解直角三角形的应用题型突破2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

解直角三角形的应用题型突破2025-2026学年 华东师大版九年级上册（五大题型） 题型一：仰角俯角问题 1.如图，从点P观测点B的俯角是() P H B A.∠HPB B.ZCPB C.∠APB D.∠PBA 2.如图，两幢建筑物AD和BC,DA⊥AB,CB⊥AB,AD=15m,BC=20m,AD和 BC之间有一景观池，某同学在D点测得池中喷泉处E点的俯角为42·，在C点测得E点的 俯角为45°，点A、E、B在同一直线上.求得两幢建筑物之间的距离AB约为()（结果 精确到0.1m,参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90) 45o 177777 77777T A.36.7m B.37.6m C.39,2m D.38.1m 3.离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为0，如果测角仪高为1.5米.那么 旗杆的高为 米（用含0的三角函数表示）. 4.如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯 角为45°，则这个建筑物的高度CD=米（结果可保留根号）. B 5.如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿 CB方向前进到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，若建筑物高度AB=6,求 CD的长度 6.在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离.如图， 无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30·，然后沿AB方向飞行 60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°，求校园西门A与东门B之间的距离.（结 果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00， 5≈1.73) C63.4° D 30° B 7.国庆假期小明随父母去某景区度假，景区中一高塔吸引了他的注意.小明想知道它的高度 于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了15米至点F处，测得此时塔尖A 的仰角是45°，已知小明的眼晴离地面高度是1.6米，请你帮他求出这座高塔的高度（参考 数据：n号os37学m37p子 G 45℃ 37CD B 题型二：方向角问题 1.已知：B在A的北偏西60°方向上，C在A南偏西30°方向上.现小明家在A处，A到公 路甲的最短路径AB为400米，A到公路乙的最短路径AC为300米，则下列说法正确的是 () A.甲、乙两条路径互相垂直 B.B,C两点之间的距离为400米 C.B,C两点之间的距离为300米 D.甲、乙两条路径互相平行 2.轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方 向是 3.如图所示，点B在点A北偏西60°方向，且AB=5km,点C在点B北偏东 30°方向，且BC=12km,则A到C的距离为 4.某市要在东西方向M,N两地之间修建一条道路.如图，C点周围180m范 围内为文物保护区，在MN上点A处测得C在A的北偏东60°方向上，从A向东走500m到 达B处，测得C在B的北偏西45°方向上，则MN是否穿过文物保护区？为什么？ 北 东 B 5.为了维护我国海洋权力，海监门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图，正在执行 巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东 45°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上. 北 30 459 东 B (1)求B处到灯塔P的距离； (2)己知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明 理由. 6.三个村庄A,B,C之间的位置如图所示.B在A的正南方向上，且在C的西南方向上；C 在A的南偏东30°方向上，与A相距3600m. 北 西个东 南 B (1)求A,B两个村庄之间的距离（结果保留根号）； (2)嘉嘉和琪琪从村庄A同时出发骑行到村庄B,两人途中均保持匀速行驶，嘉嘉的骑行路 线为折线A-C-B,速度为360m/min;琪琪的骑行路线为直线AB,速度为300m/min.请 通过计算推断谁先到达， 题型三：坡度坡角问题 1.如图，坡角为30°的斜坡上有一棵大树MN(MN垂直于水平地面)，当太阳光线与水平线 成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上树影T的长为30米，则大树MN的高为() --130 水平地面 A.15米 B.15√5米 C.15√3-15米 D.15√3+15米 2.河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度=1：√5，AB=6m,则BC的长是 B 3.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山 脚C点出发沿水平方向前行？8米到D点（点A,B,C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前 行78米到E点（点A,B,C,D,E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角 为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1:2.4,则信号塔AB的高度 约为 (参考数据：sin43°≈0.68，c0s43°≈0.73，tan43°≈0.93) 4.如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆DE的顶端D处有一探 射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和 60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN) D M 30° B EN (1)求灯杆DE的长； (2)求AB的长度（结果精确到0.1米）.（参考数据：√5≈1.73，sin37°=0.60， cos37°=0.80，tan37g=0.75) 5.跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，某运动员在如图所示的跳台上完成动作示意图 赛道剖面图的一部分可抽象为线段AD,AB.滑雪运动员从点D出发，到点B落地.已知 跳台的高度h为120m,经测量，斜坡AD的长为57m、坡角约为37°，斜坡AB与水平地面 的夹角为40°.求斜坡AB的长度.（结果精确到整数.参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84) 出发台 D 助滑 起跳点 空中飞行 h 着陆坡 6.在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量.如图，在山坡坡脚C处测得该建 筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20加到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30° ·已知山坡坡度i=3:4,即tan日=，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB.(结果精确 到0.1m,参考数据： V5≈1.732) D30 60° 题型四：实物建模问题 1.某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点0的连线MO恰 好平行于地面，BM=3米，∠B0M=18.17°.（参考数据： sin18.17≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0 结果精确到1米) B 36M 水平线 水平线。18.17 图1 图2 (1)求直吊臂0B的长； (2)如图2，直吊臂0B与BM的长度保持不变，OB绕点0逆时针旋转，当∠0BM=36°时， 货物M上升了多少米？ 2.如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线于点B,D, AB=19分米，CD>AB.在点A,C之间的晾衣绳上有固定挂钩E,AE=13分米，一件 连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥I. E(M) E(M) G- B D I B D 777777777777777T7/777777 图1 图2 (1)如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线1时，点E到直线AB的距离EG等于 12分米，求该连衣裙MN的长度； (②)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E 的右侧)，若∠BAE=76,1·,求此时该连衣裙下端N点到地面水平线1的距离约为多少分 米？（结果保留整数，参考数据：sin76,1°≈0.97，c0s76.1°心0.24， tan76.1°≈4.04) 3.图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架AH、DM、MN、 HL、NE、LF组成，其中A、B两点是墙面固定点，点D可以在线段BC上自由移动，活 动角LAGD随着D点的移动而变化，晾衣架也随着整体前后移动.图2中AG、DG、EF和 中间两个全等的菱形边长都相等（宽度忽略不计）. B 图1 图2 (1)若∠AGD=120°，AG=18cm.求此时最远端点E到墙壁的距离： (2)若点D从C移动到B,活动角∠AGD变化范围为40°~144°，最远端点E到墙壁的最大距 离可达112.8cm.求AB的长（结果保留整数）.（参考数据：sinl8°≈0.31，cosl8°≈0.95， sin70°≈0.94，c0s70°≈0.34). 题型五：物理实验问题 1.如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的摄 像头组成.如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图.己知支撑臂 AB⊥1，AB=18cm,CD=44cm,固定∠ABC=148°，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角 来提高拍摄效果，悬臂端点C到桌面1的距离约为52cm· D 图1 图2 (1)BC的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面1的距离为30Cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的 夹角LBCD的度数约为多少？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 2.实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为 试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右 侧示意图，已知试管AB=24cm,BE=吉AB,试管倾斜角∠ABG为12°. 高锰酸钾 蓬松的棉花团 B D (1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN,延长BM交CN的延长线于点F,且MNL CF于点N (点C,D,N,F在一条直线上)，经测得：DE=28cm,MN=8cm,∠ABM=147°，求 线段DN的长度.（结果用含非特殊角的三角函数表示） 3.综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习. 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入 射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A: 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线NN为法线，AO为 入射光线，OD为折射光线.) 【测量数据】 如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N在同一平面内，测得AC=20cm,∠A=45o,折 射角∠D0N=32°. N 459 空气 D B 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求BC的长： (2)求B,D之间的距离（结果精确到0.1cm). (参考数据：sin32°≈0.52，c0s32°≈0.84，tan32°≈0.62) 4.天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题.某天文研究小组探究用三角函数 知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得 出月球与地球之间的近似距离.具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？