精品解析：辽宁省沈阳市五校协作体2026届高三上学期12月期中考试数学试卷

绝密★启用前 25－26学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试高三年级 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集是小于12的素数，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出全集中的元素（素数（质数）），再利用概念以及补集的运算求解即可. 【详解】由题知全集是小于12的素数， 因为，所以. 故选：B. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数、虚部的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为3. 故选：C 3. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可求出的值. 【详解】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 4. 某工厂生产的产品质量指标服从正态分布，从该工厂生产的产品中随机抽取1000件，质量指标在内的产品有680件，则质量指标大于110的产品件数大约为（ ）件 A. 160 B. 180 C. 320 D. 340 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出指定区间的概率，进而估计产品件数. 【详解】由产品质量指标，且， ∵，∴， ∴质量指标大于110的产品件数大约为(件). 故选：A 5. 通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得出椭圆的焦点在轴上，根据椭圆通径的长为以及椭圆离心率的公式即可求解. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上， 所以，，， 因为椭圆的通径长为6，所以，即，解得， 故椭圆的离心率. 故选：C 6. 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，可求得函数的定义域，进而利用复合函数的定义域的求法可求的定义域. 【详解】由，得，所以，解得， 所以函数的定义域为. 由，解得， 所以的定义域为. 故选：A. 7. 若，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用点到直线的距离公式可求的最小值. 【详解】令，由，可得， 原点到直线的距离为， 所以， 联立，可得， 所以当，时，取最小值，最小值为. 故选：D. 8. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】把函数化成，换元，令，利用复合函数的单调性法则把问题转化为在上也单调递增，求导，可得到答案. 【详解】 设 ，易知在上单调递增，则， ， 由复合函数的单调性法则：同增异减，可得： 要使在上单调递增，只需在上也单调递增， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即，由于条件也是“”， 所以“”是“ 在  上单调递增”的充要条件. 故答案为：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 图象关于对称 C. 最大值为 D. 在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】利用诱导公式化简函数，再利用正弦函数的性质逐项分析判断. 【详解】函数， 对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得图象关于对称，B正确； 对于C，函数的最大值为2，C错误； 对于D，当时，，则当，即时， 函数取到最大值2，D错误. 故选：AB 10. 已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（ ） A. B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可求出等差数列的公差，判断A；求出数列的通项公式，求解方程可判断B；利用错位相减法求数列的前n项和，判断C；利用分组求和法，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式即可判断D. 【详解】对于A，设的公比为q，由于，，则， 解得，所以A正确； 对于B，由A的分析可知， 令，即，解得，不是整数， 故不存在，使得，所以B错误； 对于C，，则， 故， 两式相减得： ， 故，则，所以C正确； 对于D，， 设数列的前项和为. 则 ，所以D正确， 故选：ACD 11. 已知正方体的棱长为4，N为棱上一点，且，动点M在正方体内及其表面上运动，下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 若M是线段上的动点，则M到平面的距离为定值 C. 若，则的最小值为 D. 若M满足，，则M的轨迹的长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，连接交于，可得为异面直线与所成角，解三角形得解；对B，由平面，可得点到平面的距离为定值；对C，由题可得，过点作平面与垂直，平面被正方体所截的图形为正方形（及内部），由图得解；对D，设的中点分别为，由题在以为球心，为直径的球面上，也在以为球心，为直径的球面上，作出截面图如图，点的轨迹是以为直径的圆，运算得解. 【详解】对于A，连接交于，由正方体的性质可得， 所以为异面直线与所成角，如图， 由，且，故，， ，故A错误； 对于B，由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面， 点在线段上，所以点到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，设边上的高为，如图， 因为，所以，即， 又，所以，过点作平面与垂直， 记平面被正方体所截的图形为正方形（及内部），如图， 所以点在正方体内（含边界），故的最小值为，故C正确； 对于D，设的中点分别为，因为，所以在以为球心，为直径的球面上， 同理也在以为球心，为直径的球面上， 由正方形的性质可知，为直径的球面与为直径的球面是同一个球面， 因为，所以两球面的半径均为，截面图如图， 所以点的轨迹是以为直径的圆，由勾股定理可得， 所以点轨迹的长度为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为______.（用数值作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式乘积的性质即可求解． 【详解】由于表示5个因式的乘积， 故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项， 故展开式中含的项为，其系数为. 故答案为：． 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，都有，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可知，再由函数表达式特征可得当时，成等比数列，再由等比数列通项公式以及奇函数性质计算可得结果. 【详解】根据题意可知，所以； 由可得， 因此可知当时，是以为首项，为公比的等比数列， 因此可得，即； 所以； 又因为是定义在上的奇函数，所以. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，为上一点，过作两条直线分别与交于两点，若直线的斜率为，直线的斜率和为1，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可得焦点坐标，设出点的坐标，利用直线斜率公式，结合两点距离公式，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点，由题意可设，，， 由直线的斜率为，则，解得， 由直线与直线的斜率之和为，则，解得， 所以，可得. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）72 【解析】 【分析】（1）由结合，求得，进而求得，结合，得解； （2）由正弦定理结合条件式可得，进而得，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由， 则，又， 所以， 化简整理得，解得或， 又为钝角，故为锐角，所以，则， 由，解得， . 【小问2详解】 因为， 又，则，所以， 所以的面积 ， 又为锐角，所以，， ， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的面积的最小值为72. 16. 如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且是正三角形，E为母线PB上的一动点． （1）若平面CDE，求PE的长； （2）若直线DE与平面所成角的正弦值为．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用线面平行的性质，结合平行线分线段成比例定理求解. （2），利用线面角的向量法求出，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 取直径的中点，连接，在底面圆所在平面内作，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建空间直角坐标系， 由都是正三角形，，得， ，令，则， 由平面，平面平面，平面，得， 因此，，所以PE的长为. 【小问2详解】 由（1）知，设，则， ，而平面的法向量， 由直线DE与平面所成角的正弦值为，得 ，整理得，又，解得， 于是，而，设平面的法向量， 则，令，得， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）求，求不等式，的解集，即可求解； （2）根据函数极值的个数得出，进而根据韦达定理得，再构造新函数，求导判断单调性，求新函数的最值即可求解. 【小问1详解】 若，，定义域为， ， 由可得：或， 由可得：， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 综上，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 定义域为， ， 令可得， 当即时，对于恒成立，所以在上单调递增，无极值； 当即时，由可得：， 由可得：或，由可得：， 所以在和上单调递增，在上单调递减，满足函数有两个极值点， 所以， 由可得，则， 由，可得， 所以， 所以 设， 则， 当时，，故单调递增， 当时，，故单调递减， 所以在处取得最大值， 又因为，， 所以， 故，故的取值范围为. 18. 甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. （1）当时. （i）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （ii）记比赛结束时的场数为，求的分布列和数学期望； （2）若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii） 3 4 5 （2）；取值范围是 【解析】 【分析】（1）（i）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4场的概率，然后利用条件概率求解； （ii）先确定的取值，并计算相应的概率，列出分布列，根据期望计算公式计算； （2）先确定甲队成长值的得分的可能取值，并计算概率，根据期望计算公式计算.得出期望关于的关系式后，通过导数判断在上的单调性确定其范围. 【小问1详解】 当时 （i）设事件表示“比赛恰好进行4场”，事件表示“甲队获胜”. 甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为. 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜，概率为. 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜，概率为. ∴甲队获胜的概率为. 甲队获胜且比赛恰好进行4场的概率为. ∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为. （ii）的可能取值为3，4，5. ； ； . ∴分布列为 3 4 5 . 【小问2详解】 甲队本次比赛的成长值得分的可能取值为3，2，1，0. ； ； ； . ∴ . 令， ， ∵，∴， 再令， ，判别式， 的两根为，， 由可得或，由可得， ∴在上单调递减，则，而， ∴时，，∴， 因此函数在上单调递增， 当时，，当趋近于1时，. ∴，故的取值范围是. 【点睛】本题考查了独立重复试验的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，考查了离 散型随机变量的数学期望及与导数综合问题，属于难题. 19. 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，过圆上一点作的两条切线，切点分别为， （1）求证：； （2）设的上、下两个焦点分别为，求的最小值； （3）若直线与两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）8； （3）存在，； 【解析】 【分析】（1）求出双曲线方程，设切线方程为，与双曲线联立，设两切线的斜率分别为，可得，即可得证； （2）求得，从而可得时，取最小值，再检验即可； （3）设切线的方程为，与双曲线方程联立，由，可得，从而得，再由导数的几何意义可得，从而可得切线的方程为：，联立两切线方程得，再与渐近线方程联立，结合韦达定理，可得，求得原点到直线的距离，从而得，根据的值，求出最小值，再代入检验即可. 【小问1详解】 证明：因为双曲线的渐近线为， 所以，， 所以双曲线方程为， 代入点，得，解得， 所以双曲线方程为， 所以两条切线的斜率存在，设切线方程为， 由， 可得， 则有，， 整理得：①， 设两切线的斜率分别为， 则， 又因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 所以， 又因为 所以当时，取最小值为8， 此时的坐标为或， 代入①，可得， 即此时过有两条直线与双曲线相切，符合题意， 所以的最小值为8； 【小问3详解】 设切点，切线的方程为， 联立， 得， 由，得， 又因为，所以，解得， 即切线的方程为， 在中，对求导，得，所以， 所以切线的方程为：， 即， 所以， 同理可得切线的方程为：， 由，得，即， 设， 联立， 得， 所以 所以， 原点到直线的距离， 则的面积， 因为， 所以， 当时，有最小值，此时，符合题意， 所以面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 25－26学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试高三年级 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集是小于12的素数，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 3. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 11 4. 某工厂生产的产品质量指标服从正态分布，从该工厂生产的产品中随机抽取1000件，质量指标在内的产品有680件，则质量指标大于110的产品件数大约为（ ）件 A. 160 B. 180 C. 320 D. 340 5. 通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 图象关于对称 C. 最大值为 D. 在区间上单调递增 10. 已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（ ） A. B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 11. 已知正方体的棱长为4，N为棱上一点，且，动点M在正方体内及其表面上运动，下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 若M是线段上的动点，则M到平面的距离为定值 C. 若，则的最小值为 D. 若M满足，，则M的轨迹的长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为______.（用数值作答） 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，都有，则______． 14. 已知抛物线的焦点为，为上一点，过作两条直线分别与交于两点，若直线的斜率为，直线的斜率和为1，则的值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 16. 如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且是正三角形，E为母线PB上的一动点． （1）若平面CDE，求PE的长； （2）若直线DE与平面所成角的正弦值为．求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数，. （1）若，求的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围. 18. 甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. （1）当时. （i）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； （ii）记比赛结束时的场数为，求的分布列和数学期望； （2）若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 19. 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，过圆上一点作的两条切线，切点分别为， （1）求证：； （2）设的上、下两个焦点分别为，求的最小值； （3）若直线与两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $