第2章 二次函数 单元检测卷-2025-2026学年北师大版九年级下册数学

第2章二次函数  能力过关检测卷 一、选择题：本大题共10小题，共30分。 1.二次函数的图象如图所示，则a的值可以是    A. 2 B. 1 C. 0 D. 2.二次函数的最小值是    A. B. 1 C. 2 D. 3 3.下列函数的图象与二次函数的图象形状相同的是    A. B. C. D. 4.二次函数和一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是    A. B. C. D. 5.将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标为    A. B. C. D. 6.如图，抛物线状沙丘是沙漠中常见的风积地貌，以沙丘顶端为原点建立平面直角坐标系，沙丘中两点M，N的坐标分别为，，则m的值为    A. 30 B. 36 C. 48 D. 56 7.已知抛物线，下列说法不正确的是    A. 该抛物线开口向上 B. 该抛物线经过第一、二、三象限 C. 该抛物线的对称轴是y轴 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 8.若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则二次函数的图象可能是    A. B. C. D. 9.二次函数中自变量x与函数值y之间的对应关系如下表所示，设关于x的一元二次方程的根为，，且，则，的取值范围正确的是    x … 0 … y … … A. B. C. D. 10.如图，二次函数的图象与x轴交于点和，且则下列说法：①；②；③；④；⑤其中正确的是    A. ①②④ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ②③⑤ 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 11.已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而增大，则实数a的取值范围是          . 12.写出一个经过原点、开口向上且对称轴是直线的抛物线的表达式：          . 13.若点，都在抛物线上，则          填“>”“<”或“=” 14.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B，D的坐标分别是，，顶点C在抛物线上，则b的值是          . 15.如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度单位：与距离停车棚支柱AO的水平距离单位：近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车          完全停到车棚内填“能”或“不能” 三、解答题：本大题共6小题，共75分。 16.如图是抛物线 当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？ 求抛物线与y轴的交点坐标． 17.已知抛物线的对称轴是直线 求证：； 若抛物线经过点，求该抛物线与x轴的交点坐标． 18.千载竹艺，万缕竹篾．一件件竹编作品满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．如图①，小明在爷爷的指导下用细竹篾编了一个保护饭菜的罩子，其直径为80cm，高度为经观察发现，菜罩的横截面可以近似看成一个抛物线，于是小明利用所学知识以菜罩的左边缘为原点建立了如图②所示的平面直角坐标系． 请你帮小明求出抛物线的表达式． 如果菜罩要紧贴桌面，将盘子放成一排，菜罩内能放下三个直径为24cm，高度为3cm的盘子吗？请说明理由． 19.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点，顶点为，连接BC，交抛物线的对称轴于点 求抛物线的表达式． 若P是抛物线上的一个动点，且位于直线BC的上方，过点P作y轴的平行线交BC于点设点P的横坐标为m，当四边形DEFP是平行四边形时，求m的值． 20.5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园：第x天的单价、销售量与x的关系如下表：   单价元/盒 销售量盒 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天   第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园：第x天的利润元与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示： 樱桃园第x天的单价是          元/盒用含x的代数式表示 求A樱桃园第x天的利润元与x的函数关系式．利润=单价销售量-固定成本 ①与x的函数关系式是____________；②求第几天两处樱桃园的利润之和即最大，最大是多少元？ 这15天中，共有          天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 21.如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，同时抛物线经过点A， 求抛物线的表达式； 是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线AB的最大距离； 如图②，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折得到“心形图”包含A，B两点，若直线l：与该图形有交点，求m的取值范围． 答案和解析 1.【答案】D  2.【答案】D  【解析】，当时，y取最小值，为故选 3.【答案】B  4.【答案】C  5.【答案】A  6.【答案】B  7.【答案】B  8.【答案】B  9.【答案】D  10.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据函数图象可得到，，，，，等信息，对这些信息进行推理，由此判断出①②③④⑤的正误，再找出正确选项即可. 【解答】 解：①由题意可知，，，化简得，， ，， ， 故①错误； ②当时，，即，故②正确； ③二次函数与x轴交于两点， ，即， 故③正确； ④当时，， ， 当时，， ，即， ，即， ， ， ， 故④错误； ⑤二次函数过点， ， ， ， ， ， ， ，即， 故⑤正确. 综上所述，②③⑤正确. 故选 11.【答案】  12.【答案】 答案不唯一  13.【答案】<  14.【答案】  15.【答案】能  16.【答案】【小题1】 解：由图象可知，当时，y的值随x值的增大而增大． 【小题2】 抛物线的表达式为， 设抛物线的顶点式为 由图象可知，抛物线的顶点坐标为 抛物线的表达式为， 即令，得 抛物线与y轴的交点坐标是   17.【答案】【小题1】 证明：抛物线的对称轴是直线， 【小题2】 解：抛物线经过点， ，即由，得 联立，得解得 该抛物线的表达式为 令，得解得， 该抛物线与x轴的交点坐标为，   18.【答案】【小题1】 解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，且经过点 设该抛物线的表达式为 将代入，得解得 抛物线的表达式为 【小题2】 能放下．理由如下： 三个盘子放成一排，宽度为 当时，， 菜罩内能放下三个这样的盘子．   19.【答案】【小题1】 解：抛物线的顶点为，可设抛物线的表达式为 将代入，得解得 抛物线的表达式为 【小题2】 令，得解得，， 设直线BC的函数表达式为 把，代入，得解得 直线BC的函数表达式为 当时，， 由题意，得 ，当四边形DEFP是平行四边形时，，即 解得不合题意，舍去，   20.【答案】【小题1】 【小题2】 解：由题意得， 【小题3】 解：①把代入中得：， 解得， ； ②，， ， ，且为正整数， 当时，有最大值，最大值为4800， 第10天两处樱桃园的利润之和即最大，最大是4800元； 【小题4】 4   【解析】  本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用： 设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可； 【详解】解：第x天的单价与x满足的一次函数关系式为， 把代入中得， ， 第x天的单价与x满足的一次函数关系式为， 樱桃园第x天的单价是元/盒， 故答案为：；   根据所求结合利润=单价销售量-固定成本进行求解即可；   ①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可；   根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案． 解：当时，则， ， ， ， 的正整数解有4个， 这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 21.【答案】【小题1】 解：一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点， 令，得解得令，得 ，将，代入， 得解得 抛物线的表达式为 【小题2】 由，可设 如图，过点P作于点M，过点P作轴交AB于点 ，， ， ，当时，PM有最大值 点P到直线AB的最大距离为 【小题3】 如图，当直线l与“心形图”只有一个交点时，分别记直线l为， 令，即 当直线l与抛物线只有一个交点时， 解得 当时，直线l与“心形图”右上方只有一个交点． 此时方程为解得 将代入，得交点坐标为 由题意，得“心形图”关于直线AB对称，直线，关于直线AB对称． 交点也关于直线AB对称． 又交点关于的对称点坐标为， 将代入，得解得 当时，直线l与“心形图”左下方只有一个交点． 综上，当时，直线l与“心形图”有交点．   总体分布分析 题型 题量 选择题 10题 填空题 5题 解答题 6题 难度分析 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 二次函数的图象 1 2 二次函数的性质 1, 3, 7, 13, 16, 17 3 二次函数的最值 2, 21 4 二次函数与不等式（组） 4 5 二次函数图象与几何变换 5, 21 6 二次函数图象上点的坐标特征 6, 10, 14, 16, 17, 19, 21 7 待定系数法求二次函数解析式 6, 12, 16, 18, 19, 20, 21 8 一次函数图象与系数的关系 8 9 二次函数图象与系数的关系 8, 10 10 估算一元二次方程的近似解 9 11 二次函数与一元二次方程 9, 10, 17, 21 12 一次函数的性质 11 13 正方形的性质 14 14 全等三角形的判定与性质 14 15 二次函数的应用 15, 18, 20 16 待定系数法求一次函数解析式 19 17 平行四边形的性质 19 18 一次函数图象上点的坐标特征 19, 21 19 一次函数的应用 20 20 根据实际问题列二次函数关系式 20 21 轴对称中的坐标变化 21 22 一次函数与坐标轴的交点 21 23 等腰直角三角形 21 细目表分析 题号 题型 知识点 1 选择题 二次函数的图象, 二次函数的性质 2 选择题 二次函数的最值 3 选择题 二次函数的性质 4 选择题 二次函数与不等式（组） 5 选择题 二次函数图象与几何变换 6 选择题 待定系数法求二次函数解析式, 二次函数图象上点的坐标特征 7 选择题 二次函数的性质 8 选择题 一次函数图象与系数的关系, 二次函数图象与系数的关系 9 选择题 估算一元二次方程的近似解, 二次函数与一元二次方程 10 选择题 二次函数与一元二次方程, 二次函数图象与系数的关系, 二次函数图象上点的坐标特征 11 填空题 一次函数的性质 12 填空题 待定系数法求二次函数解析式 13 填空题 二次函数的性质 14 填空题 二次函数图象上点的坐标特征, 全等三角形的判定与性质, 正方形的性质 15 填空题 二次函数的应用 16 解答题 二次函数的性质, 待定系数法求二次函数解析式, 二次函数图象上点的坐标特征 17 解答题 二次函数的性质, 二次函数与一元二次方程, 二次函数图象上点的坐标特征 18 解答题 待定系数法求二次函数解析式, 二次函数的应用 19 解答题 待定系数法求一次函数解析式, 一次函数图象上点的坐标特征, 待定系数法求二次函数解析式, 二次函数图象上点的坐标特征, 平行四边形的性质 20 解答题 一次函数的应用, 待定系数法求二次函数解析式, 二次函数的应用, 根据实际问题列二次函数关系式 21 解答题 一次函数图象上点的坐标特征, 一次函数与坐标轴的交点, 二次函数的最值, 待定系数法求二次函数解析式, 二次函数与一元二次方程, 二次函数图象上点的坐标特征, 二次函数图象与几何变换, 等腰直角三角形, 轴对称中的坐标变化 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $