精品解析：广东省汕头市金培实验学校2025-2026学年上学期人教版九年级数学月考（三）试题

2025-2026学年度第一学期九年级数学素养训练（三）测试卷 （满分为120分，考试时间为120分钟） 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合璧，带来事事如意的吉祥．下列关于该标识的说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形不是中心对称图形 B. 是中心对称图形不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 2. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴交于正半轴 D. 有最大值，最大值为 3. 为了表演课本剧，需要制作如图所示的一个圆锥形的帽子，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则制作这个帽子所需纸板面积为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 4. 保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有64种农作物种子，经过两年不断努力地培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量的年平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，都在反比例函数的图象上， 则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程，用下列选项中的数字替换m，使方程没有实数根的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 如图，把绕着点逆时针旋转100°，得到，若点恰好在的延长线上，则的度数是（　　　） A. 90° B. 80° C. 70° D. 75° 8. 如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，动点E，F分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿，向终点B，D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，连接，则长的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若双曲线的图像经过第一、三象限，则的取值范围是____． 12. 将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位后，得到新抛物线解析式为 _______________． 13. 欧阳修在《卖汕翁》中写道：“（翁）乃取葫芦置于地，以钱覆其口徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是_____________． 14. 如图，的直径垂直弦于点E，若，，则弦的长为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为______． 三、解答题（一）：共三小题，每小题7分，共21分． 16. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： （1）上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）“第二步”变形的数学依据是_____； （3）小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． （4）用配方法完整解方程 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A(3，3)，点B(4，0)，点C(0， －1)． （1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形； （2）求点A经过的路径弧AA′的长(结果保留)． 18. 如图，的三个顶点坐标都是整数，点在线段上，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）将向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分． 19. 化学实验课上，蔡老师带来了四个常考的制取气体的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气：； B．碳酸钙制取二氧化碳：； C．氯酸钾制取氧气：； D．电解水：； （1）若小聪从四个实验中任意选一个实验，则选到实验室制取氧气的实验的概率为______； （2）小聪先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 20. （1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 21. 阅读与思考 请阅读以下材料，并完成相应的任务． 《义务教育数学课程标准（2022版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外一个点作圆的切线． （1）下面是李明所在的小组“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，和外一点P． 求作：过点P的的切线． 作法一：①连结，作线段的中点M； ②以M为圆心，的长为半径作圆，交于点； ③作直线和． 直线即为所求作的切线． 请运用尺规作图在图1中补全图形，并完成直线PA即为所求作的切线的证明． 证明：连接， 由作法可知，为的直径， （________）（填推理的依据）， ， 点A在上， 直线是圆的切线（________）（填推理的依据）， 同理，直线也是圆的切线． （2）李明所在数学小组经过思考与探索，给出了另一种作法： 作法二：①如图2，连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为过点P所求的其中一条切线．请你仿照李明的证明方法，说说直线即为所求作的切线的理由． 五、解答题（三）：共两小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知是边长为2的等边三角形． （1）【动手操作】如图1，若为线段上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为________； （2）【探究应用】如图为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．请求出点在运动过程中，的周长的最小值． 23. 如图，已知一次函数的图像与反比例函数第一象限内的图像交于点，与轴相交于点，交轴于点． （1）求和的值； （2）观察函数图像，当时，的取值范围是 ； （3）如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接、，求； （4）若为坐标轴上一点，请你探索：当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，请求出所有可能的点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级数学素养训练（三）测试卷 （满分为120分，考试时间为120分钟） 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合璧，带来事事如意的吉祥．下列关于该标识的说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形不是中心对称图形 B. 是中心对称图形不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键． 根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义判断即可得． 【详解】解：由图可知，春晚主标识是中心对称图形不是轴对称图形， 故选：B． 2. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴交于正半轴 D. 有最大值，最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，二次函数的最值，由此解答即可． 【详解】解：A、，图象是一条开口向上的抛物线，故此选项不符合题意； B、，图象的顶点坐标是，故此选项不符合题意； C、当时，，函数图象与轴交于正半轴，故此选项符合题意； D、，开口向上，有最小值，最大值为，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 为了表演课本剧，需要制作如图所示的一个圆锥形的帽子，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则制作这个帽子所需纸板面积为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面积． 根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得圆锥形的帽子的侧面积为：， ∴所需纸板的面积是． 故选：D． 4. 保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有64种农作物种子，经过两年不断努力地培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量的年平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据“该农科实验基地两年前有64种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子”列出一元二次方程即可． 【详解】解：这两年培育新品种数量的平均年增长率为， 依题意得， 故选：C． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上， 则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数 （是常数，）的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A． 6. 关于x的一元二次方程，用下列选项中的数字替换m，使方程没有实数根的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，先根据根的判别式的意义得到当时，方程没有实数根，然后求出m的范围，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：当时，方程没有实数根， 解得， 选项中，只有时，方程没有实数根． 故选：D． 7. 如图，把绕着点逆时针旋转100°，得到，若点恰好在的延长线上，则的度数是（　　　） A. 90° B. 80° C. 70° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质及等腰三角形的性质可求得∠CAE=∠D=∠CAB=40°，然后再根据角的和差解答即可． 【详解】解：由旋转性质得：∠D=∠CAB，AC=CD，∠ACD=100°， ∴， ∴∠CAE=∠D=∠CAB=40°， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，正确运用相关性质定理是解答本题的关键． 8. 如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，直角三角形的性质，由三角形内心的定义可得，由圆周角定理得，即可得，进而可得，再根据圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是的内心， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴， ∴二次函数 的开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数的图象位于二、四象限， 符合的图象为A， 故选A． 10. 如图，正方形的边长为，动点E，F分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿，向终点B，D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，连接，则长的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出当 、 运动到 、 的中点时， 最小解答即可． 【详解】解：由题意，， 如图，连接 交 于点，则， ， ， ， ， 即点是正方形的中心， 连接，则， ， ， 点 在以 为直径的圆上， 取的中点 ，连接，， ， 在运动过程中， ； 作于，由，得是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为. 故选B. 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据正方形的性质得出当 、 运动到 、 的中点时， 最小是解题关键． 二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若双曲线的图像经过第一、三象限，则的取值范围是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质、解一元一次不等式．根据该双曲线的图像经过第一、三象限，可得，解不等式，即可获得答案． 【详解】解：∵双曲线的图像经过第一、三象限， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位后，得到新抛物线解析式为 _______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，对原抛物线进行向右平移个单位和向上平移个单位的操作，从而得到新抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移个单位， 根据“左加右减”原则，变为，得到； 再向上平移个单位， 根据“上加下减”原则，在式子后面加，得到． 故答案为： 13. 欧阳修在《卖汕翁》中写道：“（翁）乃取葫芦置于地，以钱覆其口徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率公式、圆的面积公式、正方形面积公式．分别求出铜钱的面积和正方形小孔的面积，由几何概率公式即可得出结果． 【详解】解：∵半径为的铜钱的面积， 边长为的正方形小孔的面积， ∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入口中的概率=； 故答案为：． 14. 如图，的直径垂直弦于点E，若，，则弦的长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出的度数，在中，由含30度角的直角三角形的性质求得的长，再由垂径定理得出即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直径， ∴，， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了垂径定理，还考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明，推出，由反比例函数的性质求得，，再求得，据此求解即可． 【详解】解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接， ∴，，， ∵D是边的中点，即， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象， ∴， 同理， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 三、解答题（一）：共三小题，每小题7分，共21分． 16. 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得．第一步 移项，得．第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得．第四步 所以．第五步 完成下列任务： （1）上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是_____（填“消元”或“降次”），其中，“配方法”所依据的数学公式是_____（填“完全平方公式”或“平方差公式”）； （2）“第二步”变形的数学依据是_____； （3）小明同学解题过程中，从第_____步开始出现错误． （4）用配方法完整解方程 【答案】（1）降次；完全平方公式 （2）等式的基本性质 （3）三 （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据降次思想，完全平方公式解答； （2）根据移项的依据是等式的性质解答； （3）由完全平方公式判断即可解答； （4）用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是降次， 其中，“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式； 故答案为：降次，完全平方公式； 【小问2详解】 解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； 故答案为：等式的基本性质； 【小问3详解】 解：小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误， 故答案为：三； 【小问4详解】 解：二次项系数化为1，得． 移项，得． 配方，得，即． 由此，可得． 所以，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A(3，3)，点B(4，0)，点C(0， －1)． （1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形； （2）求点A经过的路径弧AA′的长(结果保留)． 【答案】（1） 如图所示：是所求的图形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B以点C为中心逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接即可； （2）先求出AC的长度，再根据弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 AC＝5 弧AA′＝×5＝． 【点睛】本题考查作图-旋转变换、弧长公式即，熟练掌握知识点是解题的关键． 18. 如图，的三个顶点坐标都是整数，点在线段上，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）将向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】（1） （2）平移的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，图形平移的性质，掌握待定系数求解析式，图形平移的特点是关键． （1）由图可知点，点，点，运用待定系数法即可求解； （2）运用待定系数法可得，则点，对于，令，根据平移的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知点，点，点， 反比例函数的图象经过点， ， ， 这个反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设，将，点，代入得， 解得， ， 令， 点， 对于，令， ∴， 解得，， 平移的距离为． 四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分． 19. 化学实验课上，蔡老师带来了四个常考的制取气体的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气：； B．碳酸钙制取二氧化碳：； C．氯酸钾制取氧气：； D．电解水：； （1）若小聪从四个实验中任意选一个实验，则选到实验室制取氧气的实验的概率为______； （2）小聪先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到实验室制取氧气的实验的结果有3种（A、C、D），利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两个实验均能制取氧气的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到实验室制取氧气的实验的结果有3种（A、C、D）， 选到实验室制取氧气的实验的概率为 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中两个实验均能制取氧气的结果有：，，，，，，共6种， 两个实验均能制取氧气的概率为． 20. （1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 【答案】 （1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； 如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； （2） 【解析】 【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论； （2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长． 【详解】解：（1）略 （2）如图4，连接OA，OB，OP， ∵∠C=60°， ∴∠AOB=2∠C=120°， ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°， ∵OA=2， ∴OP=2OA=4， ∴PA= 【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键． 21. 阅读与思考 请阅读以下材料，并完成相应的任务． 《义务教育数学课程标准（2022版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外一个点作圆的切线． （1）下面是李明所在的小组“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，和外一点P． 求作：过点P的的切线． 作法一：①连结，作线段的中点M； ②以M为圆心，的长为半径作圆，交于点； ③作直线和． 直线即为所求作的切线． 请运用尺规作图在图1中补全图形，并完成直线PA即为所求作的切线的证明． 证明：连接， 由作法可知，为的直径， （________）（填推理的依据）， ， 点A在上， 直线是圆的切线（________）（填推理的依据）， 同理，直线也是圆的切线． （2）李明所在数学小组经过思考与探索，给出了另一种作法： 作法二：①如图2，连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为过点P所求的其中一条切线．请你仿照李明的证明方法，说说直线即为所求作的切线的理由． 【答案】（1） 补全图形， ， 直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （2） 证明：是的直径，点在上， ， ， ，即为的中点， 由作图可知，， ， 为的切线． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理及其推论，切线的判定定理，辅助圆的构造思路，构造辅助线是解题的关键． （1）连接，以为直径构造辅助圆，与交于两点，作直线即可，连接，根据切线的判定定理即可证明是圆的切线； （2）先证是的中点，根据是等腰三角形，利用“三线合一”证明即可． 【小问1详解】 解：证明：连接， 由作法可知，为的直径， （直径所对的圆周角是直角）， ， 点A在上， 直线是圆的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）， 同理，直线也是圆的切线． 故答案为：直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【小问2详解】 略 五、解答题（三）：共两小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知是边长为2的等边三角形． （1）【动手操作】如图1，若为线段上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为________； （2）【探究应用】如图为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．请求出点在运动过程中，的周长的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转60°得到 ∴ ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴平分 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转性质，得，结合等边三角形的性质，得，证明，结合为线段上靠近点的三等分点和是边长为2的等边三角形等条件，即可作答． （2）证明，可得，故，从而平分； （3）由，得，可得的周长，而，知的最小时，的周长最小，此时，即可求得答案． 【小问1详解】 解： ∵将线段绕点A逆时针旋转60°得到 ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴； ∵为线段上靠近点的三等分点，且是边长为2的等边三角形 ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点D在线段上时，的周长存在最小值，如图： ∵， ∴， ∴的周长， ∴当点D在线段上时，的周长， ∵为等边三角形， ∴， ∴的最小时，的周长最小，此时， ∴， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，旋转性质、涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图，已知一次函数的图像与反比例函数第一象限内的图像交于点，与轴相交于点，交轴于点． （1）求和的值； （2）观察函数图像，当时，的取值范围是 ； （3）如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接、，求； （4）若为坐标轴上一点，请你探索：当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，请求出所有可能的点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） （4）点或或或或或 【解析】 【分析】本题是反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，不等式的解集，菱形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）把点坐标代入一次函数解析式求得，根据点在反比例函数图象上，于是得到； （2）由（1）知反比例函数的解析式为，解不等式即可得到结论； （3）过点作垂足为，连接，求得点的坐标为，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论； （4）根据勾股定理得到，当点在轴上时，设，①当时，②当时，③当时，根据勾股定理即可得到结论；当点在轴时，①当时，过作轴于，则点与重合，求得；②当时，设点的坐标为，根据勾股定理得到． 【小问1详解】 解：由题意可把点代入一次函数可得： ， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，． ∴的取值范围是或． 【小问3详解】 解：如图，过点作垂足为，连接， 当时，，解得， ∴点的坐标为． ， ∴． ∵四边形ABFD是菱形， ，． ∴． 【小问4详解】 解：交轴于点， ． ． ①如图，当点P在x轴上时， 设点， 当时，则, 即，解得， ∴． 当时，则, 即，解得， ,． 当时，则, 即，解得， ． ②如图，当点P在y轴上时， 设点， 当时，则, 即，解得， ． 当时， ∴轴， ∴． 综上所述：当以点、、为顶点的三角形为直角三角形时，点或或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $