第19讲 弧长和扇形面积（4个知识点+4种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第19讲 弧长和扇形面积（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点3．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点4．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型强化 题型一．弧长的计算 1．（2024•兖州区一模）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为　　 A． B． C． D． 2．（2024•成都）如图，在扇形中，，，则的长为 　　 3．（2023秋•张掖期末）如图，的直径，半径，为上一动点（不包括，两点），，，垂足分别为，． （1）求的长． （2）若点为的中点， ①求劣弧的长度； ②若点为直径上一动点，直接写出的最小值． 题型二．扇形面积的计算 4．（2024秋•海淀区校级月考）如图，在△中，，，．以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•江宁区校级月考）一个扇形的半径为，弧长为，则此扇形的面积为 　　． 6．（2023秋•滨湖区期末）如图1，已知四边形内接于，为的直径，，与交于点，且． （1）求证：； （2）如图2，△绕点逆时针旋转得到△，点经过的路径为弧，若，求图中阴影部分的面积． 题型三．圆锥的计算 7．（2024•芝罘区一模）如图，圆锥的母线长为，高是，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•营口期末）已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是 　　． 9．（2024•天河区校级一模）已知． （1）化简； （2）如图，，分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥的侧面积为，求的值． 题型四．圆柱的计算 10．（2024•武汉模拟）“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱体容器液面高度 与时间的数据： 时间 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度 6 10 14 18 22 如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到时是　　 A． B． C． D． 11．（2022•肇州县模拟）圆柱的底面周长为，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为　　． 12．（2023秋•南关区校级月考）如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由一个高为的圆柱和一个同底面的高为圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度为，注满为止．整个注水过程中，水面高度与注水时间之间的函数关系如图②所示． （1）圆柱形容器的高为　　． （2）求线段所对应的函数表达式． （3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面时的值． 分层练习 一、单选题 1．如图，点，，是上的点，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝60°，AC＝6，则扇形OBMC的面积为（　　） A．24π B．12π C．8π D．6π 3．如图，菱形的边长为，，弧是以点为圆心、长为半径的弧，弧是以点为圆心、长为半径的弧，则阴影部分的面积为 A． B． C． D． 4．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与优弧所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则优弧的长是（　　） A． B． C． D． 5．已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为（　　） A．15π B．24π C．30π D．39π 6．如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ）    A． B． C． D． 7．如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B．2 C． D．1 8．数学课上，老师将一根长为的铁丝围成一个以点为圆心，长为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），如图所示，则所得扇形的最大面积是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（　） A． B． C． D． 10．如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．某扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为 ． 12．已知一个扇形的半径为，圆心角为，用该扇形围成圆锥侧面，则这个圆锥的侧面积为 ． 13．如图，边长为2的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积是 ．    14．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角AOB=120°，半径为6m，则扇形的弧长是 m．（结果保留） 15．如图，正五边形内接于半径为2的．则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图，中，，，，以C为圆心，为半径的圆弧分别交、于点D、E，则图中阴影部分面积之和为 ． 17．如图，等边边长为，将绕的中点顺时针旋转得到，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ． 18．如图，是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB所在圆的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD//OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是 ．（保留根号） 三、解答题 19．如图，小方同学发现学校三栋楼围成的平面图是一个扇形，经过测量，，．小方同学站在1号楼梯口处，她想走到2号楼梯口处，三栋楼都有通道可以走．请你帮她计算一下，应该走哪条路线比较近．（取3） 20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．    （1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标； （2）△A2B2C2是△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标； （3）连接OA、OA2，在△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2的过程中，计算线段OA变换到OA2过程中扫过区域的面积是多少？（直接写出答案） 21．已知： (1)化简； (2)如图，、分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为，求的值． 22．如图，四边形ABCD是的内接四边形，，BD是的直径，DB的延长线交的切线AE于点E． (1)求证：；（角用阿拉伯数字表示） (2)若，则图中由弦AB和劣弧AB围成的阴影部分面积是_______．（结果保留无理数） 23．水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． (1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______； (2)在小明进座舱后间隔个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于，两点），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）和直线距离（线段的长）． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，． (1)请画出将绕点O顺时针旋转后得到的． (2)在（1）的条件下，求扇形的面积（结果保留π）． 25．综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 26．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． （1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长； （2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长； （3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长； （4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 弧长和扇形面积（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点3．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点4．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型强化 题型一．弧长的计算 1．（2024•兖州区一模）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【解答】解：连接，如图所示： ，，， ，， 由题意得：， 为等边三角形， ， 的长为：， 故选：． 【点评】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径． 2．（2024•成都）如图，在扇形中，，，则的长为 　　 【分析】利用弧长公式计算即可求解． 【解答】解：的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长的计算，正确记忆弧长公式是解题关键． 3．（2023秋•张掖期末）如图，的直径，半径，为上一动点（不包括，两点），，，垂足分别为，． （1）求的长． （2）若点为的中点， ①求劣弧的长度； ②若点为直径上一动点，直接写出的最小值． 【分析】（1）连接，由，，知四边形是矩形，据此可得； （2）①先求出的度数，再利用弧长公式求解可得； ②延长交于点，连接交于点，则的最小值为，再根据勾股定理及求解可得答案． 【解答】解：（1）如图，连接， 的直径， 圆的半径为． ，，， ， 四边形是矩形， ． （2）①点为的中点， ， ， ， 劣弧的长度为． ②延长交于点，连接交于点， 则的最小值为． 设， 则， ，， ， 解得， ， 的最小值为． 【点评】本题主要考查圆的有关概念与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、轴对称的性质、圆的相关性质． 题型二．扇形面积的计算 4．（2024秋•海淀区校级月考）如图，在△中，，，．以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是　　 A． B． C． D． 【分析】在△中，根据直角三角形的性质可得、，再根据勾股定理可得，最后根据计算即可解答． 【解答】解：在△中，，，． ，， 由勾股定理得， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键． 5．（2024秋•江宁区校级月考）一个扇形的半径为，弧长为，则此扇形的面积为 　　． 【分析】先根据半径与弧长求出扇形的圆心角，从而求出扇形面积．或者直接运用扇形面积面积也可以． 【解答】解：设扇形圆心角度数为，则， 解得， 扇形的面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查了与扇形面积、弧长相关的计算，掌握相关计算方法是解题关键． 6．（2023秋•滨湖区期末）如图1，已知四边形内接于，为的直径，，与交于点，且． （1）求证：； （2）如图2，△绕点逆时针旋转得到△，点经过的路径为弧，若，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）证明△△，推出，推出即可解决问题． （2）证明即可解决问题． 【解答】（1）证明：，，， △△， ， ． ． （2）解：． 【点评】本题考查扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型三．圆锥的计算 7．（2024•芝罘区一模）如图，圆锥的母线长为，高是，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是　　 A． B． C． D． 【分析】首先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再利用底面周长展开图的弧长可得． 【解答】解：圆锥的母线长为，高是， 圆锥底面圆的半径为：， ， 解得． 故选：． 【点评】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答本题的关键是有确定底面周长展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值． 8．（2023秋•营口期末）已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是 　　． 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【解答】解：圆锥的侧面展开图面积． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 9．（2024•天河区校级一模）已知． （1）化简； （2）如图，，分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥的侧面积为，求的值． 【分析】（1）根据分式的混合运算法则化简即可； （2）根据扇形面积公式求出，代入计算即可． 【解答】解：（1） ； （2）由题意得：， 则， ． 【点评】本题考查的是圆锥的计算、分式的化简求值，掌握扇形面积公式是解题的关键． 题型四．圆柱的计算 10．（2024•武汉模拟）“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱体容器液面高度 与时间的数据： 时间 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度 6 10 14 18 22 如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到时是　　 A． B． C． D． 【分析】根据表格中的数据，可知与的关系为一次函数关系，利用待定系数法可得，将代入解析式，求出相应的值即可． 【解答】解：设与的关系式为， 点，在该函数上， ， 解得：， 与的函数表达式为； 当时，即， 解得：， 即当圆柱体容器液面高度达到时是． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是明确题意． 11．（2022•肇州县模拟）圆柱的底面周长为，高为1，则圆柱的侧面展开图的面积为　　． 【分析】圆柱的侧面展开图的面积圆柱的底面周长圆柱的高，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：圆柱的侧面展开图为长方形，长为圆柱的底面周长， 圆柱的侧面展开图的面积为． 【点评】解决本题的关键是得到圆柱侧面展开图的计算公式． 12．（2023秋•南关区校级月考）如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由一个高为的圆柱和一个同底面的高为圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度为，注满为止．整个注水过程中，水面高度与注水时间之间的函数关系如图②所示． （1）圆柱形容器的高为　　． （2）求线段所对应的函数表达式． （3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面时的值． 【分析】（1）根据函数图象可以直接得到圆柱形容器的高和“柱锥体”中圆锥体的高； （2）根据题意和函数图象分两种情况可以求得“柱锥体”顶端距离水面时的值． 【解答】解：（1）由题意和函数图象可得， 圆柱容器的高为， 故答案为：12； （2）过点，， 设线段所对应的函数表达式为， 将点，代入，得 ， 解得， 所以线段所对应的函数表达式为； （3）以为“柱锥体”的高为：， 所以顶端距离水面位置有2个， ①当时，在上， 设解析式为，过点， 所以，解得， 所以解析式为， 当时，； ②当时，在上， 将代入， 解得． 综上所述：“柱锥体”顶端距离水面时的值为或． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 分层练习 一、单选题 1．如图，点，，是上的点，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、求弧长 【分析】根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，得出，代入弧长计算公式即可． 【详解】∵所对的圆周角，所对的圆心角为， ∴， ∴的长是， 故选：A 【点睛】本题考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系及弧长的计算公式，解题的关键是求出． 2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝60°，AC＝6，则扇形OBMC的面积为（　　） A．24π B．12π C．8π D．6π 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、求扇形面积 【分析】先根据∠OCA=60°，OA=OC，判断出△OAC是等边三角形，从而得扇形OBMC的圆心角及半径，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵∠OCA＝60°，OA＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°，OA＝AC＝6， ∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°， ∴扇形OBMC的面积为＝12π． 故选：B． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，解题关键是掌握扇形面积计算公式，难度不大． 3．如图，菱形的边长为，，弧是以点为圆心、长为半径的弧，弧是以点为圆心、长为半径的弧，则阴影部分的面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆 【详解】试题分析：连接BD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴△ABD及△BCD是等边三角形，∴=BC•DE=×2×2×sin60°=2×=．故选B． 考点：①扇形的面积计算；②菱形的性质． 4．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与优弧所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则优弧的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求弧长、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、切线的性质及弧长的计算，熟知切线的性质及弧长的计算公式是解题的关键． 连接，，由切线的性质可得，进而可得的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【详解】解：令图中的圆心为，连接，， ，是的切线， ， 又， ， ． 的半径为， 优弧的长度为：． 故选：B． 5．已知圆锥的母线长为5，底面半径为3，则圆锥的表面积为（　　） A．15π B．24π C．30π D．39π 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面积 【详解】底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，圆锥的侧面面积=×6π×5=15πcm2，底面面积=9πcm2， ∴圆锥的表面积=15π+9π=24πcm2． 故选B． 6．如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求圆锥侧面积、求扇形面积 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，解决问题的关键是熟练掌握圆的周长公式和扇形面积公式．先根据直径求出圆的周长，再根据母线长求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，运用扇形面积公式计算，圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】由图知，底面直径为8，母线长为10， 则底面周长为，， 所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积是，． 故选：D． 7．如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【知识点】求扇形半径 【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意可知： AD=AE=8，∠DAE=45°， 底面圆的周长等于弧长： ∴2πr= ， 解得r=1． 所以，该圆锥的底面圆的半径是1 故选：D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 8．数学课上，老师将一根长为的铁丝围成一个以点为圆心，长为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），如图所示，则所得扇形的最大面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求扇形面积、求弧长、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】 本题考查了二次函数的性质，求弧长，求扇形面积；设，则，根据弧长公式求得，进而根据扇形面积公式可得扇形面积为，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 设，则，， 扇形的圆心角为：， ∴扇形的面积为， ∴扇形的最大面积是， 故选：A． 9．如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求其他不规则图形的面积、利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】根据菱形的性质及，可得、是等边三角形，，再由勾股定理可得，从而得到，再由，可得，可得，然后根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴、是等边三角形，， ∵点E是的中点， ∴， ， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式是解题的关键． 10．如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求弧长、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、垂径定理的推论 【分析】本题考查了垂径定理推论，圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，当点重合时，，由为中点，则，当点在运动过程中，在以为圆心，为半径的上运动，然后根据弧长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，取圆上一点， ∵，， ∴， ∴， 如图，当点重合时， ∵， ∵为中点， ∴， ∴， ∴为直径， 当点在运动过程中，在以为圆心，长度为半径的上运动， ∵为中点，为中点， ∴， ∴， ∴在的运动过程中的路径长为， 故选：． 二、填空题 11．某扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】根据半径，先计算出圆的周长，再根据圆心角所占比例即可求解． 【详解】解：∵扇形的半径， ∴扇形所在圆的周长为， ∵圆心角为， ∴扇形占所在圆的比例为， ∴扇形的弧长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆与扇形弧长的计算，掌握扇形与圆的关系是解题的关键． 12．已知一个扇形的半径为，圆心角为，用该扇形围成圆锥侧面，则这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】根据扇形面积公式求出扇形面积，根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系解答． 【详解】解：扇形面积， 则这个圆锥的侧面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 13．如图，边长为2的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积解题即可． 【详解】解：∵正方形， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用扇形面积求阴影面积，熟记扇形面积公式是解题的关键． 14．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角AOB=120°，半径为6m，则扇形的弧长是 m．（结果保留） 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】直接利用弧长公式求解即可． 【详解】解：l=， 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了扇形弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式． 15．如图，正五边形内接于半径为2的．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、求正多边形的中心角、求扇形面积 【分析】由圆的内接四边形的性质可得从而可得阴影部分的面积等于扇形的面积，从而可得答案. 【详解】解： 正五边形内接于半径为2的， 故答案为： 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，掌握“正多边形的性质”是解本题的关键. 16．如图，中，，，，以C为圆心，为半径的圆弧分别交、于点D、E，则图中阴影部分面积之和为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、求其他不规则图形的面积 【分析】连接，过点作，过点作，利用阴影部分的面积等于的面积加上扇形的面积减去再减去扇形的面积，即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， 连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵以C为圆心，为半径的圆弧分别交、于点D、E， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴图中阴影部分面积之和为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求阴影部分的面积，同时考查了等边三角形的判定和性质，含的直角三角形，扇形的面积．利用割补法，求阴影部分的面积，是解题的关键． 17．如图，等边边长为，将绕的中点顺时针旋转得到，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积 【分析】根据旋转的性质先证明△AA′D，△CC′D，△AB′E，△BC′E均为等边三角形，连接BD，B′D，ED，则S阴＝S扇形BDB′﹣S△B′DE﹣S△BDE，分别计算面积即可得出答案. 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点， ∴AD＝CD＝AC＝2，∠A＝60°， 又∵△A'B'C'是△ABC绕AC的中点D顺时针旋转60°得到， ∴A′D＝C′D＝AD＝CD＝2，∠A′＝60°， ∴△AA′D为等边三角形， 同理△CC′D，△AB′E，△BC′E也为等边三角形，边长都为2， 连接BD，B′D，ED， ∵△A'B'C'是△ABC绕AC的中点D顺时针旋转60°得到， ∴∠BDB′＝60°， ∴S阴＝S扇形BDB′﹣S△B′DE﹣S△BDE， ∵△ABC与△A′B′C′为等边三角形，D为AC，A′C中点， ∴BD⊥AC，B′D⊥A′C′， ∴BD＝B′D＝＝2 ， S扇BDB′＝＝2π， S△B′DE与S△BDE是底为DE，高的和为BB′＝AC′＝B′D＝2， 在△AED中，∠EAD＝60°，EA＝AD＝2， ∴△ADE为等边三角形，DE＝2， ∴S△B′DE＋S△BDE＝×＝2 ， ∴S阴＝2π﹣2． 故答案为：2π﹣2． 【点睛】本题考查旋转的性质，以及扇形面积的计算，考核学生的计算能力，是一道综合性较强的题目，解题时注意圆心的确定. 18．如图，是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB所在圆的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD//OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是 ．（保留根号） 【答案】． 【知识点】圆 【详解】试题分析：如图，连接OD．∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=OA=×6=3米，∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA，在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴CD===米，∵sin∠DOC===，∴∠DOC=60°， ∴S阴影=S扇形AOD﹣S△DOC==（平方米）．故答案为． 考点：扇形面积的计算． 三、解答题 19．如图，小方同学发现学校三栋楼围成的平面图是一个扇形，经过测量，，．小方同学站在1号楼梯口处，她想走到2号楼梯口处，三栋楼都有通道可以走．请你帮她计算一下，应该走哪条路线比较近．（取3） 【答案】应该走这条路比较近，理由见解析 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式分别计算出和的长即可求解． 【详解】解：，， ∴的长为：， ∴， ∵， ∴应该走这条路比较近． 20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．    （1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标； （2）△A2B2C2是△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标； （3）连接OA、OA2，在△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2的过程中，计算线段OA变换到OA2过程中扫过区域的面积是多少？（直接写出答案） 【答案】（1）图形见解析，点A1的坐标为（1，﹣4）；（2）图形见解析，点A2的坐标为（4，1）；（3） 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形 【分析】(1)把△ABC的各个顶点关于原点的对称点画出来，连接起来，即可得到答案； (2)把△ABC的各个顶点绕原点O顺时针旋转90°的对应点画出来，连接起来，即可得到答案；(3)根据扇形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（1，﹣4）； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（4，1）；    （3）∵线段OA变换到OA2过程中扫过区域是扇形，OA=， ∴线段OA变换到OA2过程中扫过区域的面积=． 【点睛】本题主要考查图形的中心对称变换和旋转变换，根据题意，画出图形，是解题的关键. 21．已知： (1)化简； (2)如图，、分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求圆锥侧面积、分式化简求值 【分析】（1）根据分式的除法法则进行化简即可得； （2）根据圆锥的侧面积公式可得的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解：圆锥侧面积为， ， 解得， 则． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、圆锥的侧面积，熟练掌握分式的运算法则和圆锥的侧面积公式是解题关键． 22．如图，四边形ABCD是的内接四边形，，BD是的直径，DB的延长线交的切线AE于点E． (1)求证：；（角用阿拉伯数字表示） (2)若，则图中由弦AB和劣弧AB围成的阴影部分面积是_______．（结果保留无理数） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）连接OA，由在同圆中等弦所对的弧相等，进而得到，结合切线的性质，利用半径相等得到，进而得到，再利用圆内接四边形的内对角互补来求解； （2）设AC与DE相交于点F，由等腰三角形的性质和易得，结合，得到，， 得出是等边三角形，由垂径定理求出OF的长度，勾股定理求出AF的长度，进而求出的面积，最后再用来求解． 【详解】（1）证明：连接OA，如下图． ∵， ∴， ∴． ∵AE为的切线， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． ∵四边形ABCD是的内接四边形， ∴， 即， ∴； （2）解：设AC与DE相交于点F，如上图． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∵，BD是的直径， ∴OB垂直平分AC， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴由弦AB和劣弧AB围成的阴影部分面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，理解相关知识，作出辅助线是解答关键． 23．水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． (1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______； (2)在小明进座舱后间隔个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于，两点），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）和直线距离（线段的长）． 【答案】(1) (2)在摩天轮上的距离（的长）为，直线距离（线段的长）为 【知识点】求弧长、利用弧、弦、圆心角的关系求解、求一点到圆上点距离的最值、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了点到圆上一点的距离，求弧长，等边三角形的性质与判定 （1）根据点到圆的距离可得最高点到地里的距离为； （2）根据题意得出，进而根据弧长公式即可求解；证明为等边三角形，即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，由题意可知， 当座舱转到点时，距离地面最高， 此时； （2）圆周上均匀的安装了24个座舱，因此每相邻两个座舱之间所对的圆心角为， 的长为， 如图，连接， 且， 为等边三角形， ． 答：两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）为，直线距离（线段的长）为． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，． (1)请画出将绕点O顺时针旋转后得到的． (2)在（1）的条件下，求扇形的面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画旋转图形、求扇形面积、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据旋转变换的性质分别作出A、B、C的对应点、、，再连接即可； （2）根据旋转的性质可得，利用勾股定理求得，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意可得，，， ∵， ∴． 25．综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 【答案】（）；（）． 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、求弧长、用勾股定理解三角形 【分析】（）设底面圆的半径为，由勾股定理可得，根据，求出，再根据红、橙、黄、蓝、紫卡纸圆心角即可求解； （）设底面圆的半径为，则，由即可求解； 本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长，掌握圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长是解题的关键． 【详解】解：（）设底面圆的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形， ∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为； （）∵设底面圆的半径为， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 26．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． （1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长； （2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长； （3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长； （4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______． 【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）； 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、求弧长 【分析】（1）由、是等边三角形，，， ，可证即可； （2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，，点在A处时，点与重合．可得点运动的路径的长； （3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长； （4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长． 【详解】解:（1）∵、是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵、是等边三角形， ∴，，． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又点在处时，，点在A处时，点与重合． ∴点运动的路径的长； （3）取中点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又点在处时，，点在处时，点与重合， ∴点所经过的路径的长； （4）连接CG ,AC ，OB， ∵∠CGA=90°， ∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动， ∵四边形ABCD为正方形，BC为边长， ∴∠COB=90°，设OC=x， 由勾股定理即， ∴， 点G所经过的路径长为长=， 点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧上运动， 点H所经过的路径长为的长度， ∵点G运动圆周的四分之一， ∴点H也运动圆周的四分一， 点H所经过的路径长为的长=， 故答案为；． 【点睛 本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$