4.2.2 等差数列的前n项和公式（第一课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“等差数列的前n项和公式”，以高斯求和故事导入，衔接已学的等差数列概念与通项公式，通过问题链引导学生从具体数列求和到一般公式推导，构建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于以情境激发数学眼光，通过高斯算法探究倒序求和法，培养数学思维中的推理能力，结合“知三求二”方程思想与实例应用，用数学语言精确表达公式推导逻辑。学生能提升探究与逻辑思维，教师可借助清晰环节高效开展教学。

年 级：高二 学 科：数学（人教A版） 主讲人：王琦 学 校：北京市第五中学 4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时） 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 检查预习 高中数学 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题. 据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 高斯（Gauss，1777－1855）， 德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 引入课题 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 当其他同学忙于把各个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： 高斯的算法实际上解决了求等差数列 前100项的和的问题. ① 引入课题 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 这就是上一小节例5中性质的应用，它使不同数的求和问题转化成了相同数（即101）的求和，从而简化了运算. 对于数列①，设 ，那么高斯的计算方法可以表示为 . 可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系， 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 将上述方法推广到一般，可以得到： 当n是偶数时，有 ， 于是有 当n是奇数时，有 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 所以，对任意正整数n，都有: 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 它相当于两个 相加，而结果变成n个 相加. 如果对公式作变形，可得 ， 受此启发，我们得到下面的方法： 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 将上述两式相加，可得 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 第1层1根 第2层2根 第n层n根 1＋n根 1＋n根 …… 因为 ， n层 所以 . 合作探究 高中数学 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 对于等差数列 ，因为 ，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示 ： 可以发现，上述方法的妙处在于将 “倒序”为 ， 再将两式相加，得到n个相同的数（即 ）相加，从而把不同数的求和转化为n个相同的数求和. 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 ②+③，得 由此得到等差数列 的前n项和公式: 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 对于等差数列 ，利用公式（1），只要已知等差数列的首项 和末项 ，就可以求得前项和. 另外，如果已知首项 和公差 ，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用 和来 表示 . 把等差数列的通项公式 代入公式（1），可得 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 对于任意正整数n，都有 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 学以致用 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 解： （1）因为 ， 根据公式 ，可得 . 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 （2）因为 ，所以 . 根据公式 ，可得 . 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 知三求二 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定. 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 利用电子表格进行观察，得结论. 打开表格： 合作探究 国家中小学课程资源 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 小试牛刀 高中数学 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 小试牛刀 高中数学 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 等差数列{an}的前n项和公式 (1) (2) 等差数列{an}的通项公式 基本量法 (转化与化归) 知三求二 (方程思想) 倒序求和 课堂小结 高中数学 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 2. 完成对应的课时训练并预习下一课时内容. 1.课本第22页练习第1、3、5题； 布置作业 高中数学 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 高中数学 人教A版选择性必修二第四章 数列 人教A版选择性必修二第四章 数列 例6：已知数列 是等差数列. （1）若， ，求 ； （2）若， ，求 ； （3）若 ，求 . 分析： 对于（1），可以直接利用公式 求和； 在（2）中，可以先利用 和 的值求出 ，再利用公式 求和； （3）已知公式 中的， 和 ，解方程即可求得 . 例6：已知数列 是等差数列. （1）若， ，求 ； 例6：已知数列 是等差数列. （2）若， ，求 ； 例6：已知数列 是等差数列. （3）若 ，求 . 把 代入 ，得 . 整理，得 . 解得 ，或 （舍去）. 所以 . 例7：已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 分析：把已知条件代入等差数列前 项和的公式（2）后，可得到两个关于 与 的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得 和 . 解：由题意，知， . 把它们代入公式 ， 得 解方程组，得 Sheet1 Sn=An2+Bn+C A= 0 S1= 0 a1= 0 B= 0 S2= 0 a2= 0 C= 0 S3= 0 a3= 0 S4= 0 a4= 0 S5= 0 a5= 0 S6= 0 a6= 0 说明：手动输入A,B,C的值，便可观察结果！ $