精品解析：辽宁省沈阳市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次阶段考试数学试题

2025-2026学年度（上）沈阳市第一中学第二次 阶段反馈高一年级数学试卷 命题人：高一数学组 校对人：高一数学组 考试时间：120分钟 考试分数：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的零点是（ ） A. 和 B. 和 C. 和6 D. 3和6 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的零点即可得解. 【详解】由，得或， 所以函数的零点是和6. 故选：C 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质及二次函数的性质，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，即，所以， 由，因为时， 所以得到，所以， 所以， 故选：D. 3. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B； 所以，定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 4. 总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 01 B. 02 C. 04 D. 07 【答案】A 【解析】 【分析】由随机数表的读法依次读取数据即可. 【详解】从第一行的第7列和第8列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08，02，14，07，01，所以第5个个体是01. 故选：A． 5. 已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把点代入，求得解析式，可得反函数解析式，由，得的定义域为，可求值域. 【详解】函数过点，则，解得， ∴，的反函数为，得， 由，∴的定义域为，当，有，则的值域为. 故选：D 6. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用函数单调性及特殊值法，再结合充分条件必要条件定义判断. 【详解】已知，若，满足“”但是不满足“； 当时，， 设函数，其定义域为， 因为函数和在上均为增函数， 则在上单调递增，又，所以； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质及指数函数的性质判断的范围即可. 【详解】易知， 又因为，即，所以， 所以. 故选：A 8. 函数是R上的奇函数，函数，若函数与有n个交点分别为，，，，则的值为（ ） A. 2n B. 3n C. 4n D. 5n 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数及分式型函数的性质确定、的对称中心为，进而求目标式的值. 【详解】由是R上的奇函数，则的对称中心为， 由，显然的对称中心为， 由函数与有n个交点分别为，，，， 所以，， 所以. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数m，n，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项分析计算即可. 【详解】对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 10. 有下列几个命题，其中正确的是（ ） A. 给定幂函数，则对任意，都有 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数与互为反函数，则的单调递减区间为 D. 已知函数是奇函数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据幂函数的表达式，结合基本不等式即可求解A，根据抽象函数的定义域即可求解B，根据反函数的定义，由对数型函数的定义域即可判断C，根据奇函数的性质即可求解D. 【详解】对于A，， 由于所以，进而可得， 从而可得，即,故A正确， 对于B，若函数的定义域为，则函数的定义域满足， 所以，故其定义域为，故B正确， 对于C，由于函数与互为反函数，所以， 则，定义域为， 由于不在定义域范围内，故C错误， 对于D，当时，，则， 由于为奇函数，所以， 故，D正确， 故选：ABD 11. 函数关于x的方程：有六个零点，则下列选项正确的（ ） A. 减区间为， B. C. 或 D. 函数与有5个交点 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数解析式画出图象，再由方程根的个数利用换元法得出二次函数对称轴以及区间内的交点个数可得结果. 【详解】作出函数的图象如下图所示， 减区间为，，A选项错误； 函数与有5个交点，D选项正确； 令，则方程化为， 要使关于的方程恰好有六个不同的实数根， 则方程有两个不同实数根， 因此需满足 或或， 解得或，B选项错误，C选项正确； 故选：CD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 13. 已知函数若的最小值为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数确定每段的最小值，再通过大小比较即可求解； 【详解】依题意，的最小值为. 因为当时，，此时最小值为， 所以必有，即. 再保证时，的最小值为， 令，可知等价于当时，的最小值为， 由对勾函数的单调性可知：，在单调递减，在单调递增； 故，即. 综上，. 故答案为： 14. 已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可. 【详解】由，可得：， 又因为是定义在R上的偶函数， 则，且函数图象关于轴对称， 所以，即的周期为4， 作出函数在上的图象， 根据对称性及周期为4，可得出在上的图象： 令， 若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根， 至多有3个不同的实数根， 则函数与函数在上至少有2个不同的交点， 至多有3个不同的交点， 所以，即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合 （1）求集合; （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算集合，再利用集合交集求解即可. （2）由（1）可得，再由列式即可. 【小问1详解】 由题意，集合， 集合， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 因为, 所以，解得，即， 故实数的取值范围为. 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的中位数； （2）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1），75 （2）62,37 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；由频率分布直方图求中位数的计算公式即可求解； （2利用平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以， 则. 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 设中位数为m， 由，得，故中位数为75. 【小问2详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的样本人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 17. 近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求： （1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，） 【答案】（1） （2）小时 【解析】 【分析】（1）当时，设，当时，设（且），将相应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，综合可得出关于的函数解析式； （2）分析函数的单调性，当时，解不等式，即可得出结论. 【小问1详解】 解：当时，设，将代入得，解得，此时，； 当时，设（且），将、代入得， 解得，此时，. 综上：. 【小问2详解】 解：因为函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，令，得， 则，即， 所以，. 所以，从药物释放开始，至少经过小时后学生才能进入教室. 18. 定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． （1）求的值，并证明为奇函数； （2），使成立，求取值范围； （3）解不等式． 【答案】（1）； 对，取，则， 因此，所以为奇函数. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求出，再利用奇函数定义推理得证. （2）求出在上的最大值，再由能成立问题建立不等式求解. （3）变换给定不等式，构造新函数，利用单调性、奇函数的性质求解不等式. 【小问1详解】 ，都有成立， 取，得，解得； 【小问2详解】 函数为上的增函数，则当时，， 由，使成立，得，解得， 所以取值范围是. 【小问3详解】 ，， 不等式， 令，则函数是奇函数，且为上的增函数， 原不等式为，即， 于是，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 19. 已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对D内的任意x，都有，则称是“反比例对称函数”．设，． （1）判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； （2）若函数与的图像恰有一个交点，求的值； 【答案】（1） 是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可知， 可知， 所以， 故是“反比例对称函数”． （2） 【解析】 【分析】（1）根据“反比例对称函数”的定义来进行判断. （2）由有一个解列方程，化简求得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，，此时， 因为函数与的图像恰有一个交点，即有一个解， 得， 令，得仅有一个解， 显然， 因为，则有， 要使仅有一个解， 只需，或（舍） 所以． 【点睛】方法点睛： 反比例对称函数的判断：通过对函数进行化简并运用反比例对称函数的定义，确认了函数是否满足对称条件，这部分依赖于对对数运算和函数对称性的理解. 交点求解：通过设定方程来求解，从而得到交点条件，这里利用了函数代数表达式的结合与化简，最终得到只有一个解的条件，从而确定的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）沈阳市第一中学第二次 阶段反馈高一年级数学试卷 命题人：高一数学组 校对人：高一数学组 考试时间：120分钟 考试分数：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的零点是（ ） A. 和 B. 和 C. 和6 D. 3和6 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 4. 总体由编号01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 01 B. 02 C. 04 D. 07 5. 已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 函数是R上的奇函数，函数，若函数与有n个交点分别为，，，，则的值为（ ） A. 2n B. 3n C. 4n D. 5n 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数m，n，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 有下列几个命题，其中正确的是（ ） A. 给定幂函数，则对任意，都有 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数与互为反函数，则的单调递减区间为 D. 已知函数是奇函数，则 11. 函数关于x的方程：有六个零点，则下列选项正确的（ ） A. 减区间为， B. C. 或 D. 函数与有5个交点 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：______． 13. 已知函数若的最小值为，则实数的取值范围是______. 14. 已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合 （1）求集合; （2）若，求实数的取值范围. 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的中位数； （2）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 17. 近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求： （1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，） 18. 定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． （1）求的值，并证明为奇函数； （2），使成立，求取值范围； （3）解不等式． 19. 已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对D内的任意x，都有，则称是“反比例对称函数”．设，． （1）判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； （2）若函数与的图像恰有一个交点，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $