第17章 因数分解 单元训练2025-2026学年人教版数学八年级上册

第17章 因数分解 单元训练2025-2026学年人教版数学八年级上册 一、单选题 1．下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　） A．xy2（x-1）=x2y2-xy2 B．2a2+4a=2a（a+2） C．（a+3）（a-3）=a2-9 D．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1 2．把代数式2x2﹣8分解因式，结果正确的是（　　） A．2（x2﹣4） B．2（x﹣2）2 C．2（x+4）（x﹣4） D．2（x+2）（x﹣2） 3．若则k+a的值可以为 （　　） A．-25 B．-15 C．15 D．20 4．若△ABC三边分别是a、b、c，且满足（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 5．下列各式中：① ，② ， ③ ，④ 中，分解因式正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　） A．1 B．4 C．11 D．12 7．若实数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．3 8．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ） A．-3 B．3 C．-1 D．1 9．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．因式分解：x4﹣16x2=　 　． 11．已知，，则多项式的值为　 　． 12． 已知a、b是的两边，且满足，则的形状是　 　． 13．一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：对称数时，，则．已知s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a，b，t的千位数字与百位数字分别为x，y，其中，，，a，b，x，y均为整数．若能被8整除，则　 　；同时，若、还满足，则所有可能值的和为　 　． 三、解答题 14．简便运算： （1）； （2）. 15．分解因式： （1）； （2）． 16．如图，在一个边长为a米的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为米的正方形． （1）剩余部分的面积为 　 　；（用含a，b的式子表示） （2）利用因式分解计算，当a＝3，b＝0.5时，剩余部分的面积． 17．观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③． （1）模仿以上做法，尝试对进行因式分解：______； （2）观察以上结果，猜想______；（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求的值． 18．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a2+6a+8， 解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1 =(a+3)2－12= ②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值． 解： ∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：． （2）若，求M的最小值． （3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值． 19．如图， 将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块， 其中有 2 块是边长为 的大正方形， 2 块是边长都为 的小正方形， 5 块是长为 ， 宽为 的相同的小长方形， 且 ． （1） 观察图形， 可以发现代数式 可以因式分解为　 　 （2） 若图中阴影部分的面积为 ， 大长方形纸板的周长为 ． ①求 的值； ②求图中空白部分的面积． 20． 如图所示， 将一张长方形纸板按图中的虚线裁剪成 16 块， 其中①、②、③都剪成边长为 的大正方形，④、⑤、⑥都剪成边长为 的小正方形， 剩下的都剪成长、宽分别为 的小长方形． （1） 先观察图形，再分解因式： （2） 若每块小长方形的面积为 ， 六块正方形的面积之和为 ， 试求图中所有裁剪线 (虚线部分)长度之和． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误，不符合题意； B、符合因式分解的意义，是因式分解，故本选项正确，符合题意； C、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误，不符合题意； D、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误，不符合题意． 故答案为：B． 【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。 2．【答案】D 【解析】【解答】2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）， 故答案为：D． 【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵(2x+a)2=4x2+4ax+a2，4x2+kx+25=(2x+a)2， ∴k=4a，a2=25， ∴a=±5， 当a=5时，k=20， 当a=-5时，k=-20， ∴k+a=25或-25. 故答案为：A. 【分析】先利用完全平方公式将等式的右边展开，然后根据等式的性质可得k=4a，a2=25，求解得出k、a的值，再求和即可判断得出答案. 4．【答案】D 【解析】解：∵（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3， ∴（b﹣c）（a2+b2）﹣c2（b﹣c）=0， ∴（b﹣c）（a2+b2﹣c2）=0， ∴b﹣c=0，a2+b2﹣c2=0， ∴b=c或a2+b2=c2， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 【分析】首先把（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，变为（b﹣c）（a2+b2）﹣c2（b﹣c）=0，进一步得出（b﹣c）（a2+b2﹣c2）=0，进一步分析探讨得出答案即可． 5．【答案】B 【解析】【解答】解：① ，无法分解因式，故此选项不符合题意； ② ，符合题意； ③ ，故此选项不符合题意； ④ ，故此选项符合题意； 所以，正确的答案有2个， 故答案为：B． 【分析】利用提公因式法，因式分解法，进行计算求解即可。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12 ∴p+q=m，pq=-12. ∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12 ∴m=-11或11或4或-4或1或-1. ∴m的最大值为11. 故答案为：C. 【分析】先将（x+p）（x+q） 展开，让两边对应的部分相等，得到p+q=m，pq=-12，接着分情况讨论，得到m=-11或11或4或-4或1或-1，得到m的最大值为11. 7．【答案】A 8．【答案】D 【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值． 【解答】∵a3+a2-a+2=0， （a3+1)+（a2-a+1)=0， （a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0， （a+1+1)（a2-a+1)=0 （a+2)（a2-a+1)=0 ∴a+2=0或a2-a+1=0 ①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1． ②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解． 故选D． 【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值． 9．【答案】D 【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0， 则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意； B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0， 则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意； C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0， 则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意； D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意． 故答案为：D． 【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。 10．【答案】x2（x+4）（x﹣4） 【解析】【解答】解：原式=x2（x2﹣16） =x2（x+4）（x﹣4）． 故答案为：x2（x+4）（x﹣4）． 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 11．【答案】88 12．【答案】等腰三角形 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【分析】先根据题意因式分解得到，进而结合题意即可得到，即，再根据等腰三角形的判定即可求解。 13．【答案】8；55 14．【答案】（1） （2）10000 15．【答案】（1） （2） 16．【答案】（1）（a2-4b2）平方米 （2）解：当a＝3，b＝0.5时， 剩余部分的面积为a2-4b2＝（a+2b）（a-2b）＝（3+2×0.5）×（3-2×0.5）＝4×2＝8（平方米）， 答：剩余部分的面积为8平方米． 【解析】【解答】解：（1） 剩余部分的面积等于原正方形的面积减去四个小正方形的面积， 即剩余部分的面积=（a2-4b2）平方米 。 故答案为： （a2-4b2）平方米 。 【分析】（1）根据 剩余部分的面积等于原正方形的面积减去四个小正方形的面积计算； （2）根据平方差公式把a2-4b2分解因式，再把a、b的值代入计算。 17．【答案】（1） （2） （3）1023 18．【答案】（1）；（2）；（3）4． 19．【答案】（1） （2）解：①∵大长方形周长， ∴a+b=42÷6=7； ②∵，即，且a+b=7， ∴， ∴空白部分面积=5ab=5×10=50cm2. 【解析】【解答】解：（1） 观察图形， 代数式 实际为大长方形的面积，其边长分别为2a+b以及a+2b，因此结合长方形的面积公式可得 =. 故填：. 【分析】（1）结合图形可知实际为大长方形的面积，然后再结合大长方形的面积公式建立等式即可； （2）空白部分面积易知5ab，则解题关键在于求出a、b，而由条件可知的值以及a+b的值，则结合完全平方公式即可计算出ab值. 20．【答案】（1）解：观察图形， 大长方形的边长分別为a+3b和3a+b而各部分面积之和为 （2）解： 小长方形的面积为 ， 六个正方形的面积之和为 ， ． ， ， 图中虚线长度的和为 图中所有域前线 (虚线部分) 长之和为 84 ． 【解析】【分析】（1）原式由三个整式3a2、10ab、3b2相加而成， 观察图形可知，3a2为大正方形 ①、②、③的面积和，3b2为小正方形 ④、⑤、⑥的面积和，而10ab为长、宽分别为a，b的所有长方形的面积和，三者相加就是整个长方形纸板的面积和从而即可得到因式分解； （2）首先，不难得出图中所有虚线长度的表达式为12a+12b，即解题的重点在于计算出a+b的值；然后，结合（1）的解答过程，利用条件 “ 小长方形的面积为 ”可计算出ab值，利用条件“ 六块正方形的面积之和为 ”可计算出的值，此时应联想到运用完全平方公式计算出a+b的值（注意由于a、b均表示实际边长，故a+b＞0）后，代入到12a+12b计算即可. 学科网（北京）股份有限公司 $