精品解析：吉林省长春市双阳区晨宇希望中学2025-2026学年上学期 九年级数学期中试题

长春市晨宇希望中学九年级数学期中监测卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解： ∴，， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误； C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误； D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确． 故选：D ． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=3，c=4，d=1 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A.1×4≠3×2，故本选项不符合题意； B.4×10≠6×5，故本选项不符合题意； C.4×3=2×6，故本选项符合题意； D.2×3≠1×4，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 一元二次方程 根的情况是（　　） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式计算的值并判断即可． 【详解】 原方程由两个不相等的实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的判别式判断根的情况，熟记相关结论是本题的解题关键． 5. 如图，，直线、与这三条直线分别交于点、、和、、，若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出的长度即可． 【详解】解：， ， ，，， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 6. 如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ） A. 5米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可． 【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E， ∵BE平行于地面， ∴∠ABE＝∠α， ∵BE＝5米， ∴AB＝＝． 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形． 7. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由为： 证明：、、、分别为、、、的中点， ，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意； C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、添加的条件是， 、、、分别为、、、的中点，且，，，，， ， 则四边形为菱形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了中点四边形，以及平行四边形、矩形、菱形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 8. 如图，在中，，，轴，轴，反比例函数经过点，交于点，且，则的值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质．设点的坐标为，利用勾股定理，证明，求得，，求得点的坐标为，据此列式计算即可求解． 【详解】解：作轴交于点， ∵轴，轴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴设点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 函数的自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：在实数范围内有意义， 则；解得 故答案为 10. 一元二次方程x2﹣7x＝0的较大根为__． 【答案】7 【解析】 【分析】求出方程的根，即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程x2﹣7x＝0，即x（x﹣7）＝0， ∴解得x1＝0，x2＝7， ∴此方程较大根是7， 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 11. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____． 【答案】20% 【解析】 【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可． 【详解】设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得： 125(1−x)2=80 解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去) 故答案为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出关系式是解题的关键． 12. 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米． 【答案】5 【解析】 【分析】由已知易得：△MBA∽△MCO，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长． 【详解】根据题意，易得△MBA∽△MCO， 根据相似三角形的性质可知， 即， 解得AM=5． ∴小明的影长为5米． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长. 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了图形的位似变换，相似三角形的判定以及性质，由正方性的性质和位似图形的性质可得出，，进而得出， 由相似三角形的性质可得出，进而可求出，进一步即可得出答案． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，， ∴，， ∴， ，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分，，给出下列五个结论：①；②；③；④若的面积为，则四边形的面积为；⑤．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识点，并能熟练运用求解．根据角平分线的意义，可得，再根据平行线的性质，可得，从而可得，利用证明，从而可判断①；利用勾股定理即可判断②；利用全等三角形的性质得，可判断③；先利用全等三角形的性质，可得出，再利用等底同高的两个三角形面积相等，可得出，利用，可证得，从而可得出，再根据的面积为，可求出，从而可判断④；先证明，列出比例式，求出，即可求得，从而可判断⑤． 【详解】解：∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴（）， ∴，，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定等于，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②⑤． 二、解答题 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂，二次根式的混合运算等知识点． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开方法解即可； 【小问1详解】 解：将原方程化为一般式，得， ∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：， ∴或， ∴ 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 17. 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）． （1）以点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，请画出△OA1B1． （2）按照（1）的变换后，cos∠OA1B1＝　 　． （3）设点P（a，b）为△OAB内部一点，按照（1）的变换后，点P在△OA1B1内部的对应点P1的坐标为　 　． 【答案】（1）如图； （2）； （3）（-2a,-2b）． 【解析】 【分析】（1）先将A、B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．放大得出在平面直角坐标系中描点A1（-6，2），B1（-4，-2），然后描点，顺次连结OA1，A1B1，B1O即可； （2）根据勾股定理求出OA1，A1B1，OB1，根据勾股定理逆定理判断△OA1B1为直角三角形，再利用余弦三角函数定义计算即可； （3）利用异侧放大为原来的2倍即可得出点P1坐标． 【详解】解：（1）以点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1， ∵A、B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）． ∴A1、B1两点的坐标分别为（-3×2， 1×2）、（-2×2，-1×2）．即（-6，2），（-4，-2）， 在平面直角坐标系中描点A1（-6，2），B1（-4，-2）， 顺次连结OA1，A1B1，B1O， ∴△OA1B1为所求位似图形； （2）OA1=，A1B1=， OB1=， ∵， ∴△OA1B1为直角三角形， ∴cos∠OA1B1＝， 故答案为：； （3）设点P（a，b）为△OAB内部一点，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍， ∴P1（-2a,-2b）． 故答案为（-2a,-2b）． 【点睛】本题考查图形与坐标，位似图形，勾股定理与勾股定理逆定理，锐角三角函数定义，掌握图形与坐标，位似图形，勾股定理与勾股定理逆定理，锐角三角函数定义.,求位似图形对应点坐标是解题关键． 18. 如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米? 【答案】四周未铺地毯的条形区域的宽度是1米 【解析】 【分析】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x米，根据题意列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x米，根据题意有， ， 解得（不符合题意，舍去）， ∴四周未铺地毯的条形区域的宽度是1米． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是关键． 19. 在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段，其中点在直线上．请用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在直线上找到一点，作，使得； （2）在图②中，在直线上找到一点，作，使得与图①相似； （3）在图③中，在直线上找到一点，作，使得． 【答案】（1） 解：如图，即为所求 （2） 如图，即为所求 （3） 如图，即为所求 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值； （1）根据轴对称的性质画出使得，即可画出 （2）根据两边成比例，夹角相等，得出，进而画出， （3）根据可得，结合网格作等腰，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴． 20. 某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测量学校一幢教学楼的高度如图所示，他们先在点测得教学楼的顶部的仰角为，然后向教学楼前进米到达点，又测得点的仰角为．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边及，构造方程关系式，进而即可求出答案． 【详解】解：由已知，可得：，， 在中，． 又在中， ∴ ∵ ∴ ∵ 21. 如图，菱形的对角线、相交于点，点在边上，且．过点作，交边于点，过点作，交边于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，且四边形的面积为，则的长为______． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， ． ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质推出，，由直角三角形斜边中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，进而推出，根据平行线的性质得到，由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，即可证得四边形是矩形； （2）设，，由勾股定理得，可得，由矩形的面积可求得，进而可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， 设，， 由勾股定理得， 由（1）知， 矩形的面积为， ， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 22. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米． （1）当y＝72时，求x的值． （2）y的值能否为120？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）x的值是12； （2）不能，理由： 由题意题意可得x（30-2x）=120，即， ，可得方程无解， 所以y的值不能为120. 【解析】 【分析】（1）由题意根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由题意题意可得x（30-2x）=120，即，进而依据根的判别式即可分析出结论. 【详解】解：（1）设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则圃园与墙平行的一边长为（30-2x）米， 由题意可得，解得：6≤x＜15， x（30-2x）=72， 即x2-15x+36=0， 解得：x1=3（舍去），x2=12， 即x的值是12； （2）略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 23. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内容． 如图，在中，D是边的四等分点， ，，，．求四边形的周长． 问题解决：请结合图1给出解题过程． 问题探究 （1）如图2，在中，D是边上的一点，过点D作，交于点F，过点D作，交于点E，延长至H，使，连接交于G．若．的面积为2，则的面积为______． （2）如图3，在中，D是边上的一点，且，连接，E为上一点，连接交于点F，若F为的中点，的面积为m，则的面积为______（含m的代数式表示）． 【答案】问题解决：18；问题探究：（1）；（2） 【解析】 【分析】问题解决；先得到，再证明，求出，；进一步证明四边形是平行四边形．得到，由此即可得到答案； 问题探究：（1）首先证明，得，推出，则，证明，得到，再由，得到，则，进而得到，则； （2）连接，过点D作，交于G，先得到，证明，推出，，设，则，则，，证明，推出，得到，则，即可得到，则． 【详解】解：问题解决：∵D是的四等分点， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，， ∴，． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴四边形周长； 问题探究：（1）连接， 由问题解决同理可得：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）连接，过点D作，交于G， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，， 设，则， ∵的面积为m， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形，构造相似三角形是解题的关键． 24. 如图，，点是的边上一点，．点、分别是射线、射线上的动点，．点是线段的中点，连结，过点作的垂线，当该垂线与射线有交点时，记交点为，以、为邻边作矩形． （1）的值是______； （2）当时，求的长； （3）当四边形是正方形时，求的值（求出一个即可）； （4）当点在线段上，且矩形与重合部分的图形是轴对称图形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或3 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是分类推论． （1）根据，得出结果； （2）设于，设，则，可得出，从而，从而得出，根据列出方程，进一步得出结果； （3）设，则，当在的延长线上时，作，交的延长线于，可证得，从而，，进而根据，得出，从而表示出和及，进一步得出结果；同样得出当点在上时的情形； （4），当矩形与△重合部分的图形是矩形时，符合条件，得出临界：当点在上时，点在处时的结果和当在上时的结果，进而得出的范围． 【小问1详解】 解：（1）， ， ， 点是的中点， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 如图1， 设于，设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图2， 设，则， 当在的延长线上时， 作，交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图3， 当点在上时， 作于， 同理可证， ，， ， ， 综上所述：或3； 【小问4详解】 当矩形与△重合部分的图形是矩形时，符合条件， 当点在上时，点在处时， 如图， 当在上时， 与平行， ， ， ， 如图， 设交于， 当时中点时，四边形是轴对称图形， 此时， 作，交于，作于，作于， ， 且，，，，， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市晨宇希望中学九年级数学期中监测卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=3，c=4，d=1 4. 一元二次方程 根的情况是（　　） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 如图，，直线、与这三条直线分别交于点、、和、、，若，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 6. 如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ） A. 5米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，轴，轴，反比例函数经过点，交于点，且，则的值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 函数的自变量x的取值范围是___． 10. 一元二次方程x2﹣7x＝0的较大根为__． 11. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____． 12. 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点的同侧，点、、在轴上，其余顶点在第一象限，若正方形的边长为，则点的坐标为__________． 14. 如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分，，给出下列五个结论：①；②；③；④若的面积为，则四边形的面积为；⑤．上述结论中，正确结论的序号有______． 二、解答题 15. 计算： （1） （2） 16. 解下列方程： （1）． （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）． （1）以点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，请画出△OA1B1． （2）按照（1）的变换后，cos∠OA1B1＝　 　． （3）设点P（a，b）为△OAB内部一点，按照（1）的变换后，点P在△OA1B1内部的对应点P1的坐标为　 　． 18. 如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米? 19. 在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段，其中点在直线上．请用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在直线上找到一点，作，使得； （2）在图②中，在直线上找到一点，作，使得与图①相似； （3）在图③中，在直线上找到一点，作，使得． 20. 某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测量学校一幢教学楼的高度如图所示，他们先在点测得教学楼的顶部的仰角为，然后向教学楼前进米到达点，又测得点的仰角为．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（结果保留根号） 21. 如图，菱形的对角线、相交于点，点在边上，且．过点作，交边于点，过点作，交边于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，且四边形的面积为，则的长为______． 22. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米． （1）当y＝72时，求x的值． （2）y的值能否为120？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由． 23. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内容． 如图，在中，D是边的四等分点， ，，，．求四边形的周长． 问题解决：请结合图1给出解题过程． 问题探究 （1）如图2，在中，D是边上的一点，过点D作，交于点F，过点D作，交于点E，延长至H，使，连接交于G．若．的面积为2，则的面积为______． （2）如图3，在中，D是边上的一点，且，连接，E为上一点，连接交于点F，若F为的中点，的面积为m，则的面积为______（含m的代数式表示）． 24. 如图，，点是的边上一点，．点、分别是射线、射线上的动点，．点是线段的中点，连结，过点作的垂线，当该垂线与射线有交点时，记交点为，以、为邻边作矩形． （1）的值是______； （2）当时，求的长； （3）当四边形是正方形时，求的值（求出一个即可）； （4）当点在线段上，且矩形与重合部分的图形是轴对称图形时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $