1.11有理数的混合运算（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，系统梳理定义、“先乘方再乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序、运算律应用及符号处理等易错点，以思维导图为学习支架，衔接前期基础运算，帮助学生构建完整知识体系。 资料特色在于分层设计（30分提至70分使用），含程序流程图计算、“24点”游戏等题型，结合思维导图与图示，培养学生抽象能力、模型意识及创新意识，课中辅助教师系统授课，课后通过易错点提示与分层练习助力学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

1.11有理数的混合运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 有理数混合运算的定义 有理数的混合运算是指在一个算式中，含有加、减、乘、除、乘方（包括正整数指数幂）等多种有理数运算的运算。 2. 有理数混合运算的运算顺序 1. 先算乘方：即先计算算式中各数的正整数指数幂，例如、等。 2. 再算乘除：按照从左到右的顺序依次进行乘法和除法运算。 3. 最后算加减：按照从左到右的顺序依次进行加法和减法运算。 4. 有括号时：先算小括号内的运算，再算中括号内的运算，最后算大括号内的运算（若有），括号内的运算也遵循上述1、2、3的顺序。 3. 运算律的应用 在有理数混合运算中，可适当运用加法交换律、加法结合律、乘法交换律(a×b = b×a)、乘法结合律((a×b)×c = a×(b×c))和乘法对加法的分配律(a×(b + c)=a×b + a×c)，以简化运算过程，但需注意运算顺序的前提。 4. 易错点提示 1. 符号问题：在进行乘除和加减运算时，要特别注意负数参与运算时的符号变化，例如与的区别（，）。 2. 运算顺序混淆：严格遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的顺序，避免因顺序错误导致结果错误。 3. 漏算或重复计算：在多步运算中，需仔细核对每一步的计算，防止漏算某项或重复计算。 型 习 练 题 程序流程图与有理数计算 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是16，则输出的y的值是（   ）   A．5 B．6 C．7 D．8 2．根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出的结果是（   ） A．4 B．20 C．36 D．100 3．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的结果为（   ） A． B．5 C．13 D．61 4．如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（   ） A．10 B．8 C．6 D．19 5．如图是一个数值转换机的示意图，若输入的值为，的值为，则输出的结果为（   ） A． B．5 C． D．1 算24点 6．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式 ．（写出一种即可） 7．请选择使用“加、减、乘、除和括号”，将四个数3，4，，7组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24或，你列出的算式是 （写出一种即可）． 8．玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式： ． 9．现有四个有理数3，4，，10，将这4个数（每个数要用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，例如：；请你写出不同的算式 ． 10．不改变数的顺序，请用“”“”运算符号把数，，，组成一个算式： ，使其运算结果为． 含乘方的有理数混合运算 11．计算：． 12．计算： (1)； (2)． 13．计算：． 14．计算：． 15．计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.11有理数的混合运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 有理数混合运算的定义 有理数的混合运算是指在一个算式中，含有加、减、乘、除、乘方（包括正整数指数幂）等多种有理数运算的运算。 2. 有理数混合运算的运算顺序 1. 先算乘方：即先计算算式中各数的正整数指数幂，例如、等。 2. 再算乘除：按照从左到右的顺序依次进行乘法和除法运算。 3. 最后算加减：按照从左到右的顺序依次进行加法和减法运算。 4. 有括号时：先算小括号内的运算，再算中括号内的运算，最后算大括号内的运算（若有），括号内的运算也遵循上述1、2、3的顺序。 3. 运算律的应用 在有理数混合运算中，可适当运用加法交换律、加法结合律、乘法交换律(a×b = b×a)、乘法结合律((a×b)×c = a×(b×c))和乘法对加法的分配律(a×(b + c)=a×b + a×c)，以简化运算过程，但需注意运算顺序的前提。 4. 易错点提示 1. 符号问题：在进行乘除和加减运算时，要特别注意负数参与运算时的符号变化，例如与的区别（，）。 2. 运算顺序混淆：严格遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的顺序，避免因顺序错误导致结果错误。 3. 漏算或重复计算：在多步运算中，需仔细核对每一步的计算，防止漏算某项或重复计算。 型 习 练 题 程序流程图与有理数计算 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是16，则输出的y的值是（   ）   A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清框图给出的计算程序是解题的关键． 根据程序框图计算即可． 【详解】解：若开始输入的x的值是16，则， 继续输入，则， 故， 故答案为：A． 2．根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出的结果是（   ） A．4 B．20 C．36 D．100 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：当输入x的值为，则，， 输入x的值为4，则，， ∴输出的结果是100． 故选：D． 3．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的结果为（   ） A． B．5 C．13 D．61 【答案】C 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．如图是一个程序图，若输入的，则输出的结果是（   ） A．10 B．8 C．6 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数运算，理解程序流程图是解题的关键． 将代入流程图求解即可． 【详解】解：当输入的，， 输入，则，输出19． 故选D． 5．如图是一个数值转换机的示意图，若输入的值为，的值为，则输出的结果为（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 算24点 6．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据“24点”进行求解． 【详解】解：由题意得：，； 故答案为（答案不唯一）． 7．请选择使用“加、减、乘、除和括号”，将四个数3，4，，7组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24或，你列出的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，需使用加、减、乘、除和括号将给定数字组合，使结果为24或，通过考虑乘法运算得到24，结合数字特点进行组合，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∴满足题意的算式是， 故答案为： 8．玩“24点”游戏时，小明抽到“”四张牌，请写出运算结果为24的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意结合有理数的混合运算法则写出式子即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为（答案不唯一）． 9．现有四个有理数3，4，，10，将这4个数（每个数要用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，例如：；请你写出不同的算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的运算规则并尝试不同组合是解题的关键．尝试不同的四则运算组合，利用有理数的运算规则，构造出结果为24的算式． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一，如等）． 10．不改变数的顺序，请用“”“”运算符号把数，，，组成一个算式： ，使其运算结果为． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，通过为数字之间的运算符号选择减号或加号，调整每个数字在算式中的实际符号，使代数和为24． 【详解】解：数字顺序固定为，，，． 在6与之间插入减号 算式为； 在与之间插入加号， 算式为； 与之间插入减号，算式为． 故答案为：． 含乘方的有理数混合运算 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算，先计算小括号内的运算及乘方运算，然后化简绝对值，计算除法运算，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先计算括号和绝对值，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 14．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先计算括号，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 15．计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键；因此此题可先算乘方，然后再进行有理数的运算即可． 【详解】解：原式． 学科网（北京）股份有限公司 $