精品解析：辽宁省实验中学2025-2026学年高二上学期12月阶段测试数学试题

高二数学试卷 考试时间：2025年12月12日10:00-12:00 试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线（其中）必经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 已知且，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 4. 圆和的公共弦所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 动点满足关系式，则点的轨迹是（ ） A. 离心率为的椭圆 B. 离心率为的双曲线 C. 离心率为的椭圆 D. 离心率为的双曲线 6. 双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 2 7. 点在抛物线上，点是的焦点．若，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线与的焦点相同，若点在上，点在上，其中且，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线与平行，则（ ） A. B. C. D. 10. 若椭圆的焦距是2，离心率是，则其标准方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知直线是两条相互垂直的异面直线，点在平面内，且点到直线的距离相等，则点的轨迹可能是（ ） A. 两条直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 由“圆的面积是”可以得到“椭圆的面积是”的结论，则由“球的体积是”可知“曲面所围成的几何体的体积是_____________．” 13. 点在抛物线上，点到点的距离的取值范围是_____________． 14. 用分别写有数字“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“4”的六张卡片可以组成_____________个六位整数．（用数字作答） 三、解答题 15. （1）要把6本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学： （i）如果每人都得2本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果要求甲得1本，乙得2本，丙得3本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果要求一人得1本，一人得2本，一人得3本，则共有不同的分法多少种？ （2）要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里： （i）如果一个袋子中1本，一个袋子中2本，一个袋子中3本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果每个袋子中都是2本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果每个袋子中至少1本，则共有不同的分法多少种？ （计算结果用数字作答） 16. 如图，正四棱锥的高是． （1）求侧棱与侧面所成的角的正弦值； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由. 17. 已知双曲线经过点和． （1）求的方程； （2）点在上，且点在第一象限， （i）设是的焦点，若，求的周长； （ii）点，若，求点的纵坐标． 18. 已知点，直线相交于点，且它们的斜率之积为．设点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线（其中为常数）与曲线有且只有一个公共点，求的值； （3）已知四边形的顶点都在曲线上，记四边形的面积为，求的最大值，并指出取得最大值的条件． 19. 已知四个动点在抛物线上，其中两两不等，且．点是直线的交点． （1）求点的坐标（用和表示）； （2）若直线都经过定点，其中． （i）当时，求点的轨迹方程（用表示）； （ii）当时，求点的轨迹方程（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 考试时间：2025年12月12日10:00-12:00 试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线的方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】由，得. 设直线的倾斜角为，则，又，∴. 故选：B. 2. 直线（其中）必经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意列方程组计算即可求解. 【详解】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C 3. 已知且，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由（圆的方程），用三角换元将表示为三角函数形式，再代入，借助辅助角公式将其化简为单一三角函数的形式；最后借助三角函数的有界性（正弦函数最大值为1），求出表达式的最大值. 【详解】，是圆心在原点、半径的圆的方程， 设，将、代入， 得， 利用公式, 则， 因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故选：B. 4. 圆和的公共弦所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简圆的方程为一般式方程，两圆的方程相减，即可求解. 【详解】由圆的方程，可化为， 联立方程组，两圆的方程相减，可得， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为. 故选：A. 5. 动点满足关系式，则点的轨迹是（ ） A. 离心率为的椭圆 B. 离心率为的双曲线 C. 离心率为的椭圆 D. 离心率为的双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点距离公式，结合题意与椭圆定义，利用离心率的定义，可得答案. 【详解】由表示动点到定点的距离， 表示动点到定点的距离， 且两点的距离为， 则动点的轨迹为椭圆，易知，，所以离心率. 故选：C. 6. 双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】画出双曲线图象，确定为其渐近线，结合即可求解. 【详解】 由的图象可知，其两条渐近线分别为， 两条渐近线的夹角为， 所以离心率， 故选：B 7. 点在抛物线上，点是的焦点．若，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由得，设直线的斜率为，将直线与抛物线方程联立，由韦达定理得，计算即可求解. 【详解】设，抛物线的焦点， ， 若，则，即， 设直线的斜率为，因直线经过点，则其方程为， 直线与抛物线联立消去，可得， 由韦达定理可得， 因为，所以， 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 所以直线的斜率是. 故选：D 8. 双曲线与的焦点相同，若点在上，点在上，其中且，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线焦点相同得到与的关系，再结合点在双曲线上的条件进行分析即可. 【详解】双曲线与的焦点相同， ,， 点在上，，，即， 又点在上，，，即， 且，，，， 显然，假设，则，，，此时左边，右边，不等式不成立； 假设，则，，，此时左边，右边，不等式成立， 综上所述，， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线与平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据两直线平行的等价条件可得不等式组，求解即可判断A，B，C，通过反证法可说明D正确.. 【详解】由两直线平行，可得，即，故A，B，C正确； 对于D，假设，因，则可得， 即，与上述结论矛盾，故假设不成立，即D正确. 故选：ABCD. 10. 若椭圆的焦距是2，离心率是，则其标准方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由焦距和离心率求出，讨论焦点位置得到标准方程. 【详解】因为椭圆的焦距为，所以， 又离心率，所以，所以， 若椭圆焦点在轴，则标准方程为; 若椭圆焦点在轴，则标准方程为. 故选：BC. 11. 已知直线是两条相互垂直的异面直线，点在平面内，且点到直线的距离相等，则点的轨迹可能是（ ） A. 两条直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式可得点的轨迹方程，从而得解. 【详解】由直线是两条相互垂直的异面直线， 设直线， 过点作直线，则， 以分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，， 则直线的一个方向向量为， ， 由于点到直线的距离相等，根据点到直线的距离公式， 得， 即， 化简得①， 由于点在平面内，平面位置不确定， 当时，①式化为， 即或，点的轨迹为两条直线，A正确； 当时，①式化为，点的轨迹为双曲线，C正确； 当时，①式化为，点的轨迹为抛物线，D正确； 方程①不可能为椭圆，B错误. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 由“圆的面积是”可以得到“椭圆的面积是”的结论，则由“球的体积是”可知“曲面所围成的几何体的体积是_____________．” 【答案】 【解析】 【分析】根据类比思想得出结论即可. 【详解】由圆的面积是，得到椭圆的面积是， 球的体积是，由平面到空间类比可得， 曲面所围成的几何体的体积是. 故答案为： 13. 点在抛物线上，点到点的距离的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，得到以点到点的距离为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设点的坐标为，其中，则， 所以点到点的距离为， 当时，取得最小值，最小值为，所以点到点距离的取值范围是. 故答案为：. 14. 用分别写有数字“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“4”的六张卡片可以组成_____________个六位整数．（用数字作答） 【答案】300 【解析】 【分析】分首位为4，和首位不为4，分两类，利用分类加法计数原理求解. 【详解】分两类： 第一类首位从“1”、“2”、“3”中取，有种取法，其余5张卡片有种排法，但有2张“4”， 所以能得到不同的6位整数共有个； 第二类，首位取“4”，其余位置5张卡片全排列，共有个6位整数， 根据分类加法计数原理，共有个六位整数. 故答案为：300 三、解答题 15. （1）要把6本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学： （i）如果每人都得2本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果要求甲得1本，乙得2本，丙得3本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果要求一人得1本，一人得2本，一人得3本，则共有不同的分法多少种？ （2）要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里： （i）如果一个袋子中1本，一个袋子中2本，一个袋子中3本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果每个袋子中都是2本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果每个袋子中至少1本，则共有不同的分法多少种？ （计算结果用数字作答） 【答案】（1）（i）种，（ii）种，（iii）种.（2）（i）种，（ii）种，（iii）种. 【解析】 【分析】（1）（i）依次从6本书中选择2本分给甲，从剩余4本书中选择2本分给乙，剩余2本分给丙.（ii）按要求将书直接分配给甲乙丙三人即可.（iii）将6本书按照1组1本，1组2本，1组3本的分组方式进行分组，然后再分配给甲乙丙三人. （2）（i）因为手提袋相同，所以即为将6本不同的书分为3组，1组1本，1组2本，1组3本，按照不平均分组进行计算即可.（ii）每个袋子中都是2本，即为平均分组，要除以重复部分，可计算结果;（iii）每个袋子至少1本，有可能2组各有1本，1组4本，有可能1组1本，1组2本，1组3本，有可能每组2本，按照平均分组和不平均分组的方式计算可得结果. 【详解】（1）（i）从6本书中选择2本书给甲，有种方法； 再从剩余4本书中选择2本书给乙，有种方法； 剩余的2本书给丙，有种方法;所以有种分配方法． （ii）从6本书中选一本给甲，有种分配方法；从剩余5本书中选2本给乙，有种分配方法，将剩余3本书给丙，有种分配方法. 所以分配方式共有种. （iii）将6本书按照1组1本，1组2本，1组3本的分组方式进行分组，有种方法，再将分好的组分给甲乙丙三人，则有种分配方法. （2）（i）因为手提袋相同，所以即为将6本不同的书分为3组，1组1本，1组2本，1组3本， 种方法， （ii）每袋2本，为平均分组，所以要除以重复的部分，所以共有种. （iii）每个袋子至少1本，有可能有2组各1本，1组4本，有种方法， 有可能1组1本，1组2本，1组3本，有种方法， 有可能每组2本，有种方法，所以共有种. 16. 如图，正四棱锥的高是． （1）求侧棱与侧面所成的角的正弦值； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由. 【答案】（1） （2） （3）在线段上不存在点，使得；理由为： 由（2）知， 设， 则. 因为， 若，则. 即，解得，则点在线段外. 故在线段上不存在点，使得. 【解析】 【分析】（1）设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法，计算可得结果； （2）由（1）所得点坐标和法向量，继续求出平面法向量，根据面面角的向量求法，计算可得结果； （3）设，计算，求解值可得结果. 【小问1详解】 设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意知，,.则， 设向量是平面的法向量，由，可得： ，令可得：. 设侧棱与侧面所成的角为，则有. 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由（1）可知：，，所以有，令可得：. 又平面的法向量为：， 所以， 因为二面角为钝角，所以所成角的余弦值为. 【小问3详解】 略 17. 已知双曲线经过点和． （1）求的方程； （2）点在上，且点在第一象限， （i）设是的焦点，若，求的周长； （ii）点，若，求点的纵坐标． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由点的坐标代入双曲线方程求得即可； （2）（i）由双曲线的定义得到，结合，进而可求解；（ii）设坐标为，，通过在双曲线上，和向量夹角公式列出等式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：， 解得， 即双曲线方程为：； 【小问2详解】 （i）由（1）设， 则，又， 所以 所以 所以 所以， 所以的周长为； （ii）设坐标为， 则， 由题意，即， 又， 得 即， 平方得， 即， 即 即， 代入，可得，又， 解得， 即点的纵坐标. 18. 已知点，直线相交于点，且它们的斜率之积为．设点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线（其中为常数）与曲线有且只有一个公共点，求的值； （3）已知四边形的顶点都在曲线上，记四边形的面积为，求的最大值，并指出取得最大值的条件． 【答案】（1） （2）或或 （3）的最大值为30，当四边形中一条对角线过原点，另一条对角线的两个端点为和第一条对角线斜率相同的椭圆的两条切线和椭圆交点时取得最大值. 【解析】 【分析】（1）设，用坐标表示斜率关系化简可得结果； （2）联立直线和曲线的方程，考虑，以及直线过点或点三种情况分别计算即可得到的值； （3）先分析得到直线的倾斜角为时，接着考虑直线的倾斜角不为时，联立和椭圆方程，利用弦长公式得到的长度以及最大值，再数形结合可得到直线的距离和的最大值，最后将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，计算可得的范围，综合两种情况得到的最大值. 【小问1详解】 设点，则，， 由，得，整理得， 则曲线的轨迹方程为. 【小问2详解】 ，可得， 由直线与曲线有且只有一个公共点， 则或或， 解得或或. 【小问3详解】 当直线的倾斜角为时，，即， 当直线的倾斜角不为时，设，，， 联立（其中），得， ，， 所以 ， 从而，当时取等号， 设点到直线的距离分别为，由， 结合（2）可得，即，当为以为斜率的椭圆的两条切线和椭圆交点时取等号， 因为，所以，化简得， 所以的最大值为30，当四边形中一条对角线过原点，另一条对角线的两个端点为和第一条对角线斜率相同的椭圆的两条切线和椭圆交点时取得最大值. 19. 已知四个动点在抛物线上，其中两两不等，且．点是直线的交点． （1）求点的坐标（用和表示）； （2）若直线都经过定点，其中． （i）当时，求点的轨迹方程（用表示）； （ii）当时，求点的轨迹方程（用表示）． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线方程表示出点的坐标，求出直线与的方程，将其联立化简计算即得点的坐标； （2）（i）设直线方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，记，计算，分别求出点的横、纵坐标，即可推得点的轨迹方程；（ii）设直线方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，设，分别计算，将与的表达式代入点的坐标表达式，即得轨迹方程. 【小问1详解】 因在抛物线上， 如图： 则， 直线的斜率为， 则其方程为， 整理得① ， 同理可得直线的方程为②， 由①②，可得， 解得， 将其代入①，可得， 故点的坐标为. 【小问2详解】 （i）直线过定点， 则可设其方程为，代入，可得， 由韦达定理，， 同理， 则，， 则点纵坐标为； 其横坐标为 ； 结合抛物线的定义域，可知点的轨迹方程为. （ii）直线过定点， 则可设其方程为，代入， 可得， 由韦达定理，， 则， 同理可得. 设， 则，， 将与代入(1)中点的坐标表达式，化简得， 即轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $