3.5 圆周角 讲义 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

本讲义聚焦圆周角核心知识点，系统梳理圆周角的定义、定理（度数等于所对弧圆心角度数一半）及两个推论（半圆对直角、同弧等圆周角），明确圆心与圆周角的三种位置关系，构建从定义到定理再到推论的递进式学习支架。 资料通过多样化题目设计（单选、填空、解答）覆盖不同难度，图形题培养几何直观，证明题提升推理意识，计算题强化运算能力，如解答题中圆周角定理的应用与边长计算。课中助力教师分层教学，课后便于学生回顾练习，有效查漏补缺。

3.5 圆周角 一、圆周角 1.圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 2.圆周角定理： 　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 3.圆周角定理的推论1： 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4.圆周角定理的推论2： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 一、单选题 1．下列图形中的角是圆周角的是（       ） A． B． C． D． 2．如图，点，，都在上，，则等于（       ） A． B． C． D． 3．如图，、是的两条弦，延长、交于点，连接、交于点．，，则为（       ） A． B． C． D． 4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．65° 5．如图，点A，B，C都在⊙O上，，则（       ） A． B． C． D． 6．如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（       ） A．98° B．103° C．108° D．113° 7．如图，是外一点，，分别交于，两点，已知和所对的圆心角分别为和，则（       ） A． B． C． D． 8．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（     ） A．， B．， C．， D．， 9．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，，弦于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则的度数为（　　） A．18° B．21° C．22.5° D．30° 10．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，==，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=30°；②∠DOB=2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC=__． 12．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ABC＝20°，则∠C的度数为__． 13．如图，是的外接圆的直径，若，则_____°． 14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______． 15．如图，内接于，AD是的直径，，则______． 16．如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______． 17．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是________． 18．如图，AB，CD是的直径，弦BE与CD交于点F，F为BE中点，．若，则BC的长为______． 三、解答题 19．如图，A，C，B．D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的长． 20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°． (1)求∠BAC的度数． (2)求∠BAD的度数． 22．如图，在中，，以AC为直径作⊙O分别交AB、BC于点D、E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接AF． (1)求证：； (2)若，求AF的长． 23．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长； (3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 24．在⊙O中，弦AB⊥AC，且AB=AC=6．D是⊙O上一点（不在上），连接AD、BD、CD． (1)如图①，若AD经过圆心O，求BD、CD的长； (2)如图②，若∠BAD=2∠DAC，连接BC、OD，且BC是直径，求BD、CD的长． 25．内接于，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在外，，CD∥OB，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在圆周上（若与点位于AB的两侧），连接EB、EC，若，，，求的半径长． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 圆周角 一、圆周角 1.圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 2.圆周角定理： 　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 3.圆周角定理的推论1： 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4.圆周角定理的推论2： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 一、单选题 1．下列图形中的角是圆周角的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项中的角是圆周角． 故选：． 【点睛】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题． 2．如图，点，，都在上，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】连接OC，根据等边对等角即可得到∠B=∠BCO，∠A=∠ACO，从而求得∠ACB的度数，然后根据圆周角定理即可求解． 【解答】连接OC． ∵OB=OC， ∴∠B=∠BCO， 同理，∠A=∠ACO， ∴∠ACB=∠A+∠B=40°， ∴∠AOB=2∠ACB=80°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正确作出辅助线，求得∠ACB的度数是关键． 3．如图，、是的两条弦，延长、交于点，连接、交于点．，，则为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】先根据三角形的外角性质得出，再根据圆周角定理得出，然后根据三角形的外角性质即可得． 【解答】， 由圆周角定理得： 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、圆周角的定理，熟记性质与定理是解题关键． 4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．65° 【答案】A 【提示】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可． 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CAB=65°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=25°， ∴∠ADC=∠ABC=25°， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大． 5．如图，点A，B，C都在⊙O上，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【解答】解：∵同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ∴，， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 6．如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（       ） A．98° B．103° C．108° D．113° 【答案】C 【提示】先求出∠COB的度数，由圆周角定理求出∠BAC的度数，再根据弧、弦之间的关系求出∠ABD=45°，即可得到答案． 【解答】解：∵∠COD=126°， ∴∠COB=54°， ∴， ∵BD是圆O的直径， ∴∠BAD=90°， ∵， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB=45°， ∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键． 7．如图，是外一点，，分别交于，两点，已知和所对的圆心角分别为和，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】连接OC、OD、OA、OB，由圆周角定理，得到，，然后利用三角形的外角性质，即可求出答案． 【解答】解：如图：连接OC、OD、OA、OB， ∵和所对的圆心角分别为和， 即，， ∴，， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题． 8．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【提示】连接，，先求解， 可得，，再求解 可得， ，从而可得答案. 【解答】解：连接，， 直径，，， ， ， ， ， ， 直径，，， ， ， ， ， 所以B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 9．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，，弦于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则的度数为（　　） A．18° B．21° C．22.5° D．30° 【答案】D 【提示】由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解． 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠CAB=90°， ∵， ∴∠CAB=2∠ABC， ∴∠ABC=30°，∠CAB=60°， ∵CD⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠ACE=30°， ∵点H是AG的中点，∠ACB=90°， ∴AH=CH=HG， ∴∠CAH=∠ACE=30°， ∵∠CAF=∠CBF， ∴∠CBF=30°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键． 10．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，==，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=30°；②∠DOB=2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【提示】根据==和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④． 【解答】解：∵==，点E是点D关于AB的对称点， ∴=， ∴∠DOB=∠BOE=∠COD=×180°=60°，∴①错误； ∠CED=∠COD=×60°=30°=∠DOB，即∠DOB=2∠CED；∴②正确； ∵的度数是60°， ∴的度数是120°， ∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°， ∵∠CED=30°， ∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误； 作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长， 连接CD， ∵===，并且弧的度数都是60°， ∴∠D=×120°=60°，∠CFD=×60°=30°， ∴∠FCD=180°-60°-30°=90°， ∴DF是⊙O的直径， 即DF=AB=10， ∴CM+DM的最小值是10，∴④正确； 综上所述，正确的个数是2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键． 二、填空题 11．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC=__． 【答案】30° 【提示】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数． 【解答】∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵∠OBC=60°， ∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及角的计算，解题的关键是找出∠ACB=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出直径所对的圆周角为90°是关键． 12．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ABC＝20°，则∠C的度数为__． 【答案】40° 【提示】根据三角形的内角和定理和得到∠ODC的度数，再利用同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，可得到结果. 【解答】解：∵∠A＝60°，∠ABC＝20°， ∴∠ODC＝180°﹣20°﹣60°＝100°，∠ABC＝20°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝40°， ∴∠C＝180°﹣100°﹣40°＝40° 故答案为40° 【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键． 13．如图，是的外接圆的直径，若，则_____°． 【答案】50 【提示】根据圆周角定理即可得到结论． 【解答】∵是的外接圆的直径， ∴点，，，在上， ∵， ∴， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______． 【答案】2 【提示】先利用垂径定理得到CE=DE=1，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC的长． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=1，∠OEC=90°， ∵∠BOC=2∠A=2×15°=30°， ∴OC=2CE=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理． 15．如图，内接于，AD是的直径，，则______． 【答案】55° 【提示】根据圆周角定理，得∠ADC＝∠ABC＝35°，再根据AD是⊙O的直径，则∠ACD＝90°，由三角形的内角和定理即可求得∠CAD的度数． 【解答】解：∵∠ABC＝35°， ∴∠ADC＝35°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣35°＝55°． 故答案为：55°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90°，以及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是：根据圆周角定理，求得∠ADC＝∠ABC＝35°． 16．如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______． 【答案】30°##30度 【提示】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°． 【解答】∵OC⊥AB，OD为直径， ∴， ∴∠AOB=∠BOD， ∵∠AOB=120°， ∴∠AOD=60°， ∴∠APD=∠AOD=30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键． 17．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是________． 【答案】①②③⑤ 【提示】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可 【解答】解：，都是大于半圆的弧，故①②正确， 在圆上，则线段是弦；故③正确； 都在圆上， 是圆周角 而点不在圆上，则不是圆周角 故④不正确； 是圆心，在圆上 是圆心角 故⑤正确 故正确的有：①②③⑤ 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角． 18．如图，AB，CD是的直径，弦BE与CD交于点F，F为BE中点，．若，则BC的长为______． 【答案】 【提示】连接AE．根据垂径定理可知．根据直径所对圆周角为直角可知，即得出．从而可判断四边形AEDF为平行四边形，得出．再根据三角形中位线的性质得出．设，则，，，从而可利用勾股定理求出，进而得出．再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x,即可求出，，最后可求出的长． 【解答】如图，连接AE． ∵F为BE中点，CD是的直径， ∴． ∵AB是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴． ∵F为BE中点，O为AB中点， ∴OF为中位线， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍）， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理以及三角形中位线的性质．连接常用的辅助线是解题关键． 三、解答题 19．如图，A，C，B．D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的长． 【答案】 【提示】根据直径所对的圆周角是直角，则可得∠ADB=90°，同圆中，同弧所对圆周的角相等，可得∠ABD=∠ACD=45°，即可得△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，即可求得的长． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90° ∵ ∠ABD=∠ACD=45°， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴。 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中，同弧所对圆周的角相等，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1=∠2； （2）若，求⊙O的半径的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【提示】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 【解答】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， =． ∴∠A=∠2． 又∵OA=OC， ∴∠1=∠A． ∴∠1＝∠2． （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6 ∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3． 设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2 ∵在Rt△OEC中， 解得： ∴⊙O的半径是． 【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算． 21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°． (1)求∠BAC的度数． (2)求∠BAD的度数． 【答案】(1)70° (2)103° 【提示】（1）由同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，可得∠CBD=∠ABD=33°，从而求得∠ABC=∠CBD+∠ABD =66°，最后在中，运用内角和定理，可求得∠BAC的度数． （2）由同圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠DAC＝∠DBC＝33°，结合（1）的结论，可求得∠BAD的度数． （1） 解：∵， ∴∠CBD=∠ABD=33°， ∴∠ABC=∠CBD+∠ABD =66°， ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-66°-44°=70°； （2） 解：∵∠DAC＝∠DBC＝33°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝70°+33°＝103°． 【点睛】本题考查了同圆中，同弧所对的圆周角的关系，熟练掌握相关几何性质是解题的关键． 22．如图，在中，，以AC为直径作⊙O分别交AB、BC于点D、E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接AF． (1)求证：； (2)若，求AF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【提示】（1）根据，，根据等边对等角即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，连接，根据直径所对的圆周角是直角，根据等腰三角形的性质可得，根据平行四边形的性质即可求得的长． （1） ， ， ， ， ， （2） ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 连接， 是直径， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 23．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长； (3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)DF=2 (3)的最小值为 【提示】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD−OF即可； （3）作C点关于AB的对称点，D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC＋PD的值最小，再计算出∠DO＝120°，作OH⊥D于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC＋PD的最小值． （1） 证明：是的直径， ， ， ， ， ， 即点为的中点． （2） 解：， ， 而， 为的中位线， ， ． （3） 解：作点关于的对称点，交于，连接，如图， ， ， 此时的值最小， ， ， ， 点和点关于对称， ， ， 作于，则，， 在中，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 24．在⊙O中，弦AB⊥AC，且AB=AC=6．D是⊙O上一点（不在上），连接AD、BD、CD． (1)如图①，若AD经过圆心O，求BD、CD的长； (2)如图②，若∠BAD=2∠DAC，连接BC、OD，且BC是直径，求BD、CD的长． 【答案】(1)BD＝6，CD＝6 (2)，BD＝ 【提示】（1）由AD经过圆心O，利用圆周角定理得∠ACD=∠ABD=90°，又因为AB⊥AC，得到四边形ABCD为矩形，易得结果； （2）由∠BAD=2∠DAC，AB⊥AC，由圆周角定理得BC为直径，易得∠CAD=30°，∠BAD=60°，证明△COD为等边三角形，求得CD，BD． （1） 解：AD是⊙O的直径， ∴∠C=∠B=90°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， ∴四边形ABDC是矩形， ∵AB=AC=6， ∴BD=AC=6，CD=AB=6； （2） ∵∠BAC=90°，∠BAD=2∠DAC， ∴∠BAD=60°，∠DAC=30°， ∴∠COD=2∠CAD=60°， ∵OC＝OD， ∴△COD是等边三角形， ∴CD=OC， 在Rt△ABC中，， ∴， 在Rt△BCD中，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 25．内接于，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在外，，CD∥OB，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在圆周上（若与点位于AB的两侧），连接EB、EC，若，，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)⊙O的半径长为 【提示】（1）利用圆的两个半径构成的三角形是等腰三角形，最后用等腰三角形性质即可得出结论； （2）先判断出∠CFB=90°，进而得出∠OBD=90°，再判断出∠BCD=∠ODB，进而判断出∠CAB=∠CBA，即可得出结论； （3）先判断出∠ABE=∠AEB，进而判断出△AEM≌△ABN，得出CE-CM=CB+CN，再判断出CM=CN，最后用勾股定理求出BC，即可得出结论． (1) 如图1，连接OA、OC， ∵OA＝OB＝OC， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 如图2，连接并延长交于， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， 由（1）知，， ∴， (3) 如图3，连接，过点作于，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴； 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，根据勾股定理得，， ∴ 在和中，根据勾股定理得，， 即：，解得或（舍）， ∴， 连接OC交AB于, ∴ 在中，根据勾股定理得，， 设，在中，， ∴ 【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形和全等三角形是解本题的关键 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $