第二十五章 概率初步（高效培优单元测试·提升卷）数学人教版九年级上册

第二十五章 概率初步（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 2．成语“守株待兔”表示（　　） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 3．下列事件中，是必然事件的是（　　） A．掷一枚六个面分别有1～6的数字的均匀骰子，骰子停止转动后奇数点朝上 B．从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是黑桃 C．任意选择电视的某一频道，正在播放动画片 D．在13名同一年出生的同学中，至少有2人的生日在同一个月份 4．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性最小的是（　　） A．面朝上的点数是偶数 B．面朝上的点数是奇数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2 5．下列说法正确的是（　　） A．“概率为0.0000001的事件”是不可能事件 B．某奖券的中奖率为，则买5张奖券一定会有一张中奖 C．“打开电视，正在播放新闻联播”是随机事件 D．“明天降雨的概率是80%”说明明天将有80%的地区降雨 6．在下面（　　）盒子中，摸到红球的可能性最大． A． B． C． D． 7．广东文化溯本追源，按文化领域划分主要分为4大区域：广府文化区、潮汕文化区、客家文化区和雷州文化区，若从以上四种文化中任选一种文化开展学习，则选中“客家文化”的概率为（　　） A． B． C． D． 8．A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个△ABC，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点 9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C．任意画一个三角形，其内角和是360° D．从一个装有2个黄色和1个白色乒乓球的不透明袋子中任取一球，取到的是白球 10．为完成对本年级学生进行“你对哪些课程非常感兴趣”的抽样调查，某小组同学划分了三项任务“数据收集”“数据整理”“数据分析”，如果小华和小丽每人随机选择其中一项任务，则她们恰好选到同一项任务的概率是（　　） A． B． C． D． 11．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 12．如图是一块正六边形的地板示意图，一只小猫在房间里玩耍并随机的停留在某处，那么小猫最终停留在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．一个袋中装有2个红球、4个黑球、5个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出 　 　 球的可能性最大． 14．一个不透明的口袋里有4颗球，除颜色以外完全相同，其中2颗红球，2颗白球，从口袋中随机摸出两颗球，则恰好摸出1颗红球1颗白球的概率是　 　 ． 15．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的论证，下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据： 实验者 德•摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上”的次数 3109 2048 4979 18031 39699 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为　 　 （精确到0.01）． 16．小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．这个游戏公平吗？答：　 　 ．（填“公平”或“不公平”） 17．如图，边长为2的正方形MNEF的四个顶点分在大圆O上，小圆O与正方形各边都相切，AB与CD是大圆O的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，小明随意向水平放置的该圆形区域内抛一个小球，则小球停在该图中阴影部分区域的概率为　 　 ． 18．初三学生小明为表达对母校的感情，用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…．按照此规律，从第（70）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）一个袋子中装有红、白、黄三种颜色的球（这些球除颜色外其余完全相同），小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球的频率分别稳定在和，且白球有8个． （1）求袋子中球的总数； （2）求摸到黄球的概率． 20．（8分）现有甲、乙两个盒子，甲盒装有红球5个、白球2个和黑球3个，乙盒装有红球5个、白球20个和黑球10个．甲、乙两个盒子的球除颜色外，其他都相同． （1）从甲盒中随机取出1个红球的概率 　 　 从乙盒中随机取出1个红球的概率．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）小明说：“将10个红球放入乙盒后，乙盒中的红球的个数比甲盒中红球的个数多，所以此时想取出1个红球，从乙盒中抽取，成功的可能性更大．”请利用概率的知识，判断小明的说法是否正确． 21．（8分）九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有四个完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，2，3，4，游戏规则是：参加联欢会的48名同学，每人同时从盒子里一次摸出两个乒乓球，若两球上数字之和大于5就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至48名同学都摸完， （1）若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演节目的概率； （2）若参加联欢会的同学每人都有一次摸球的机会，请估计本次联欢会上大概有多少个同学表演节目？ 22．（8分）玉溪高原体育运动中心，2024中国足球协会甲级联赛正如火如荼进行，数学老师用游戏的方式从小组积分较高的甲、乙两个学习小组中确定一个小组，并给小组全部成员提供足球票集体观看某一场足球比赛． 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四张卡片（除标号外，其余都相同），甲组代表从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为x．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从口袋里任意摸出1个小球，小球上的数字记为y．然后计算这两个数的积，即xy．若xy为奇数，则甲组获得足球票；否则，乙组获得足球票． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一组更有可能获得足球票 23．（10分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 4000 5000 8000 10000 … 摸到白球的次数m 749 1499 2998 3751 6000 7501 … 摸到白球的频率 0.7490 0.7495 0.7495 0.7502 0.750 0.7501 … （1）根据试验结果试估算口袋中白球有多少只？ （2）在（1）的基础上，若同时从该口袋中摸出两个球，用画树状图或列表法求这两个球颜色相同的概率． 24．（10分）（1）如图1，一边长为2a的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为a的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为2a和a的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 　 　 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 25．（10分）如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标． （2）在（1）的基础上，求点P落在反比例函数图象上的概率． （3）记S＝x+y，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S＜m时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求m的值．（m取整数） 26．（10分）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是（ㅤㅤ）（单选） A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是　 　 ； （2）扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是　 　 ； 【做出合理估计】 （3）若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 （4）文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D（A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 概率初步（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 【答案】C 【解答】解：A．“黄河入海流”是必然事件，因此选项A 不符合题意； B．“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意； C．“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项C 符合题意； D．“红豆生南国”是必然事件，因此选项D不符合题意； 故选：C． 2．成语“守株待兔”表示（　　） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 【答案】A 【解答】解：“守株待兔”可能发生，也可能不发生，是随机事件， 故选：A． 3．下列事件中，是必然事件的是（　　） A．掷一枚六个面分别有1～6的数字的均匀骰子，骰子停止转动后奇数点朝上 B．从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是黑桃 C．任意选择电视的某一频道，正在播放动画片 D．在13名同一年出生的同学中，至少有2人的生日在同一个月份 【答案】D 【解答】解：A、掷一枚六个面分别有1～6的数字的均匀骰子，骰子停止转动后奇数点朝上，是随机事件，故A不符合题意； B、从一副扑克牌中任意抽出一张，花色是黑桃，是随机事件，故B不符合题意； C、任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，是随机事件，故C不符合题意； D、在13名同一年出生的同学中，至少有2人的生日在同一个月份，是必然事件，故D符合题意； 故选：D． 4．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性最小的是（　　） A．面朝上的点数是偶数 B．面朝上的点数是奇数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2 【答案】C 【解答】解：A．面朝上的点数是偶数的概率为； B．面朝上的点数是奇数的概率为； C．面朝上的点数小于2的概率为； D．面朝上的点数大于2的概率为； ∴概率最小的是面朝上的点数小于2， 故选：C． 5．下列说法正确的是（　　） A．“概率为0.0000001的事件”是不可能事件 B．某奖券的中奖率为，则买5张奖券一定会有一张中奖 C．“打开电视，正在播放新闻联播”是随机事件 D．“明天降雨的概率是80%”说明明天将有80%的地区降雨 【答案】C 【解答】解：根据事件的分类，概率的意义逐项分析判断如下： A．“概率为0.0000001的事件”是随机事件，不符合题意； B．某奖券的中奖率为，则买5张奖券不一定会有一张中奖，故该选项不正确，不符合题意； C．“打开电视，正在播放新闻联播”是随机事件，故该选项正确，符合题意； D．“明天降雨的概率是80%”说明明天降雨的可能性大，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6．在下面（　　）盒子中，摸到红球的可能性最大． A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、摸到红球的可能性； B、摸到红球的可能性； C、摸到红球的可能性； D、摸到红球的可能性0； 根据上面的分析，在上面A盒子中，摸到红球的可能性最大． 故选：A． 7．广东文化溯本追源，按文化领域划分主要分为4大区域：广府文化区、潮汕文化区、客家文化区和雷州文化区，若从以上四种文化中任选一种文化开展学习，则选中“客家文化”的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：选中“客家文化”的情况有1种，因此概率为； 故选：A． 8．A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个△ABC，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三个内角角平分线的交点 D．三边高的交点 【答案】A 【解答】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上． 故选：A． 9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 C．任意画一个三角形，其内角和是360° D．从一个装有2个黄色和1个白色乒乓球的不透明袋子中任取一球，取到的是白球 【答案】D 【解答】解：A．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为，不符合题意； C．任意画一个三角形，其内角和是360°的概率为0，不符合题意； D．从一个装有2个黄色和1个白色乒乓球的不透明袋子中任取一球，取到的是白球的概率为，符合题意． 故选：D． 10．为完成对本年级学生进行“你对哪些课程非常感兴趣”的抽样调查，某小组同学划分了三项任务“数据收集”“数据整理”“数据分析”，如果小华和小丽每人随机选择其中一项任务，则她们恰好选到同一项任务的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：将“数据收集”“数据整理”“数据分析”分别记作A、B、C，列表如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表知，共有9种等可能结果，其中她们恰好选到同一项任务的有3种结果， 所以她们恰好选到同一项任务概率为， 故选：C． 11．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解答】解：随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近， ∴摸出黑球的概率为0.6， ∴， 解得x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意， 故选：B． 12．如图是一块正六边形的地板示意图，一只小猫在房间里玩耍并随机的停留在某处，那么小猫最终停留在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：正n边形的每个内角等于， ∵地板为正六边形， ∴其每个内角为， 如图，连接AD，BF，CE即AD⊥BF，AD⊥CE，其垂足分别为G，H， 设正六边形的边长为a ∵∠ABC＝120°，∠CBF＝90°， ∴∠ABG＝30°， ∴， 同理， ∴AG2＝3a， ∴ ∴S阴影部分＝S正六边形﹣S△ACE﹣S△CDE，＝S△ABF+S矩形BCFE+S△CDE﹣S△ACE﹣S△CDE， ∴． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．一个袋中装有2个红球、4个黑球、5个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出 　白　 球的可能性最大． 【答案】白． 【解答】解：根据题意，一个袋中装有2个红球、4个黑球、5个白球，共11个；根据概率的计算公式有 摸到红球的可能性为； 摸到黑球的可能性为； 摸到白球的可能性为． 比较可得：从袋中任意摸出一个球，那么摸出白球的可能性最大． 故答案为：白． 14．一个不透明的口袋里有4颗球，除颜色以外完全相同，其中2颗红球，2颗白球，从口袋中随机摸出两颗球，则恰好摸出1颗红球1颗白球的概率是　　 ． 【答案】． 【解答】解：画树状图如图： 共有12个等可能的结果，恰好摸出1颗红球1颗白球的结果有8个， ∴恰好摸出1颗红球1颗白球的概率为， 故答案为：． 15．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的论证，下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据： 实验者 德•摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上”的次数 3109 2048 4979 18031 39699 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为　0.50　 （精确到0.01）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，正面向上的频率逐渐稳定到0.50附近， 故硬币出现“正面朝上”的概率为0.50， 故答案为：0.50； 16．小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．这个游戏公平吗？答：　不公平　 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平． 【解答】解：列表如下： 共有36种等可能的结果，其中点数之差的绝对值等于0，1，2的结果数有24种，点数之差的绝对值等于3，4，5的结果数有12种， ∴小伟胜的概率，小梅胜的概率； ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 17．如图，边长为2的正方形MNEF的四个顶点分在大圆O上，小圆O与正方形各边都相切，AB与CD是大圆O的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，小明随意向水平放置的该圆形区域内抛一个小球，则小球停在该图中阴影部分区域的概率为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵小圆O与正方形各边都相切，AB与CD是大圆O的直径，AB⊥CD，CD⊥MN， ∴图形是中心对称图形，大圆的半径为， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形OBCπ，大圆的面积是：（）2•π＝2π， ∴小球停在该图中阴影部分区域的概率为； 故答案为：． 18．初三学生小明为表达对母校的感情，用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…．按照此规律，从第（70）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵第1个图形中正方体的个数为1， 第2个图形中正方体的个数3＝1+2， 第3个图形中正方体的个数6＝1+2+3， ∴第70个图形中，正方体一共有1+2+3+……+702485（个），其中写有“心”字的正方体有70个， ∴抽到带“心”字正方体的概率是． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）一个袋子中装有红、白、黄三种颜色的球（这些球除颜色外其余完全相同），小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球的频率分别稳定在和，且白球有8个． （1）求袋子中球的总数； （2）求摸到黄球的概率． 【答案】（1）袋子中球的总数为20个； （2）摸到黄球的概率为． 【解答】解：（1）∵摸到白球的频率稳定在且白球有8个， ∴球的总数为个， 答：袋子中球的总数为20个； （2）∵红球频率为 ∴红球个数为个， ∴黄球个数为 20﹣8﹣2＝10 个， ∴摸到黄球的概率， 答：摸到黄球的概率为． 20．（8分）现有甲、乙两个盒子，甲盒装有红球5个、白球2个和黑球3个，乙盒装有红球5个、白球20个和黑球10个．甲、乙两个盒子的球除颜色外，其他都相同． （1）从甲盒中随机取出1个红球的概率 　＞　 从乙盒中随机取出1个红球的概率．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）小明说：“将10个红球放入乙盒后，乙盒中的红球的个数比甲盒中红球的个数多，所以此时想取出1个红球，从乙盒中抽取，成功的可能性更大．”请利用概率的知识，判断小明的说法是否正确． 【答案】（1）＞； （2）小明的说法不正确． 【解答】解：（1）∵甲盒装有红球5个、白球2个和黑球3个，乙盒装有红球5个、白球20个和黑球10个， ∴从甲盒中随机取出1个红球的概率，从乙盒中随机取出1个红球的概率， ∵， ∴从甲盒中随机取出1个红球的概率＞从乙盒中随机取出1个红球的概率， 故答案为：＞； （2）由题意可知，从乙盒中取出1个红球的概率， 由（1）可知，从甲盒中随机取出1个红球的概率， ∵， ∴小明的说法不正确． 21．（8分）九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有四个完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，2，3，4，游戏规则是：参加联欢会的48名同学，每人同时从盒子里一次摸出两个乒乓球，若两球上数字之和大于5就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至48名同学都摸完， （1）若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演节目的概率； （2）若参加联欢会的同学每人都有一次摸球的机会，请估计本次联欢会上大概有多少个同学表演节目？ 【答案】（1）． （2）估计本次联欢会上大概有16名同学表演节目． 【解答】解：（1）列表如下： 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 共有12种等可能的结果，其中两个数字之和大于5的结果有：（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），共4种， ∴小朱同学表演节目的概率为． （2）16（名）． 答：估计本次联欢会上大概有16名同学表演节目． 22．（8分）玉溪高原体育运动中心，2024中国足球协会甲级联赛正如火如荼进行，数学老师用游戏的方式从小组积分较高的甲、乙两个学习小组中确定一个小组，并给小组全部成员提供足球票集体观看某一场足球比赛． 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四张卡片（除标号外，其余都相同），甲组代表从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为x．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从口袋里任意摸出1个小球，小球上的数字记为y．然后计算这两个数的积，即xy．若xy为奇数，则甲组获得足球票；否则，乙组获得足球票． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一组更有可能获得足球票 【答案】（1）12种； （2）不公平，乙组更有可能获得足球票． 【解答】解：（1）列表如下： x y 1 2 3 4 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） ∴（x，y）所有可能出现的结果为：（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（1，3），（2，3），（3，3），（4，3），它们出现的可能性相等，一共有12种． 答：（x，y）所有可能出现的结果共有12种． （2）由表（图）可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等． 其中xy为奇数的有4种：（1，1），（3，1），（1，3），（3，3），剩下的8种结果为偶数， 故甲组获得足球票的概率，乙组获得足球票的概率． ∵， ∴P1＜P2， ∴这个游戏不公平，乙组更有可能获得足球票． 23．（10分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 4000 5000 8000 10000 … 摸到白球的次数m 749 1499 2998 3751 6000 7501 … 摸到白球的频率 0.7490 0.7495 0.7495 0.7502 0.750 0.7501 … （1）根据试验结果试估算口袋中白球有多少只？ （2）在（1）的基础上，若同时从该口袋中摸出两个球，用画树状图或列表法求这两个球颜色相同的概率． 【答案】（1）3只； （2）． 【解答】解：（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，所以摸到白球的概率为0.75， 4×0.75＝3（只）， 答：口袋中白球有3只； （2）设白球为A1，A2，A3，黑球为B， A1 A2 A3 B A1 （A1，A2） （A1，A3） （A1，B） A1 （A2，A1） （A2，A3） （A2，B） A3 （A3，A1） （A3，A2） （A3，B） B （B，A1） （B，A2） （B，A3） 一共有12种等可能的结果，其中两个球颜色相同的有6种结果， ∴随机摸出两个球颜色相同的概率为． 24．（10分）（1）如图1，一边长为2a的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为a的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为2a和a的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 　　 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1）；（2）；（3）乙获胜的概率大，理由见解答． 【解答】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为2a×2a＝4a2， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率P； （2）∵图形的总面积为a2+（2a）2＝5a2，阴影部分面积为5a2﹣（2a+a）×2a÷2＝2a2， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：； （3）乙获胜的概率大，理由如下： ∵甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大． 25．（10分）如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标． （2）在（1）的基础上，求点P落在反比例函数图象上的概率． （3）记S＝x+y，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S＜m时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求m的值．（m取整数） 【答案】（1）列表如下： 2 4 6 1 （1，2） （1，4） （1，6） 2 （2，2） （2，4） （2，6） 3 （3，2） （3，4） （3，6） 4 （4，2） （4，4） （4，6） 由表格可知，共有12种等可能的结果． （2）． （3）m＝7． 【解答】解：（1）列表如下： 2 4 6 1 （1，2） （1，4） （1，6） 2 （2，2） （2，4） （2，6） 3 （3，2） （3，4） （3，6） 4 （4，2） （4，4） （4，6） 由表格可知，共有12种等可能的结果． （2）由表格可知，点P落在反比例函数图象上的结果有：（2，6），（3，4），共2种， ∴点P落在反比例函数图象上的概率为． （3）由（1）中的表格可知，S＝x+y的所有等可能的结果有：3，5，7，4，6，8，5，7，9，6，8，10，共12个， ∵游戏是公平的， ∴甲、乙获胜的概率都是， 即S＜m的结果有6个，分别为3，4，5，5，6，6， ∵m为整数， ∴m＝7． 26．（10分）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是（ㅤㅤ）（单选） A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是　120　 ； （2）扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是　96°　 ； 【做出合理估计】 （3）若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 （4）文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D（A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 【答案】（1）120； （2）96°； （3）600人； （4）． 【解答】解：（1）已知喜爱冰箱贴的人数有36人，占比为30%， ∴120； 故答案为：120； （2）喜爱玩偶的人数有120﹣36﹣12﹣40＝32（人）， ∴360°96°； 故答案为：96°； （3）（人） 答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人（6分） （4）根据题意，可以画出如下树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC，DD，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即AA，BB，CC，DD． 所以，． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $