专题 3.5 圆周角（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 3.5 圆周角 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】圆周角定义 1 【知识点二】圆周角定理 2 【知识点三】圆周角定理的推论（1） 2 【知识点四】圆周角定理的推论（2） 2 二.题型分类精析 3 （一）基础篇 3 【★题型1】圆周角的辨析 3 【★题型2】利用圆周角定理进行基础运算证明 4 【★题型3】利用圆周角定理推论（1）基础运算证明 4 【★题型4】利用圆周角定理推论（2）基础运算证明 5 （二）培优篇 6 【★★题型5】利用圆周角定理进行综合求值证明 6 【★★题型6】利用圆周角定理推论（1）进行综合求值证明 7 【★★题型7】利用圆周角定理推论（2）进行综合求值证明 8 【★★★题型8】圆周角定理与垂径定理、圆心角定理综合 9 二．同步练习​ 10 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 10 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 14 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】圆周角定义 如图1，的顶点在圆上,它的两边都和圆相交.像这样的角叫做圆周角 【知识点二】圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 如图2，在☉o中，所对的圆周角是圆心角是， 图2 【知识点三】圆周角定理的推论（1） 圆周角定理推论（1）:半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. （1）如图3，在☉o中， 是☉o的直径， （2）如图3，在☉o中， 是☉o的直径. 如图3 【知识点四】圆周角定理的推论（2） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 数学语言：如图4，在☉o中， =， 如图4 二.题型分类精析 （一）基础篇 【★题型1】圆周角的辨析 【例题1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【小结归纳】圆心角顶点在圆心、圆周角顶点在圆上且两边均与圆相交，解题时先看顶点位置区分角的类型，再通过“弧的端点是否在角的两边上”确定对应弧的圆周角；需注意避开“顶点在圆外（内）”、“边未与圆相交”的易错点，抓住这两点就能快速准确解决这类识别与对应关系的题目。 【★题型2】利用圆周角定理进行基础运算证明 【例题2】（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，圆周角，弦，则圆O的直径是（   ） A．3 B． C．6 D． 【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的直径，，，则 【变式2】（2023·广东佛山·模拟预测）如图，和是四边形的对角线，，，若，求． 【★题型3】利用圆周角定理推论（1）基础运算证明 【例题3】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的直径，点D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点 （1）请问：与相等吗？为什么？（2）若，则______． 【变式1】（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的直径，是弦，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，是的外接圆，直径，，则长为 ． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，若，求的长． 【★题型4】利用圆周角定理推论（2）基础运算证明 【例题4】（25-26九年级上·云南迪庆·期中）如图，是的直径，C是上一点，的平分线交于E，交于D，连接，．求证：． 【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、、在上，且，．则的周长为 ． 【小结归纳】 这类“圆周角定理应用” 题，核心是抓“直径所对圆周角为直角”、“同弧所对圆周角相等与同弧所对的圆周角是圆心角的一半”这两个关键结论：解题时先观察图形中是否有直径，再通过弧的对应关系，利用圆周角与圆心角的数量关系、同弧圆周角相等的性质，结合等腰（边）三角形等图形性质推导角度或线段长度；需注意先定位 “弧”的对应关系，再关联角的数量，就能快速解决这类角度、边长计算的问题。 （二）培优篇 【★★题型5】利用圆周角定理进行综合求值证明 【例题5】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， 点A、B、C、D在⊙O上， OD⊥AB于点E． 若∠ACD＝22.5°， AB＝4， 则⊙O半径长为 （    ） A． B．6 C． D．4 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是 ． 【★★题型6】利用圆周角定理推论（1）进行综合求值证明 【例题6】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：．（2）若，求的度数． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，C，D是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 【★★题型7】利用圆周角定理推论（2）进行综合求值证明 【例题7】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，半径为的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ． 【★★★题型8】圆周角定理与垂径定理、圆心角定理综合 【例题8】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知，为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图，在中，点，位于直线异侧，．求的度数； 若的半径为，，求的长． 【逆向思考】 （2）如图，为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，半径绕圆心O顺时针旋转到，D为的中点，直径交弦于点．若，，则的长为（   ） A． B．13 C．15 D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，四边形内接于，对角线是的直径，E为内一点，满足且．若，，则弦的长为 ． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒时，点在量角器上对应的读数是（　　） A．度 B．度 C．度 D．度 5．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，、是的两条弦，延长、交于点，连结、交于点．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，点A、B、C、D都在上，连接、，，则的度数为 ． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数为 ． 9．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，连接，，点在上，连接，，若，则的度数为 ． 10．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，、、三点在上，与交于点，．则 ． 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，则的度数为 ． 12．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，为的直径，． （1）求的度数； （2）若，，求的长度． 14．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． （1）求证：； （2）猜想与的位置关系，并说明理由． 15．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 16．（25-26九年级上·北京密云·期中）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E． （1）求证：； （2）若，当时，求半径的长． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，和均为的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图,是的直径，C，D是上的两点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，是的直径，为上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；作射线，与相交于点．若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（   ） A．3 B． C． D． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为 （ ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，将的圆周12等分后得到表盘模型，整钟点为（n为1～12的整数），分别连接，和，得到，射线和射线相交于圆外一点M，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 8．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，点、、在上，若，则的度数为 ． 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，四点都在上，是的直径，且，若，弦的长 ． 10．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，是的直径，若，，则的长等于 ． 11．（21-22九年级下·河北石家庄·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 12．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，在正方形中，，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，锐角内接于于点于点，交于点，延长交于点，连接，． （1）当，时，求的度数． （2）求证：． （3）当时，求证：． 14．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的直径，点C、D、E在上，，连交直径于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若点G为中点，，求的长． 15．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． （1）求证：点为弧的中点； （2）若，，求的长． 16．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，．点M为上一点，过P作于D点，求证：； （3）如图3，点Q是上一动点（不与A，P重合），连，，．求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.5 圆周角 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】圆周角定义 1 【知识点二】圆周角定理 2 【知识点三】圆周角定理的推论（1） 2 【知识点四】圆周角定理的推论（2） 3 二.题型分类精析 3 （一）基础篇 3 【★题型1】圆周角的辨析 3 【★题型2】利用圆周角定理进行基础运算证明 5 【★题型3】利用圆周角定理推论（1）基础运算证明 7 【★题型4】利用圆周角定理推论（2）基础运算证明 10 （二）培优篇 12 【★★题型5】利用圆周角定理进行综合求值证明 12 【★★题型6】利用圆周角定理推论（1）进行综合求值证明 15 【★★题型7】利用圆周角定理推论（2）进行综合求值证明 18 【★★★题型8】圆周角定理与垂径定理、圆心角定理综合 20 二．同步练习​ 25 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 25 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 37 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】圆周角定义 如图1，的顶点在圆上,它的两边都和圆相交.像这样的角叫做圆周角 【知识点二】圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 如图2，在☉o中，所对的圆周角是圆心角是， 图2 【知识点三】圆周角定理的推论（1） 圆周角定理推论（1）:半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. （1）如图3，在☉o中， 是☉o的直径， （2）如图3，在☉o中， 是☉o的直径. 如图3 【知识点四】圆周角定理的推论（2） 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 数学语言：如图4，在☉o中， =， 如图4 二.题型分类精析 （一）基础篇 【★题型1】圆周角的辨析 【例题1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 解：如图，    所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点拨】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【小结归纳】圆心角顶点在圆心、圆周角顶点在圆上且两边均与圆相交，解题时先看顶点位置区分角的类型，再通过“弧的端点是否在角的两边上”确定对应弧的圆周角；需注意避开“顶点在圆外（内）”、“边未与圆相交”的易错点，抓住这两点就能快速准确解决这类识别与对应关系的题目。 【★题型2】利用圆周角定理进行基础运算证明 【例题2】（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，圆周角，弦，则圆O的直径是（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理及等边三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理及等边三角形的性质与判定是解题的关键；连接，由题意易得，则有是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可进行求解． 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴圆O的直径是； 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的直径，，，则 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理的应用，根据，，即得，故，再根据圆周角定理即可求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2023·广东佛山·模拟预测）如图，和是四边形的对角线，，，若，求． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是得出B、C、D三点在以点A为圆心长为半径的圆上和掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 根据，可知B、C、D三点在以点A为圆心长为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解． 解：如图，， 、C、D三点在以点A为圆心长为半径的圆上， ， ． 【★题型3】利用圆周角定理推论（1）基础运算证明 【例题3】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的直径，点D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点 （1）请问：与相等吗？为什么？ （2）若，则______． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，根据是圆的直径以及线段垂直平分线的性质，可得，从而得到，从而得到，即可解答； （2）求出的度数即可． 解：（1）解：，理由如下： 连接， 是圆的直径， ， ， 垂直平分AD， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 故答案为： 【变式1】（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的直径，是弦，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得． 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，是的外接圆，直径，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 解：连接，如图所示： ∵，是的直径， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； 故答案为． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角间的关系，勾股定理等知识；连接，由直径对的圆周角是直角，得；由角平分线的定义及弧、弦、圆周角间的关系，得，从而在中，由勾股定理即可求解． 解：如图，连接， 是的直径， ， ∵ ∴ 的平分线交于点， ， ， ， 在中，，， ， ． 【★题型4】利用圆周角定理推论（2）基础运算证明 【例题4】（25-26九年级上·云南迪庆·期中）如图，是的直径，C是上一点，的平分线交于E，交于D，连接，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据角平分线的定义得到，由圆周角定理推出，再由圆心角、弧、弦的关系推出． 解：证明：∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等．证明，根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、、在上，且，．则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等得到，进而推出是等边三角形，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为． 故答案为：9． 【小结归纳】 这类“圆周角定理应用” 题，核心是抓“直径所对圆周角为直角”、“同弧所对圆周角相等与同弧所对的圆周角是圆心角的一半”这两个关键结论：解题时先观察图形中是否有直径，再通过弧的对应关系，利用圆周角与圆心角的数量关系、同弧圆周角相等的性质，结合等腰（边）三角形等图形性质推导角度或线段长度；需注意先定位 “弧”的对应关系，再关联角的数量，就能快速解决这类角度、边长计算的问题。 （二）培优篇 【★★题型5】利用圆周角定理进行综合求值证明 【例题5】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）25°；（2）2 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用垂径定理和圆周角定理即可解决问题； （2）连接．证明是等边三角形，利用所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，即可解决问题． 解：（1）解：如图，连接． ，是的直径， ． ， ． ，， ， ． ． （2）如图，连接． ，． ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， ， ，是的直径， ． 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， 点A、B、C、D在⊙O上， OD⊥AB于点E． 若∠ACD＝22.5°， AB＝4， 则⊙O半径长为 （    ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理与圆周角定理的综合应用，解题的关键是利用垂径定理得到线段关系，结合圆周角定理求出圆心角，进而解直角三角形求半径． 1． 由垂径定理得； 2． 由圆周角定理得圆心角； 3． 在等腰直角三角形中，利用边长关系求出半径． 解：连接OA． 因为，根据垂径定理，， 由圆周角定理， 已知，故． 在中，，， 是等腰直角三角形， 因此， 即圆的半径为． 故选C． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和推论，勾股定理．连接，利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，再证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【★★题型6】利用圆周角定理推论（1）进行综合求值证明 【例题6】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了直径所对圆周角是直角这一定理，等腰三角形三线合一的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接，根据直径所对圆周角是直角，根据三线合一即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，即，然后根据圆周角定理进行求解即可． 解：（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴； （2）解：∵为等腰三角形， ∴， ∴， 又∵为的直径， ∴， ∴的度数是度数的一半， 即． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，C，D是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理及直径所对圆周角的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理及直径所对圆周角的性质． 由同弧圆周角相等得，由直径所对圆周角为直角得，利用直角三角形内角和求出结论即可． 解：连接， ∵同弧所对的圆周角相等，， ∴． ∵是直径， ∴， 在，中 ． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面几何中的最值问题，将转换成圆的直径是解题的关键． 由可知，点在以为直径的圆上，故以为直径作，连接交于E，则E为所求，由此即可求出最值． 解：于点E，D为边上动点， 点E的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的圆， 当点B，O，E共线时，最小， ∵等边三角形，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【★★题型7】利用圆周角定理推论（2）进行综合求值证明 【例题7】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，可得，，，再根据全等三角形的判定方法可证，进而得到，结合即可求解． 解：证明：与所对的弧相同，与所对的弧相同， ，， ， ， 在和中， ， ． ， 又， ， 为等边三角形 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，半径为的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，连接，，根据可得，推出，由可得，推出，即可求解． 解：如图，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，根据圆周角定理得到则为直径，即点在上，，然后根据含角的直角三角形边的关系求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 解：如图，连接， ∵， ∴为直径，即点在上， ∵的半径为，， ∴，， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点拨】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，的圆周角所对的弦是直径，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握：的圆周角所对的弦是直径． 【★★★题型8】圆周角定理与垂径定理、圆心角定理综合 【例题8】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）已知，为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图，在中，点，位于直线异侧，．求的度数； 若的半径为，，求的长． 【逆向思考】 （2）如图，为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理． 根据，结合圆周角定理求的度数； 构造直角三角形，根据勾股定理可以求出，，根据线段之间的关系求出的长度； 只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可． 解：解：，， ， ； 解：如下图所示，连接，过作，垂足为， ，， 是等腰直角三角形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角中，， ． 证明：如下图所示，延长交圆于点，则， ， ， ， ， ， ， ， 为该圆的圆心． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，半径绕圆心O顺时针旋转到，D为的中点，直径交弦于点．若，，则的长为（   ） A． B．13 C．15 D． 【答案】A 【分析】连接，交于点H，过点A作于点G，先证明，得出，根据圆周角定理得出，求出，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，根据勾股定理得出，． 解：连接，交于点H，过点A作于点G，如图所示： 则， ∵D为的中点，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵半径绕圆心O顺时针旋转到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，四边形内接于，对角线是的直径，E为内一点，满足且．若，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 延长交于M，延长交于N，先由圆周角定理的推论证明，再证明四边形是平行四边形，则，根据勾股定理即可得出答案． 解：延长交于M，延长交于N， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴，， ∴证明四边形是平行四边形， ∴， ∴ 故答案为：． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理． 根据圆周角定理可知，进而根据平角的定义计算即可． 解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 连接，如图，利用圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数即可． 解：连接，如图， 是的直径， ， ， ． 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒时，点在量角器上对应的读数是（　　） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，点和圆的位置关系，连接，由，易得点共圆，然后由圆周角定理可得点在量角器上对应的读数，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：如图，连接， ∵， ∴在以点为圆心，为直径的圆上， ∴点共圆， ∵， ∴， ∴点在量角器上对应的读数是， 故选：． 5．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，、是的两条弦，延长、交于点，连结、交于点．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解题的关键是理解同弧所对的圆周角相等．先根据三角形外角的性质求了，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 解：， ， 故选：C． 6．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据弧中点的意义得出，再根据直径所对的圆周角是直角得出，从而可利用勾股定理得出，进而得到，再利用圆周角定理得出，从而可求得，于是有，从中可求得． 解：连接， ∵点B是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， 故选：C． 【点拨】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，圆周角定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二、填空题 7．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，点A、B、C、D都在上，连接、，，则的度数为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，连接，由垂径定理和圆周角定理可求出，再由等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识点．由是的直径，得，而，则即可得到答案． 解：∵是的直径， ∴， ∴， 又∵所对应的圆周角相等， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，连接，，点在上，连接，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理. 先根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和计算即可． 解：由圆周角定理可得，， ， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，、、三点在上，与交于点，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形的外角性质等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据题意求出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，结合三角形的外角性质即可求解． 解：∵， ∴， 故； ∵，， ∴， 故． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，则的度数为 ． 【答案】60 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． 连接，证得，由垂径定理证得，进而证得． 解：连接，如下图， ，， ， ， ， ． 故答案为：60． 12．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理及应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，由，可得四点共圆，从而得到，进而得到答案． 解：∵， ∴四点共圆， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题 13．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，为的直径，． （1）求的度数； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧与弦的关系等知识点． （1）根据圆周角定理得到，那么； （2）由圆周角定理得到，再由得到然后由勾股定理求解，再对运用勾股定理求解即可． 解：（1）解：∵为的直径， ∴．          ∵， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴．           ∵， ∴．           ∴．         ∴． 14．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． （1）求证：； （2）猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明； （2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可． 解：（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明过程见分析；（2）． 【分析】（1）由垂径定理，结合线段垂直平分线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． 解：（1）证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∴垂直平分， ∴． （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理． 16．（25-26九年级上·北京密云·期中）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E． （1）求证：； （2）若，当时，求半径的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理， 对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，                      再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案；                        对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可. 解：（1）证明：连接，    ∵为直径 ∴，                       ∴，                      ∵， ∴，                           ∴，                        ∴，                                   ∵，                        ∴； （2）解：连接，    ∵， ∴，                  ∴， ∵为直径，， ∴，                                       在中，，              ∴，                                       设的半径为x，， ∵， ∴ ， 解得， ∴的半径为. 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，和均为的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等及三角形内角和定理．先利用圆周角定理的推论得出的度数，再通过同弧所对圆周角相等得到的度数，最后在中用三角形内角和定理计算的度数即可． 解：由题意知，所对应的圆周角相等， ∴， 又∵为直径， 由直径所对应的圆周角为直角可知，， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图,是的直径，C，D是上的两点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理（直径所对的圆周角为直角、同弧所对的圆周角相等），解题的关键是利用直径的性质求出直角，再结合已知角推导相关圆周角的度数． 连接，由是直径得，结合 求出的度数；利用同弧所对的圆周角相等，得，进而得出的度数． 解：连接． ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． 在中，， ∴ 又∵与是同弧所对的圆周角， ∴ 故选：C． 3．（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，是的直径，为上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；作射线，与相交于点．若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理及推论、勾股定理，熟练掌握圆的性质是解题关键，连接，得出，求出，再证明，即可求出结论． 解：连接， 是的直径， ， ，， ， ， 由作图知，平分， ， ， ， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．先利用圆周角定理及平行线的性质证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据圆周角定理及直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出的长，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 同理可得，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 解得，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故选：C． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查圆内接四边形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知识点，解答此题的关键是得出，，，四点共圆． 连接，，根据且为中点，证明是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，，进而可得出结论． 解：连接，，如图， ，且为中点， ， ， ， 为中点， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得 ， ， ， 故选A． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，将的圆周12等分后得到表盘模型，整钟点为（n为1～12的整数），分别连接，和，得到，射线和射线相交于圆外一点M，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，含的直角三角形，等腰直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．如图连接，过点作于点，由题意，求出，再求出圆的半径可得结论． 解：如图，连接，过点作于点，过点作于点． 由题意， ∴，， 同法可得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，点、、在上，若，则的度数为 ． 【答案】/7度 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，进而根据等边对等角，三角形的内角和定理即可求解． 解：点A、B、C在上，， ． ∵ ∴ 故答案为：． 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，四点都在上，是的直径，且，若，弦的长 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，连接，根据圆周角定理，得到，，进而得到，得到，利用勾股定理进行求解即可． 解：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，是的直径，若，，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长． 解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 11．（21-22九年级下·河北石家庄·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内不在轴上的一点，且，外接圆圆心的坐标为． （1）点恰在轴的正半轴上，则点的坐标为 ； （2）的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是坐标与图形、勾股定理、圆周角定理应用及三角形外心的性质， （1）先求出，得出为外接圆直径，则点C为线段中点，进而求出结论； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，分两种情况：当点C在y轴右侧时或点C在y轴左侧时，分别求出即可． 解：（1）点恰在轴的正半轴上，如下图： ，， ， ， ， 在中，， ∴为外接圆直径， 则点C为线段中点， ， 故答案为：； （2）分别作的垂直平分线交于点C，连接，如图，当点C在y轴右侧时， ∴， 由垂线段最短得：， 在中，， 即， ； 同理，当点C在y轴左侧时，； 综上所述，的取值范围是或． 12．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，在正方形中，，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，借助于圆解决线段的最值问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交圆于点，判定出，得出，确定点在圆上，然后利用勾股定理即可求解． 解：如图所示，取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交圆于点， 在正方形中，，且， ， 又，， ， ， ， ， ， 点在圆上，当时值最小， 由勾股定理得， ， 即的最小值是， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，锐角内接于于点于点，交于点，延长交于点，连接，． （1）当，时，求的度数． （2）求证：． （3）当时，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得，，即可求解； （2）根据直角三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，即可求证； （3）延长交于点H，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，然后根据垂径定理可得，可得，即可求证． 解：（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长交于点H，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，是的直径，点C、D、E在上，，连交直径于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若点G为中点，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理． （1）设交于点H，根据圆周角定理得到，，进而可得，即可证明； （2）连接交于点M，根据等边对等角得到，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，根据证明，根据勾股定理计算即可． 解：（1）证明：设交于点H， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接交于点M． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是中位线， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴（）， ∴， 在中，， 在中，， 在中，． 15．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． （1）求证：点为弧的中点； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，平行线的性质，垂径定理，勾股定理等，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理的推论得出，根据平行线的性质推得，然后根据垂径定理即可证明； （2）根据勾股定理得出，根据垂径定理得出，结合勾股定理即可求出，即可求解． 解：（1）证明：∵是的直径，点是上的点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴点为弧的中点． （2）解：∵，，， 故在中，， ∵， ∴， ∵， 故在中，， ∴． 16．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，．点M为上一点，过P作于D点，求证：； （3）如图3，点Q是上一动点（不与A，P重合），连，，．求的值． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得出结论； （2）作，交的延长线于，如图2，证明，由全等三角形的性质可得出，证出四边形为正方形，得出，则可得出结论； （3）作于，如图3，由（2）得，证出为等腰直角三角形，得出，则可得出答案． 解：（1）证明：， 为直径， ， ， ， ， ； （2）证明：作，交的延长线于，如图2， ， 为直径， ， ， 四边形为矩形， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ， ； （3）解：作于，如图3， 由（2）得， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $