-非mz指片名后 故选：A 6.设数列{an}满足4+2a+3a,+…+a=2+1(n∈N),则数列 的前5项和为() n+1 5 A. 8 12 D. 13 B. C. 5 【答案】D 【分析】利用递推关系求出{a},再利用裂项相消法求和即可得出答案 【详解】当n=1时，4=3， 当n≥2时，a+2a2+3a+…+an=2n+1,4+2a+3a+…+(1n-1)a-1=2n-1(n∈N), 两式相减可得：加，=2，所以a=2。 n 又n=1时，4=2，所以41不满足a。, [3,n=1 3 所以a=?u≥2设6=数列{品}的前n项和，所以6- n+1 n 2211 n(n+1)nn+1 ,n≥2 设数列 n+1 前5项和物：天号号号号名唱片片片司身+目-号 故选：D 7.设数列a}的前”项和为8,4-方a2,若8低k+,则正整数&的值为（） 1 2a A.2024 B.2023 C.2022 D.2021 【答案】C 【分析】根据递推关系，构造等比数列求出通项公式，再由分组求和及放缩法得出S的范围即可. 2a. 【详解】由aa+1= a1 2 a 所以 是首现为1公北为的号比发列，所以安1一寸计六8=1 a, a 11 故S=n-气2+12+1 1） 1 +.十 21，令M=1一+五+·十2-1十 2°+12+1 六期w公 11 1） 由 +2212 则n-24克成<m吕分所以202点8.202号 12220m<2023, 故S24∈(2022,2023)，则正整数k的值为2022.故选：C 1+1++ 8.己知数列{a}各项为正数，{b,}满足cG=bbn1,a+a=2b+1,若a=2,b=1,则+ 4142 42024 1012 1011 2024 2023 A. B. C. D. 1013 1012 2025 2024 【答案】C 【分析】由C=b.b,得a.=Vb.b,再结合a.+a1=2b,可得√6，+√b2=2√b1,进而可得数列{Vb}是 等差数列，即可求出也}的通项，从而可求出数列{a}的通项，再利用裂项相消法求解即可 【详解】因为an>0,a=bb+1,所以a,=√bb1, 因为a+a1=2b,所以b,>0，√b.b1+√bb2=2b1,即Vb,+√b+2=2b,所以数列{b}是等差数列， 又a=2,b=1,所以b,=4,所以数列{B}的公差为√b,-√历=1，首项为√历=1， 1111 所以Vb.=n,所以bn=n,所以4=Vbb+1=n(+1),则一= a n(n+1)nn+1' 所以2+++1=1++ 11 aa 十a=12+23+2024202520252025送：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知数列{a}的前n项和为S。,数列{a.+3}的前n项积为Tn,4=1,a1-an=2H，则() A.4=12 B.4=21-3 C.S,=109 (+3 D.T=22 【答案】BCD 【分析】根据递推关系即可判断A选项：再利用迭代法可求数列{a}的通项公式判断B选项；利用分组求和判断C 选项；利用等差数列求和公式判断D选项. 【详解】因为4=1，a1-an=2”+1,所以42-4=4,4-42=8，解得a2=5,a=13,故A错误：当n≥2时， a-8=(a-a)+(aa++(a-4)+(4-a)=2+2++2+2=4-2 =2"1-4, 1-2 则a,=2+1-3,且4=1也符合a=2+1-3,故B正确： S=4+4+a+a,+4=2+2+…+2-154-2 -15=10S,故C正确； 1-2 a+3=2,则Z=2×2××22=22-2,故D正确 故选：BCD 10.已知数列{a}满足4+2a2+…+2an=n2”,an的前n项和为Sn,则(） A.4=2 B.a +a+2=2a C.Sn,S2m,S3n构成等差数列 D.数列6。前10项和为5 51 【答案】ABD 【分析】根据给定的递推公式求出通项公式判断AB:求出前项和并结合等差数列定义判断C；利用裂项相消法 求和判断D 【详解】数列{an}中，4+24，+.+2a,=n2”,对于A,4=12=2,A正确： 对于B,a+2a++21a+2”a1=0n+1)-21，则2”a1=(0n+1)-21-n2”， 解得a1=n+2,当n≥2时，a,=n+1,而4=2满足上式，因此a.=n+1, 所以a.+aa2=2n+4=2a+1,B正确： 对于C,8.=2++D_0+3》,3.-S=2m2m+》_+3》-3n0+D 2 2 2 2 2 3。-S=3m3m+》22+3》-5n+3》±3.-3.，c错误： 2 2 2 对于D, -a习六d8片a票DE 1 1 11 故选：ABD 11.已知数列{a}的首项为4，且满足2(n+1)a,-an+1=0(∈N),则() A. 为等差数列 n B.{a}为递增数列 C.{a}的前n项和Sn=(n-1)·2m+1+4 a D. 2 的前n项和T=心+n 2 【答案】BD 【分析】由数列递推式两边同除以+)，可得名=2×9，推得等比数列8，排除A项；通过证明2出1>1和 n+1 a. a>0可得B正确：利用错位相减法可求狗a}的前”项和为8=1+-少-2，排除C项：化简得是=，易 求得该数列的前n项和推出D项正确， 【详解】由2(n+l)a.-0=0两边同除以n0m+1),可得：=2× n+1 因a=4,则a.>0,故 为等比数列，首项为4，公比为2. 对于A,由上分析， 0义 是公比为2的等比数列，故不可能是等差数列，即A错误： 对于B,由上分析，可得马=4x21=21,即a,=n2, 11 -u+122-2n+2=2+21,因a,>0,故{a}为递增数列，故B正确： 2 由 a. 儿2+h n 对于C,由上已得a=n21,则Sn=1×22+2×23+…+n2+1①， 则2Sn=1×2+2×24++(n-1)-2m+n.2+2②， 由①-②：-Sn=22+23+…+21-n.2m+2, 即-8=-2+20-22*，即-3=-4+1-)2：，故得3=4+01-)-2：，故C错误 1-2 对于D,因a,=21,则g=2 2+H 2*1=n, 故{2品的前加项和为工=+》_业，赦D正确 a 2 2 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.已知数列{a}的前n项和为Sn,a=3,a+1+a。=21-1,则S,=_ 【答案】24 【分析】先依题意计算a2,判断{a2m-1}和{an}均是等差数列，求得通项公式，再利用等差数列的求和公式分类计 算即可 【详解】因为4=3,41+a,=21-1,所以4+42=1，即42=-2. 又a1+4n=21-1①，则a+2+a+1=2(n+1)-1②，由②-①，得a+2-a=2, 所以{凸m-}是以3为首项，2为公差的等差数列，{a}是以-2为首项，2为公差的等差数列， 所以a2m-1=2n+1,4m=2n-4,所以a=2×4+1=9,a6=2×3-4=2, 所以S,=4+a+…+a,+a=(a+4++a)+(a,+a+a,)=4x(3+9）3x(2+2）.24. 2 2 故答案为：24 13.己如数列a}的前n项和为8，a=csm,则S,u 2n+1 【答案】 2027 2026 【分析】由题意得an=(-l)” 11 利用裂项相消法即可求解。 nn+1 【详解】由题意得a=(←少上+1）】 nn+1) 所以S0s=4+4+4,+…+a024+a02s 1 1 1 2027 20242025 20252026 2026 2027 故答案为： 2026 14.数列a}中，满足a=1,a,1= a=N小则aa1ta 【答案】2025 1013 【分析】先利用“累乘法求数列{a}的通项公式，再利用“裂项求和法”求和 【详解1因为0一径2：所以合平2 2%12所以=1428=38=” 43a4a=5’,an+1 (n≥2). 各式相乘，可得： am+西→a=21）】 8=2 (n ni,s 然4=1满足上试，则a=行) 所以数列a}的前n项和为S=21-){之+1）=21-1）-2” 22334 nn+1 n+1-n+1 2×2025_2025 2025 所以a+a++as202310故答案为：1 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知数列{a,}的前n项和3，且满足3.=心+”，数列，}为公比大于0的等比数列，且4=4,4=4， 2 (1)求a,b.: (2)冷Cm=a·bn，,求cn}的前n项和Tx. 【答案】()a=n,b=3"-1 (②1=(2-1-3+1 x 【分析】(1)利用a与S,的关系作差求a,利用等比数列的通项公式求b; (2)利用错位相减法求解即可. 【详解】1)因为数列{a}的前u项和S,且满足3=口+” 2 所以a=8=1,当≥2时，S,=m-旷+m-1》心，所以a=3-31n, 2 2 经验证n=1时，满足a=1,故a.=n, 因为数列b}为公比大于0的等比数列，且b,=4=3,b,=47=27, 设公比为9，所会=可=9，解得q=3,所以4名1，。=1= (2)由(1)可得cn=n3m-1,所以T=1×3°+2×3+..+n3"1①， 3江，=1×3+2×32+.+n3”②， D-@相-2现=-+m1n3-:所以红.-) 1-3 l6.(15分)己知数列{a}的各项均为正数，前n项和为S,且a=1,a1=√Sn+√S,. (1)证明：{√S}是等差数列： (2)设6=(-1)12(4+) 数列b}的前n项和为T.,不等式2<Tn对任意正整数n恒成立，求实数2的取值范围. a 4 【答案】(1)证明见解析： (2)2<。 5 【分析】(1)根据给定条件，利用a1=S1-Sn及等差数列定义推理得证. (2)由(1)求出a.及b并裂项，再按n分奇偶求出Tx,进而求出T.的最小值即可. 【详解】(1)在正项数列{a}中，√S1+√S.=a1=S1-S.=(√S+√S)S1-√S), 则√S1-√S,=1,所以{WS}是等差数列. (2)由(1)知，等差数列{W}的首项√=√瓦=1，公差d=1,则VS,=n,S,=, a1=V+1)2+m=21+1=20n+1)-1,于是a,=21-1,而a=1满足上式， 因ta2-1.&=ro0nD(1y台+ (2n-1(2n+1) 玉，4=1" 4n-1 显然In1>1>工，且数列化)单调递增，7≥乃=5： 4 因此口=-号，又不等式<工对任盒正整数n恒成立，则入专，所以实数天的取值范国是1 4 5 17.(15分)已知数列{a}是等差数列，其前n和为Sn,a2=2,S,=45,数列bn}满足 ab+ab2+…+ab.=(n-1)-2+1. (1)求数列{a},b}的通项公式： (2)若对数列{a},b.},在a与a1之间插入b个1(keN),组成一个新数列{d},求数列{dn}的前75项的和T5. 【答案】(1)a,=n,b=2- (2)96 【分析】(1)设出公差，结合题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到a。,根据题目条件得到≥2时， 4b+a,b+…+a-b1=(n-2)2-1+1,两式相减求出b,经过检验，得到b的表达式： (2)在{dn}中，从a开始到a项为止，计算出项数，从而确定数列前75项是4，项之后，还有5项为1，分组求和 即可 【详解】(1){a,}为等差数列，设其公差为d,则4+d=2,S,=9a+36d=45,解得a=d=1, 故an=a+(n-1)d=n;又ab+a,b2++abn=(n-1)2”+1①， 故当n≥2时，a,b+a,b2++a-bn-1=(n-2)2-1+1②， 两式相减得a,b.=(n-1)-2”+1-(n-2)2-1-1=n-2”-1, 故b=n-2-1,所以b=2-1,n≥2，又4b=0+1=1,故b=1,满足b。=2-1,从而b,=2: (2)由(1)知，an=n,b=2-1,所以在{d}中，从a,开始到a项为止， 共有项数为+2”+2+2++2：=k-2 -=k+2-1-1,当k=7时，k+21-1=7+271-1=70<75, 1-2 当k=8时，k+21-1=8+281-1=135>75,所以数列{d}前75项是4，项之后，还有5项为1， 故T5=(1+2+3++7)+2+2+22++2+5= 70+7)1-25=96 21-2 18.(17分)已知等比数列{a,}的前n项和为，且，=-2· 1 (1)求的值及{a}的通项公式： (2)若b=(2n-1)a,,求数列{b.}的前n项和T. 【答案】(1)m=1,a 2 (2)7=3-2n+3 2# 【分析】(1)先把等比数列的前项和公式形式为S,=A-Aq”(A为常数，q为公比)，再通过a,与Sn的关系求解 即可： （2)先借助0代入如-，信用等差数列2华等比数 1 2 ”型数列，再用错位相减法求和即可. 【详解】(1)因为S.=m-2, 1 当a=1时，4=8=m分当22时，a=及-及=m气加) 1 又因为a}是等比数列，所以4=m-号行，解得加=1；所以a}的通项公式为a=月 22 放m=1:a 1 2” ②)由(D知b三2na三2，，所以T=么+么+b++b子中 1+3+3+…+2二3+21-1 2-1 2” 所以 135 ,2n-3,2n-1 22+2+20++1 2 2n, 11-1 1 两式相减得：22+++ 2 2-1 1-131+3 2可-2 2 1 2”1 2 1- 2241 所以7，=3-2n+3 2 19.(17分)己知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2a-n,n∈N, (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b=n(a+1),求数列b}的前n项和T.: (3)设c.= g:a,+1g,a4中，记致列}的前u项和为M，证明：方≤M<1. 1 【答案】(1)4，=2”-1 (2)Tn=(n-1)2m1+2 (3)证明见解析 【分析】(1)由Sn,an的关系求解即可； (2)由题意b=n(a,+1)=n·2”,利用错位相减法和等比数列求和公式即可求解： 1 111 (3)由愿意得C,g,(a+l)-1og,(a1+1）n+元n本1：由裂项相消法即可证明， 【详解】(1)因为Sn=2a。-n,所以41=24-1，解得a=1,又Sn+1=2a1-n-1, 所以a4=2a4-2a-1,即a=2a+1,所以a1+1=2a+1+1=2(a,+),即2+12， a.+1 因为4+1=2，所以数列{a+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a,+1=2×21=2”,即4=2”-1. (2)因为bn=n(an+1)=n2”,所以T=12+222+3.2++n-2”,① 2T=1.22+2.22++(n-1)2”+n2m1,② ①-②得-7=2+2+2++2-n:2_2-2 -n.2+1=2m+1-2-n2+1,所以T,=(n-1)2m1+2. 1-2 )因两cga8可d女所以=1-分}分点1点av), 1 111 易知0四-1a∈N)是增函数，所以分≤f侧<1，所以M<1,2026届高考数学一轮复习课时作业：数列 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) a中，已知g1+2a=№，则它的前30延 A. 28 c D. 30 2.已知首项为2的数列{a}满足4a+1-5a+1a.-2a.=2,当{a}的前n项和S.≥16时，则n的最小值为() A.40 B.41 C.42 D.43 3.数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,na.=Sn+n(n-1)neN),设b=(-1)a,则数列b}的前51项之和为() A.-149 B.-49 C.49 D.149 4.己知数列{an}满足，4=1,1n+1=(2n+2)a.,则一 400 -=() 2+4+44+…+40 50 A·101 B.10 1 0 C.99 D:99 51 5.记数列{a},bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若{an}是等差数列，且S。=S,+25=90,a,bama=1,则To=() B.s c品 D. 40 41 6.设数列{a}满足a+2a,+3a++m=2+1(ueN),则数列a}的前5项和为() m+1 A B c号 D.3 1 7.设数列a}的前”项和为S.,4-701 2 a+1,若S,:∈（依k+),则正整数k的值为(） A.2024 B.2023 C.2022 D.2021 8.己知数列{a}各项为正数，{b.}满足G=bbn1,an+a1=2b1,若4=2，b=1,则一+ 442a42024 1012 2023 A. D. 1013 B108 C.224 2025 2024 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.己知数列{a}的前n项和为Sn,数列{a,+3}的前n项积为Tn,4=1,a1-an=21，则() B.an=21-3 n(+3) A.4=12 C.S=109 D.T=22 10.己知数列{a}满足41+2a2+…+2”an=n.2”,an的前n项和为Sn,则() A.41=2 B.a,+a+2=2a+1C.Sn,S2n,Sn构成等差数列 D.数列(，1一}前100项和为 an·anl 1 11.已知数列{a}的首项为4，且满足2(n+1)a.-+1=0(n∈N),则() A. a 为等差数列 B.{a}为递增数列 n C.{a}的前n项和Sn=(n-1)2++4 D. 的前n项和T=心+n 2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.已知数列{a}的前n项和为Sn，4=3，a1+a=21-1,则S,=一· 13.已知数列a}的前n项和为3，a=2n+1 n(n+1) c0S1m,则S2025=」 4.数列a}中，满足a=1,a1=)eN),则a+a++a如s 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知数列a}的前u项和S,且满足S,=心+”，数列，}为公比大于0的等比数列，且么=4，么=4， 2 (1)求a,b.: (2)令Cn=an·bn,求{cn}的前n项和T. 16.(15分)已知数列{a}的各项均为正数，前n项和为S。,且a=1,a1=√S1+√S。 (1)证明：√S}是等差数列： (2)设6=(-12(a+ ad 2,数列伍.}的前n项和为工，不等式<工，对任意正整数n恒成立，求实数元的取值范围。 17.(15分)己知数列{a}是等差数列，其前n和为Sn,a=2,S,=45,数列b}满足 ab+a,b2++abn=(n-1)2"+1. (1)求数列{a},b}的通项公式： (2)若对数列{an},b},在a,与a1之间插入b个1(keN),组成一个新数列{dn},求数列{d}的前75项的和Ts. 18.（17分)己知等比数列{am}的前n项和为Sn,且S=- 2 (1)求m的值及{a}的通项公式： (2)若bn=(2n-1)an,求数列{b}的前n项和T. 19.(17分)己知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2a-n,n∈N, (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b.=n(a,+1),求数列b}的前n项和T.; (B)设6，s,a+11g,(a+,记数列，}的前n项和为M,证明：<M<1.