4.2.2等差数列的前n项和公式第一课时课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式 第四章 数列 人教A版 选择性必修二 等差中项的定义 等差数列 性质 数列 特殊化 等差数列的定义 an+1－an=d （n∈N*） 通项公式 an=a1+（n－1）d （n∈N*） 一次函数 an=nd+（a1－d） （n∈N*） 前n项和 ？ 若p+q=s+t，则 ap+aq=as+at 1回顾旧知 首项与末项的和： 1＋100＝101， 第2项与倒数第2项的和： 2＋99 ＝101， 第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，  · · · 第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101， 于是所求的和是： 求S =1+2+3+···+100=？ 高斯算法： 高斯算法用到了等差数列的什么性质？ 转化 不同数的求和 相同数的求和 首尾配对求和法 2探究新知 问题1：你能用高斯的算法求1+2+3+···+100+101吗？ 思路1： 思路2： 思路3： （拿出中间项，再首尾配对） （1+101）+（2+100）+···+（50+52）+51 （拿出末项，再首尾配对） （1+2+3+···+100）+101 （先凑偶数项，再首尾配对） 0+1+2+3+···+100+101 5 问题2：将上述方法推广到一般，你能求1+2+3+···+n 吗？ 无论n为奇数或偶数，都有结果 6 在求n个正整数的和时，要对n分奇偶进行讨论，能否设法避免分类讨论？ 思考： 追问：上述方法的妙处在哪里？ 倒序相加求和法 求Sn =1+2+3+···+n n n+1 7 问题3：倒序求和方法能推广到求一般等差数列的前n项和吗？ 设等差数列{an}的前n项和为Sn Sn = an + an-1 + ...+ a1 Sn = a1 + a2 + ... + an 2Sn = (a1+ an )+ (a2+an-1 )+ ···+ (an + a1) =n (a1+ an ) 等差数列{an}前n项和公式 8 公式1 公式2 问题4：不从公式1出发，你能用其他方法得到公式2吗？ an=a1+（n－1）d 功能：已知 n，a1， an，求Sn 9 问题5：你能构造几何图形来直观地表达这两个公式吗？ 割 补 类比面积公式 10 例6.已知{an}是等差数列， (1) a1=7, a50=101，求S50 (2) a1=2, a2= ，求S10 (3) a1= , d= ，Sn=－5，求n. 解: (1)因为a1=7, a50=101， 根据公式 , 可得 3精讲例题 结论：知三求二 (2)在等差数列{an}中，如果已知五个相关量a1, an,d,n,Sn中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ? 追问：(1)使用中两个求和公式的异同点是？ 例7. 已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由此能否确定这个等差数列的首项和公差? 10a1+45d=310, 20a1+190d=1220. a1=4, d=6. S10=310, S20=1220. 一般地，a1、d是确定一个等差数列的基本量，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。 追问：求S30. S30 = 2730 S10 = 310 S20=1220 基本量法 问题6：你有注意到这些数据有什么规律吗？ S10 = 310 S20－S10=910 S30－S20=1510 S10 = 310 S20=1220 S30=2730 思考：你能归纳得到什么一般性的结论？能证明吗？ 若相减： 若除下标： 试试相减或相除呢？ 两个公式 应用 多种思想 两种方法 首尾配对法，倒序相加法 一般与特殊，化归转化，数形结合，函数与方程，分类整合 知三求二 4课堂小结 必做题：教材P22页 练习1、3，教材P24页习题1、2； 选做题：教材P25页7 拓展性作业： （1）探究：从函数角度如何认识等差数列前n项和公式； （2）课后查阅相关文献资料，探寻等差数列前n项和公式的其 他推导方法。 基础性作业： 5课后作业 “只有那些有勇气去深入研究的人，才能发现科学和数学无与伦比的魅力。” 卡尔•弗里德里希•高斯 谢谢！ Lavf58.20.100 $