期末专题02 有理数的运算 讲义 2025-2026学年人教版 七年级数学上册

该初中数学复习讲义围绕有理数运算构建知识体系，按加减法、乘除法、乘方等十种题型分模块梳理法则与运算律，通过例题解析与分层练习呈现知识脉络，突出混合运算顺序、符号处理等重难点及运算间的内在联系。 讲义亮点在于练习设计结合实际情境，如科学记数法以“260万千瓦光伏装机容量”为素材，进制化简融入计算机二进制转化，培养运算能力与应用意识。题型分类细致含十五类题，例题步骤清晰，提升检测覆盖不同层次，参考答案助力自主复习，教师可精准实施分层教学。

期末专题02 有理数的运算（十种题型-十五类题） 目录 题型一 有理数加减法 2 题型二 有理数加减混合运算 5 题型三 有理数乘法 7 题型四 有理数除法 11 题型五 有理数的乘方 13 题型六 有理数混合运算 13 题型七科学记数法 18 题型八 近似数 19 题型九 进制化简 20 题型十 有理数的化简求值 22 提升检测.................................................................................................25 参考答案.................................................................................................29 题型一 有理数加减法 有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 例题1．计算： （1）； （2）． 练习1 1．计算： （1）5+（﹣4）+（﹣3）+6； （2）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7． 2．计算：． 3．计算： （1）（﹣26）+（﹣73）； （2）（﹣1）+（）； （3）﹣34.8； （4）（﹣8）+6． 4．（﹣1.8）+（+0.7）+（﹣0.9）+1.3+（﹣0.2）． 5．计算：16+（﹣25）+24+（﹣35）． 有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 例题2．计算：（﹣8）﹣（+2）﹣（﹣10）． 练习2 1．计算：﹣8﹣1﹣（﹣5）． 2．计算：﹣20﹣（﹣18）． 3．计算：． 4．计算． 5．计算： （1）12﹣（+18）﹣（﹣4） （2） 题型二 有理数加减混合运算 有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 例题1．计算： （1）（﹣6）﹣（﹣4）+（﹣3）﹣（+2）； （2）﹣3.5+2.8+1.2﹣0.5﹣2.8． 练习1 1．计算： （1）； （2）． 2．计算： （1）22﹣（﹣12）+（﹣10）﹣14． （2）． 3．计算：． 4．计算：（﹣9）﹣（﹣5）+（﹣11）+（+4）． 5．计算：． 题型三 有理数乘法 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 例题1．计算：（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）． 练习1 1．简便计算：． 2．计算：2.5×（）×（﹣3.6）×（）． 3．计算： （1）（+8）×（﹣4）； （2）（﹣0.8）； （3）0×（﹣2017）； （4）（﹣3.5）×（+2）． 4．计算： （1）（）×（﹣1）； （2）（﹣0.7）×（）； （3）（﹣3）×（﹣2）； （4）（﹣3.6）×（）． 5．计算： （1）﹣0.75×（﹣0.4 ）×1； （2）0.6×（）×（）×（﹣2）． 例题2．简便计算：． 练习2 1．用简便方法计算：． 2．简便计算：． 3．用简便方法计算：． 4．学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对． 小瑞很快给出了他的解法：原式． 小晨经过思考后也给出了他的解法： 原式 ＝39×（﹣5）+　 　 （ 　 　 ） ＝﹣195+　 　 ＝　 　 ． （1）请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理？ （2）你还有不同于小瑞、小晨的解法吗？ （3）用你认为最合适的方法计算：． 5．学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：19（﹣9），下面是两位同学的解法： 小方：原式9179； 小杨：原式＝（19）×（﹣9）＝﹣19×99＝﹣179． （1）两位同学的解法中，谁的解法较好？ （2）请你写出另一种更好的解法． 例题3．计算：． 练习3 1．计算：． 2． 3．（1）×（﹣48） 4．． 5．（）×（﹣24）． 题型四 有理数除法 有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 例题1．． 练习1 1．计算下列各题： （1）（﹣1）×（）÷（﹣2）； （2）﹣1÷（）（﹣5）． 2．计算：． 3．计算：（）×（﹣6）． 4．计算：（）×（﹣1）÷（）． 5．计算：． 题型五 有理数的乘方 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 例题1．计算：． 练习1 1．计算：（1）﹣24÷（﹣8）×（﹣2）2； （2）（﹣2）2（）2÷（）3； （3）（﹣33）×（﹣1）÷（﹣42）； （4）16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|． 2．计算：． 3．计算：． 4．计算：． 5．阅读理解题：我们知道，任意正整数根据乘方的意义：a2＝a•a，a3＝a•a•a． （1）计算：22×32＝　36　 ，（2×3）2＝　36　 ； （2）计算：（﹣2）3×（﹣1）3＝　8　 ，[（﹣2）×（﹣1）]3＝　8　 ； （3）由（1）（2）我们可以得到的结论是什么？请用an，bn，（a×b）n表示； （4）利用（3）的结论求等式中m的值． 题型六 有理数的混合运算 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 例题1．计算． （1）﹣12﹣3×7÷3×7； （2）． 练习1 1．计算： （1）（﹣3）2﹣6+2； （2）； （3）（﹣6）×|﹣2|﹣[﹣9+（﹣2）4+23]； （4）． 2．下列计算中，正确的个数是（　　） ①﹣（﹣2）2＝4；②；③；④﹣33＝﹣9；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 4．计算： （1）； （2）． 5．计算： （1）； （2）． 题型七 科学计数法 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 例题1．作为宁夏光伏产业重点区域，石嘴山市2025年计划新增260万千瓦光伏装机容量，推动我市“光伏+储能”示范项目建设．260万用科学记数法表示为（　　） A．2.6×10﹣6 B．0.26×107 C．26×105 D．2.6×106 练习1 1．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．据了解，长征二号F遥二十一运载火箭发射时，携带的推进剂总量约450000千克，将数据450000用科学记数法表示为（　　） A．4.5×104 B．4.5×105 C．0.45×105 D．4.5×106 2．重庆市继续加强农村危房改造，将各地摸底的5643户农村困难群众危房全部纳入2025年改造计划，已下达中央和省级补助资金88730000元，其中88730000用科学记数法表示为（　　） A．88.73×106 B．8.873×107 C．0.8873×108 D．8.873×108 3．第七届中国国际进口博览会于11月5日在国家会展中心（上海）开幕．自首届以来，进博会持续打造全球新品首发地、前沿技术首选地、创新服务首推地，前六届进博会已展出近2500项代表性首发新产品、新技术、新服务，累计意向成交额超过4200亿美元．4200亿用科学记数法表示为（　　） A．0.42×1011 B．4.2×1011 C．4.2×1010 D．0.42×1010 4．2025年世界环境日主题为“塑料污染治理”．据联合国环境规划署资料，全球每年约产生40亿吨塑料垃圾，其中可回收利用的约占10%．则不可回收的塑料垃圾约为（用科学记数法表示）（　　） A．3.6×109吨 B．36×108吨 C．4.0×109吨 D．3.6×108吨 5．杭州某AI实验室训练模型时，单日处理数据量约为1200亿条，“1200亿”这个数据用科学记数法表示为（　　） A．1.2×1012 B．0.12×1012 C．1.2×1011 D．12×1010 题型八 近似数 近似数 （1）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （2）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 例题1．用四舍五入法，把5.2146精确到千分位是（　　） A．5.215 B．5.214 C．5.21 D．5.2 练习1 1．近似数2.450万精确到　 　 位． 2．下列说法正确的是（　　） A．504.35是精确到百分位 B．1.609万精确到万位 C．3600是精确到百位 D．近似数5.300和5.30的精确度一样 3．数x四舍五入后的近似值为2.0，则x的取值范围是（　　） A．1.95≤x＜2.05 B．2.04≤x＜2.05 C．2.044≤x≤2.049 D．1.9≤x≤2.1 4．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.1（精确到0.1） B．0.050（精确到0.001） C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到千分位） 5．26500精确到千位是　 　 ． 例题2．“近似数3.10万”精确到　 　 位． 练习2 1．近似数3.5万精确到（　　） A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位 2．近似值9.65万精确到　 　 位． 3．近似数6.15万精确到 　 　 位． 4．由四舍五入法得到的近似数1.3万，精确到　 　 位． 5．近似数8.240×105精确到 　 　 位． 题型九 进制化简 例题1．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．将二进制数10112化为三进制数为（　　） A．1013 B．1023 C．1103 D．123 练习1 1．计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如（1101）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20＝13，那么将二进制（10111）2转换成十进制形式是（　　） A．23 B．15 C．18 D．31 2．在日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10，那么二进制中的110101表示十进制中的 　 　 ． 3．区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1～12，另一只手用五根手指表示1～5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是 12+8＝20．若当其左手伸出两根手指，右手大拇指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是（　　） A．7 B．25 C．21 D．29 4．腾讯公司将QQ等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的QQ等级标识图为两个皇冠，则其QQ等级为 （　　） A．26 B．27 C．28 D．29 5．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个2n数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制1025是二进制下的（　　） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 题型十 有理数的化简求值 例题1．若x，y，z是有理数，|x|＝4，|y|＝8，z的倒数是2，且xy＜0，求x﹣y﹣（﹣z）的值． 练习1 1．若|a|＝2，b的倒数为，且ab＜0，求a﹣b的值． 2．|a|＝4，|b|＝3，ab＜0，求a+b的值． 3．已知|a|＝5，|b|＝2，且0，求a+b的值． 4．若|a|＝8，|b|＝5，且|a﹣b|＝a﹣b，求ab的值． 5．已知|a|＝5，|b|＝3． （1）若a﹣b＞0，求a﹣b的值． （2）若ab＜0，求a+b的值； 例题2．若a，b为实数，且|a+1|+（b﹣1）2＝0，求（ab）2025的值． 练习2 1．已知（m﹣2）2与|n﹣4|互为相反数． （1）求m，n的值； （2）若p是最小正整数，求（﹣m﹣n﹣p）n﹣mp的值． 2．已知|a+2|+（b+1）2＝0． （1）求a，b的值． （2）求的值． 3．已知|a+2|与（b﹣3）2互为相反数，求ab﹣a+b的值． 4．若（a﹣2）2+|b+3|＝0，求（a+b）2009的值． 5．已知（a﹣3）2+|b+1|＝0． 求：﹣3（ab﹣2a2）﹣[6a2﹣（3ab+2b2）+3ab]的值． 提升检测 1．已知a的倒数是﹣2025，则a的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．计算5+（﹣12）的结果等于（　　） A．17 B．﹣17 C．7 D．﹣7 3．若|a|＝4，b＝﹣2，则a﹣b的值为（　　） A．2或6 B．﹣2或6 C．4或﹣6 D．﹣4或﹣6 4．把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（　　） A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5 5．有理数a，b在数轴上的对应点分别为点A，B，如图所示．则下列式子正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．a﹣b＞0 C．a+b＞0 D．ab＞0 6．某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”，得到的结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 7．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法中：①log61＝0；②若log2（14+a）＝4，则a＝﹣6；③log827＝log23；④．正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．代数式（a﹣2）2+5取最小值时，a值为（　　） A．a＝0 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．无法确定 9．下列计算正确的是（　　） A．0+（﹣5）＝5 B．﹣10﹣（﹣7）＝﹣17 C． D．21 10．苍南因地处玉苍山之南，故取县名为苍南．其总面积为1079.34平方公里，数1079.34精确到个位，则近似值为（　　） A．1080 B．1079.3 C．1079 D．1070 11．的倒数为 　 　 ，相反数为 　 　 ，绝对值是 　 　 ． 12．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 　 　 ． 13．比﹣3小1的数是　 　 ． 14．观察下面的等式： ①； ②3﹣1＝﹣|﹣1+2|+3； ③1﹣1＝﹣|1+2|+3； ④； ⑤（﹣2）﹣1＝﹣|4+2|+3； … 若满足上面特征的等式最左边的数为3.32，写出此时的等式 　 　 ． 15．对于有理数x，y，若xy＜0，则的值是 　 　 ． 16．计算：． 17．计算． （1）（﹣4）×7×（﹣1）×（﹣0.25）； （2）． 18．阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理|x﹣4|也可理解为x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： （1）若|x﹣2|＝5，则x的值是 　 　 ． （2）同理|x﹣5|+|x+3|＝8表示数轴上有理数x所对应的点到5和﹣3所对应的两点距离之和为8，则所有符合条件的整数x的和 　 　 ． （3）由以上探索猜想，若点P表示的数为x，当点P在数轴上什么位置时，|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值？如果有，直接写出最小值． 19．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”．例如对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1，，所以1，﹣2，3的“分差”为． （1）﹣1，﹣4，1的“分差”为 　 　 ； （2）调整“﹣1，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值． 20．蔬菜商店以每筐48元的价格从农场购进8筐白菜，若以每筐白菜净重25千克为标准，超过千克数记为正数，不足千克数记为负数，稳重后记录如下：+1.5，﹣3，+2，﹣2.5，﹣3，+1，﹣2，﹣2． （1）这8筐白菜一共重多少千克？ （2）若把这些白菜全部以零售的形式卖掉，商店计划共获利40%，那么蔬菜商店在销售过程中白菜的单价应定为每千克多少元？ （3）如果平均每天的白菜销售量相同，商店以（2）中的单价售完所有白菜的一半时恰好用了3天时间，现决定降价促销把剩余的白菜按原价的八折销售完，这样平均每天可比原来多售出16千克，请通过计算说明商店在整个白菜销售过程中共需要几天？并计算商店共盈利或亏损多少元？ 参考答案 例题1．计算： （1）； （2）． 【考点】有理数的加法．版权所有 【分析】（1）利用有理数的加法法则进行计算，即可解答； （2）利用有理数的加法法则进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的加法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 练习1 1．计算： （1）5+（﹣4）+（﹣3）+6； （2）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7． 【考点】有理数的加法．版权所有 【分析】（1）先把算式写成省略加号和的形式，再加减； （2）先把算式写成省略加号和的形式，再加减． 【解答】解：（1）原式＝5﹣4﹣3+6 ＝（5+6）﹣（4+3） ＝11﹣7 ＝4； （2）原式＝﹣2.4﹣3.7﹣4.6+5.7 ＝（5.7﹣3.7）﹣（2.4+4.6） ＝2﹣7 ＝﹣5． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握加法法则是解决本题的关键． 2．计算：． 【考点】有理数的加法．版权所有 【分析】先把加法写成省略加号、括号和的形式，再利用加法的交换律、结合律求解． 【解答】解：原式＝﹣31 ＝（﹣3）+（1） ＝﹣4+2 ＝﹣2． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握加法的运算法则、运算律是解决本题的关键． 3．计算： （1）（﹣26）+（﹣73）； （2）（﹣1）+（）； （3）﹣34.8； （4）（﹣8）+6． 【考点】有理数的加法．版权所有 【分析】（1）利用有理数的加法法则计算即可； （2）先通分再相加； （3）先都化为小数（或分数），再相加； （4）先通分再相加． 【解答】解：（1）（﹣26）+（﹣73）＝﹣99； （2）（﹣1）+（） ＝（）+（） ； （3）﹣34.8 ＝﹣3.5+4.8 ＝1.3； （4）（﹣8）+6 ＝（﹣8）+6 ＝﹣2． 【点评】本题考查了有理数的加法，做题关键是掌握有理数的加法法则． 4．（﹣1.8）+（+0.7）+（﹣0.9）+1.3+（﹣0.2）． 【考点】有理数的加法．版权所有 【分析】利用有理数的加法法则及加法的运算律进行计算即可． 【解答】解：原式＝[﹣1.8+（﹣0.2）]+（0.7+1.3）+（﹣0.9） ＝﹣2+2+（﹣0.9） ＝﹣0.9． 【点评】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．计算：16+（﹣25）+24+（﹣35）． 【考点】有理数的加法．版权所有 【分析】把括号去掉，用加法的交换律和结合律计算． 【解答】解：16+（﹣25）+24+（﹣35）， ＝16﹣25+24﹣35 ＝（16+24）+（﹣25﹣35） ＝40+（﹣60） ＝﹣20． 【点评】本题考查了有理数加法，掌握有理数加法法则，加法的交换律和结合律的熟练应用是解题关键． 例题2．计算：（﹣8）﹣（+2）﹣（﹣10）． 【考点】有理数的减法．版权所有 【分析】根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【解答】解：原式＝﹣8﹣2+10 ＝﹣10+10 ＝0． 【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法的运算法则是关键． 练习2 1．计算：﹣8﹣1﹣（﹣5）． 【考点】有理数的减法．版权所有 【分析】先根据有理数的减法法则把减法化成加法，然后进行简便计算即可． 【解答】解：原式＝﹣8﹣1+5 ＝﹣9+5 ＝﹣4． 【点评】本题主要考查了有理数的减法运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则． 2．计算：﹣20﹣（﹣18）． 【考点】有理数的减法．版权所有 【分析】利用有理数的减法法则计算即可． 【解答】解：原式＝﹣20+18 ＝﹣（20﹣18） ＝﹣2． 【点评】本题考查有理数的减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．计算：． 【考点】有理数的减法．版权所有 【分析】根据有理数的加减运算法则求解即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法的运算法则是关键． 4．计算． 【考点】有理数的减法．版权所有 【分析】利用有理数的加减混合运算计算即可． 【解答】解：原式 ＝1﹣0 ＝1． 【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法运算法则是关键． 5．计算： （1）12﹣（+18）﹣（﹣4） （2） 【考点】有理数的减法．版权所有 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝12﹣18+4， ＝（12+4）﹣18 ＝16﹣18 ＝﹣2； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减运算法则是解答本题的关键． 例题1．计算： （1）（﹣6）﹣（﹣4）+（﹣3）﹣（+2）； （2）﹣3.5+2.8+1.2﹣0.5﹣2.8． 【考点】有理数的加减混合运算．版权所有 【分析】（1）先把减法化为加法，再根据有理数的加法法则计算，即可作答； （2）先把原式整理得（﹣3.5﹣0.5）+（2.8+1.2）﹣2.8，再运算括号内，再根据有理数的加法法则计算，即可作答． 【解答】解：（1）原式＝（﹣6）+（﹣3）+（﹣2）+4 ＝﹣11+4 ＝﹣7； （2）原式＝（﹣3.5﹣0.5）+（2.8+1.2）﹣2.8 ＝﹣4+4﹣2.8 ＝﹣2.8． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 练习1 1．计算： （1）； （2）． 【考点】有理数的加减混合运算．版权所有 【分析】（1）将减法统一成加法，然后利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可； （2）利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝﹣3+5 ＝2． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． 2．计算： （1）22﹣（﹣12）+（﹣10）﹣14． （2）． 【考点】有理数的加减混合运算．版权所有 【分析】（1）去括号，运用加法交换律和加法结合律，再把符号相同的两数先加，再计算即可； （2）运用加法交换律和加法结合律，把分母相同的两数先加，再计算即可． 【解答】解：（1）原式＝22+12﹣10﹣14 ＝34﹣24 ＝10； （2）原式 ＝1+（﹣4） ＝﹣3． 【点评】本题考查的是有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解本题的关键； 3．计算：． 【考点】有理数的加减混合运算．版权所有 【分析】利用有理数的加减法则计算即可． 【解答】解：原式＝﹣18﹣2+（9） ＝﹣20+10 ＝﹣10． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．计算：（﹣9）﹣（﹣5）+（﹣11）+（+4）． 【考点】有理数的加减混合运算．版权所有 【分析】根据有理数的加减法则，把算式写成省略加号括号和的形式，再进行简便计算即可． 【解答】解：原式＝﹣9+5﹣11+4 ＝5+4﹣9﹣11 ＝﹣11． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则和加法运算律． 5．计算：． 【考点】有理数的加减混合运算．版权所有 【分析】先根据有理数的减法法则把减法化成加法，写成省略加号括号和的形式，再进行简便计算即可． 【解答】解：原式 ＝11﹣11 ＝0． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则和运算律． 例题1．计算：（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】直接根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【解答】解：原式＝6×（﹣4）＝﹣24． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法的运算法则是关键． 练习1 1．简便计算：． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】根据有理数乘法运算方法求出结果即可． 【解答】解：原式 ＝﹣2×1 ＝﹣2． 【点评】本题考查有理数乘法运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．计算：2.5×（）×（﹣3.6）×（）． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】把小数写成分数的形式，先确定积的符号，再计算积的绝对值． 【解答】解：原式 ＝4 【点评】本题考查了有理数的乘法．题目难度不大，会运用乘法法则是解决本题的关键． 3．计算： （1）（+8）×（﹣4）； （2）（﹣0.8）； （3）0×（﹣2017）； （4）（﹣3.5）×（+2）． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】按有理数的乘法法则进行运算，先确定积的符号，再计算积的绝对值． 【解答】解：（1）原式＝﹣（8×4） ＝﹣32； （2）原式 ； （3）原式＝0； （4）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘法．掌握有理数的乘法法则是关键． 4．计算： （1）（）×（﹣1）； （2）（﹣0.7）×（）； （3）（﹣3）×（﹣2）； （4）（﹣3.6）×（）． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】先把带分数化成假分数，把小数化为分数，然后根据乘法法则进行运算． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘法．解决本题的关键是掌握有理数的乘法法则，对有理数的乘法运算，先确定积的符号，再计算积的绝对值． 5．计算： （1）﹣0.75×（﹣0.4 ）×1； （2）0.6×（）×（）×（﹣2）． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】（1）直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）原式＝﹣0.75×（﹣0.4 ） ； （2）原式＝0.6×（）×（）×（﹣2） ＝﹣1． 【点评】此题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 例题2．简便计算：． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】逆用乘法分配律进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝99900﹣1 ＝99899． 【点评】本题主要考查了有理数乘法，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 练习2 1．用简便方法计算：． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】变形后利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：原式 ＝﹣1080+2 ＝﹣1078． 【点评】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是关键． 2．简便计算：． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】根据题意将原式变形得到，运用平方差公式计算即可求解． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查乘法公式在有理数的简便计算中的运用，掌握乘法公式是解题的关键． 3．用简便方法计算：． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】先将转化为，再根据乘法分配律进行计算即可求解． 【解答】解：原式 ＝﹣280+4 ＝﹣276． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 4．学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对． 小瑞很快给出了他的解法：原式． 小晨经过思考后也给出了他的解法： 原式 ＝39×（﹣5）+　　 （ 　﹣5　 ） ＝﹣195+　　 ＝　﹣199　 ． （1）请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理？ （2）你还有不同于小瑞、小晨的解法吗？ （3）用你认为最合适的方法计算：． 【考点】有理数的乘法；有理数的加法．版权所有 【分析】（1）通过乘法分配律计算即可； （2）可以根据原式＝（40）×（﹣5）进一步计算即可； （3）根据（30）×（﹣8）进一步计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝39×（﹣5） ＝﹣195+（） ＝﹣199， 故答案为：，﹣5，，﹣199； （2）有，可以这样计算： 原式＝（40）×（﹣5） ＝40×（﹣5）（﹣5） ＝﹣200 ； （3） ＝（30）×（﹣8） ＝30×（﹣8）（﹣8） ＝﹣240 ＝﹣239． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键． 5．学了有理数的运算后，老师给同学们出了一题． 计算：19（﹣9），下面是两位同学的解法： 小方：原式9179； 小杨：原式＝（19）×（﹣9）＝﹣19×99＝﹣179． （1）两位同学的解法中，谁的解法较好？ （2）请你写出另一种更好的解法． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】（1）根据计算，小杨利用了乘法分配律计算更简便； （2）把19写成（20），然后利用乘法分配律进行计算更加简便． 【解答】解：（1）小杨的解法较好； （2）19（﹣9） ＝（20）×（﹣9） ＝20×（﹣9）（﹣9） ＝﹣180 ＝﹣179． 【点评】本题考查了有理数的乘法，主要训练了利用运算定律简便运算，读懂题目信息是解题的关键． 例题3．计算：． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】先把带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【解答】解：原式 ＝43． 【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法的运算法则是关键． 练习3 1．计算：． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】利用乘法分配律进行计算即可得解． 【解答】解：（）×（﹣36）， （﹣36）（﹣36）（﹣36）， ＝﹣3+6﹣27， ＝﹣30+6， ＝﹣24． 【点评】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使运算更加简便，计算时要注意符号的处理． 2． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】首先运用乘法的分配律把算式展开，然后再利用有理数的混合运算法则计算． 【解答】解： ＝（﹣24）×（）+（﹣24）（﹣24）×（） ＝18﹣20+21 ＝39﹣20 ＝19． 【点评】本题主要考查乘法分配律的运用，在计算中，使用运算定律往往使运算更加简便． 3．（1）×（﹣48） 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】运用乘法分配律计算即可． 【解答】解：原式， ＝﹣48+8﹣36， ＝﹣76． 【点评】本题考查了有理数的乘法，属于基础题，注意熟练运用乘法分配律． 4．． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】运用乘法分配律把括号里面的数分别同﹣36相乘，再把所得结果相加即可． 【解答】解：原式（﹣36）（﹣36）（﹣36）， ＝﹣18﹣30+21， ＝﹣27． 故答案为：﹣27． 【点评】本题考查的是有理数的乘法，解答此类题目时不要盲目的先计算括号里面的，再计算括号外面的，要根据式子的特点利用分配律，以简化计算． 5．（）×（﹣24）． 【考点】有理数的乘法．版权所有 【分析】原式利用乘法分配律计算即可得到结果． 【解答】解：原式（﹣24）（﹣24）（﹣24） ＝﹣12+4﹣8 ＝﹣16． 【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 例题1．． 【考点】有理数的除法；有理数的乘法．版权所有 【分析】根据有理数的乘除混合运算法则进行求解即可． 【解答】解：原式 ＝﹣1． 【点评】本题考查了有理数的乘除混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 练习1 1．计算下列各题： （1）（﹣1）×（）÷（﹣2）； （2）﹣1÷（）（﹣5）． 【考点】有理数的除法；有理数的乘法．版权所有 【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则，从左向右依次计算，即可得出答案； （2）解法同（1）． 【解答】解：（1）（﹣1）×（）÷（﹣2） ； （2））﹣1÷（）（﹣5） ． 【点评】本题主要考查了有理数的乘除，熟练掌握有理数的乘除法则进行计算是解决本题的关键． 2．计算：． 【考点】有理数的除法；有理数的乘法．版权所有 【分析】根据有理数除法法则把有理数除法转化为乘法，再按照有理数乘法法则进行计算便可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是乘除混合运算，掌握“同级运算按照从左往右的顺序进行运算”是解本题的关键． 3．计算：（）×（﹣6）． 【考点】有理数的除法；有理数的乘法．版权所有 【分析】原式将除法转化为乘法，再进一步计算即可得到结果． 【解答】解：原式6 ． 【点评】本题主要考查有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 4．计算：（）×（﹣1）÷（）． 【考点】有理数的除法；有理数的乘法．版权所有 【分析】首先确定符号，再把带分数化为假分数、除法化为乘法，最后计算． 【解答】解：原式4 ． 【点评】本题考查了有理数除法、乘法，掌握有理数除法、乘法法则，把带分数化为假分数、除法化为乘法是解题关键． 5．计算：． 【考点】有理数的除法；有理数的乘法．版权所有 【分析】先把小数带分数化为假分数，把除法化为乘法进行计算． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数除法、乘法，掌握有理数除法、乘法法则，小数带分数化为假分数是解题关键． 例题1．计算：． 【考点】有理数的乘方；绝对值；有理数的减法；有理数的乘法；有理数的除法．版权所有 【分析】根据混合运算法则，先算乘方，再算绝对值符号里面的，最后算乘除即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握实数混合运算法则． 练习1 1．计算：（1）﹣24÷（﹣8）×（﹣2）2； （2）（﹣2）2（）2÷（）3； （3）（﹣33）×（﹣1）÷（﹣42）； （4）16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|． 【考点】有理数的乘方；绝对值；有理数的减法；有理数的乘法；有理数的除法．版权所有 【分析】（1）、（2）、（3）、（4）利用有理数的乘方和有理数的四则运算计算即可． 【解答】解：（1）﹣24÷（﹣8）×（﹣2）2 ＝﹣16÷（﹣8）×4 ＝2×4 ＝8； （2）（﹣2）2（）2÷（）3 （﹣8） ＝﹣18； （3）（﹣33）×（﹣1）÷（﹣42） ＝﹣27×（）÷（﹣16） ＝32÷（﹣16） ＝﹣2； （4）16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1| ＝16÷（﹣8）×4 ＝（﹣2）×4 ＝﹣8． 【点评】本题考查了有理数的计算．做题关键是掌握有理数的乘方、有理数的乘除、有理数的加减运算． 2．计算：． 【考点】有理数的乘方；有理数的乘法；有理数的除法．版权所有 【分析】先计算乘方，再计算乘除即可． 【解答】解：原式 ＝﹣27． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的乘方，有理数的除法，掌握相应的运算法则是关键． 3．计算：． 【考点】有理数的乘方；有理数的乘法；有理数的除法．版权所有 【分析】根据有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝﹣1． 【点评】本题考查有理数的乘除法，有理数的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 4．计算：． 【考点】有理数的乘方；有理数的乘法；有理数的除法．版权所有 【分析】先计算乘方，然后运算乘除即可得到答案． 【解答】解：原式 ＝﹣8． 【点评】本题考查有理数的混合运算，先计算乘方，然后运算乘除是解题的关键． 5．阅读理解题：我们知道，任意正整数根据乘方的意义：a2＝a•a，a3＝a•a•a． （1）计算：22×32＝　36　 ，（2×3）2＝　36　 ； （2）计算：（﹣2）3×（﹣1）3＝　8　 ，[（﹣2）×（﹣1）]3＝　8　 ； （3）由（1）（2）我们可以得到的结论是什么？请用an，bn，（a×b）n表示； （4）利用（3）的结论求等式中m的值． 【考点】有理数的乘方．版权所有 【分析】（1）根据a2＝a•a，并结合有理数的乘法法则计算即可得解； （2）根据a3＝a•a•a，并结合有理数的乘法法则计算即可得解； （3）根据（1）（2）的计算结果，总结出规律即可； （4）先将式子变形为，结合，得出m＜0，从而可得且m＝﹣2，即可得解． 【解答】解：（1）∵a2＝a•a， ∴22×32＝2×2×3×3＝36，（2×3）2＝62＝6×6＝36； 故答案为：36；36； （2）∵a3＝a•a•a， ∴原式＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝8， 原式＝23＝2×2×2＝8； 故答案为：8；8； （3）由（1）（2）可得an×bn＝（a×b）n； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴m＜0， ∴且m＝﹣2， 故m＝﹣2． 【点评】本题考查了乘方的意义，有理数的乘法，数字类规律探索，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 例题1．计算． （1）﹣12﹣3×7÷3×7； （2）． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】（1）先算乘方，按从左到右的顺序逐步计算乘除混合运算，再算加减； （2）按照混合运算的顺序计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣21÷3×7 ＝﹣1﹣7×7 ＝﹣1﹣49 ＝﹣50； （2） （﹣512）﹣[2+16÷（﹣6）]×（﹣9） ＝﹣2﹣[2]×（﹣9） ＝﹣2﹣（）×（﹣9） ＝﹣2﹣6 ＝﹣8． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 练习1 1．计算： （1）（﹣3）2﹣6+2； （2）； （3）（﹣6）×|﹣2|﹣[﹣9+（﹣2）4+23]； （4）． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】（1）先计算乘方，再计算加减即可； （2）先计算乘方、除法、绝对值，再计算加减即可； （3）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可； （4）先计算乘方、利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝9﹣6+2 ＝5； （2）原式＝﹣1+6﹣9 ＝﹣4； （3）原式＝（﹣6）×2﹣（﹣9+16+8） ＝﹣12﹣15 ＝﹣27； （4）原式＝﹣9242424 ＝﹣1﹣18+4﹣9 ＝﹣24． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 2．下列计算中，正确的个数是（　　） ①﹣（﹣2）2＝4；②；③；④﹣33＝﹣9；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】有理数的乘方；有理数的乘法；有理数的除法．版权所有 【分析】根据有理数乘方、乘法、除法运算法则计算即可． 【解答】解：﹣（﹣2）2＝﹣4，故①错误，不符合题意； ，故②错误，不符合题意； ，故③错误，不符合题意； ﹣33＝﹣27，故④错误，不符合题意； ，故⑤正确，符合题意； 正确的个数是1个， 故选：A． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握有理数的混合运算法则． 3．计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】（1）先将原式变形为，再将除法转化为乘法，利用乘法分配律计算即可得； （2）先计算乘法与除法，再计算减法即可得； （3）先计算乘方、带分数化为假分数，再计算乘法、绝对值里的减法，然后化简绝对值，计算除法，最后计算加法即可得； （4）先计算乘方、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，然后计算乘法，最后计算加法即可得． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式＝﹣1+（﹣3）×2 ＝﹣1﹣6 ＝﹣7． （3）原式 ＝﹣1﹣（﹣2）÷7 ． （4）原式 ． 【点评】本题考查了含乘方的有理数混合运算、有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． 4．计算： （1）； （2）． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】（1）利用乘法分配律即可得出答案； （2）按照有理数的混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣121212 ＝﹣18+20﹣2 ＝0； （2）原式＝﹣9÷312+1 ＝﹣3+6﹣8+1 ＝﹣4． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 5．计算： （1）； （2）． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】（1）先计算乘方，再利用乘法的分配律计算即可求解； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后加减运算即可求解． 【解答】解：（1）原式 ＝6﹣9+12 ＝﹣3+12 ＝9； （2）原式＝﹣1÷（﹣3）﹣6÷（﹣3） ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 例题1．作为宁夏光伏产业重点区域，石嘴山市2025年计划新增260万千瓦光伏装机容量，推动我市“光伏+储能”示范项目建设．260万用科学记数法表示为（　　） A．2.6×10﹣6 B．0.26×107 C．26×105 D．2.6×106 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：260万＝2600000＝2.6×106． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 练习1 1．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．据了解，长征二号F遥二十一运载火箭发射时，携带的推进剂总量约450000千克，将数据450000用科学记数法表示为（　　） A．4.5×104 B．4.5×105 C．0.45×105 D．4.5×106 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：450000＝4.5×105． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．重庆市继续加强农村危房改造，将各地摸底的5643户农村困难群众危房全部纳入2025年改造计划，已下达中央和省级补助资金88730000元，其中88730000用科学记数法表示为（　　） A．88.73×106 B．8.873×107 C．0.8873×108 D．8.873×108 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：88730000＝8.873×107． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．第七届中国国际进口博览会于11月5日在国家会展中心（上海）开幕．自首届以来，进博会持续打造全球新品首发地、前沿技术首选地、创新服务首推地，前六届进博会已展出近2500项代表性首发新产品、新技术、新服务，累计意向成交额超过4200亿美元．4200亿用科学记数法表示为（　　） A．0.42×1011 B．4.2×1011 C．4.2×1010 D．0.42×1010 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：4200亿＝420000000000＝4.2×1011． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．2025年世界环境日主题为“塑料污染治理”．据联合国环境规划署资料，全球每年约产生40亿吨塑料垃圾，其中可回收利用的约占10%．则不可回收的塑料垃圾约为（用科学记数法表示）（　　） A．3.6×109吨 B．36×108吨 C．4.0×109吨 D．3.6×108吨 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【分析】先计算不可回收塑料垃圾占比（1﹣10%＝90%），再用全球每年产生塑料垃圾总量乘以该占比得到不可回收量，最后将结果转换为科学记数法形式（a×10ⁿ，其中1≤a＜10，n为整数）． 【解答】解：据联合国环境规划署资料，全球每年约产生40亿吨塑料垃圾，其中可回收利用的约占10%． 可回收比例＝10%，不可回收比例＝1﹣10%＝90%， 不可回收塑料垃圾量＝40亿吨×90%＝40亿×0.9＝36亿吨． 36亿＝36000000000＝3.6×109吨． 故选：A． 【点评】本题考查了百分比计算与科学记数法的应用，解题的关键是正确计算不可回收塑料垃圾量并准确转换为科学记数法． 5．杭州某AI实验室训练模型时，单日处理数据量约为1200亿条，“1200亿”这个数据用科学记数法表示为（　　） A．1.2×1012 B．0.12×1012 C．1.2×1011 D．12×1010 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1200亿＝120000000000＝1.2×1011． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 例题1．用四舍五入法，把5.2146精确到千分位是（　　） A．5.215 B．5.214 C．5.21 D．5.2 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】把万分位上的数字6进行四舍五入即可． 【解答】解：用四舍五入法，把5.2146精确到千分位是5.215．故选：A． 【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式． 练习1 1．近似数2.450万精确到　十　 位． 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】把带单位的近似数还原即可得出精确度． 【解答】解：∵近似数2.450万2.450×10000＝24500， ∴该近似数精确到十位． 故答案为：十． 【点评】本题主要考查近似数，熟练掌握求近似数精确度的方法是做题的关键． 2．下列说法正确的是（　　） A．504.35是精确到百分位 B．1.609万精确到万位 C．3600是精确到百位 D．近似数5.300和5.30的精确度一样 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】根据数字的表示形式判断其精确的位数即可． 【解答】解：∵504.35有两位小数，∴精确到百分位，A正确，符合题意； ∵1.609万＝16090，最后一位有效数字9在十位，∴精确到十位，不是万位，B错误，不符合题意； ∵3600最后一位数字0在个位，∴精确到个位，不是百位，C错误，不符合题意； ∵5.300精确到千分位，5.30精确到百分位，∴精确度不同，D错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查近似数的精确度，掌握相关知识是解决问题的关键． 3．数x四舍五入后的近似值为2.0，则x的取值范围是（　　） A．1.95≤x＜2.05 B．2.04≤x＜2.05 C．2.044≤x≤2.049 D．1.9≤x≤2.1 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】根据近似数的精确度进行判断． 【解答】解：数x四舍五入后的近似值为2.0，则x的取值范围是1.95≤x＞2.05． 故选：A． 【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式． 4．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.1（精确到0.1） B．0.050（精确到0.001） C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到千分位） 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】经过四舍五入得到的数称为近似数，从一个近似数左边第一个不为0的数算起到这个数完，所有这些数字都叫这个近似数的有效数字，由此逐项分析即可得解． 【解答】解：根据近似数和有效数字规定逐项分析判断如下： A、0.05019≈0.1（精确到0.1），故此选项正确，不符合题意； B、0.05019≈0.050（精确到0.001），故此选项正确，不符合题意； C、0.05019≈0.05（精确到百分位），故此选项正确，不符合题意； D、0.05019≈0.050（精确到千分位），故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了近似数和有效数字，熟练掌握四舍五入法是关键． 5．26500精确到千位是　2.7×104 ． 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】根据近似数的定义将将百位数字5四舍五入5四舍五入求解． 【解答】解：26500精确到千位是≈2.7×104． 故答案为：2.7×104． 【点评】本题主要考查了近似数和科学记数法，理解相关知识是解答关键． 例题2．“近似数3.10万”精确到　百　 位． 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】将近似数还原，找到最后一位所在位数即可． 【解答】解：3.10万＝31000， ∴近似数精确到百位， 故答案为：百． 【点评】本题主要考查近似数的应用，解题的关键是理解近似数的取值方法． 练习2 1．近似数3.5万精确到（　　） A．百分位 B．十分位 C．百位 D．千位 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】根据近似数的精确度，近似数3.5万精确到0.1万位． 【解答】解：近似数3.5万精确到千位． 故选：D． 【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式． 2．近似值9.65万精确到　百　 位． 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】根据近似数的定义解得即可． 【解答】解：9.65万＝96500，故近似值9.65万精确到百位． 故答案为：百． 【点评】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字的说法． 3．近似数6.15万精确到 　百　 位． 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】根据近似数的精确度求解． 【解答】解：近似数6.15万精确到百位． 故答案为：百． 【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式． 4．由四舍五入法得到的近似数1.3万，精确到　千　 位． 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】将近似数1.3万还原为13000，确定数字3所在的数位即可． 【解答】解：1.3万＝13000，数字3位于千位上，因此近似数1.3万精确到千位． 故答案为：千． 【点评】本题主要考查了求精确度，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．近似数8.240×105精确到 　百　 位． 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】根据近似数的精确度求解． 【解答】解：近似数8.240×105精确到百位． 故答案为：百． 【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式． 例题1．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．将二进制数10112化为三进制数为（　　） A．1013 B．1023 C．1103 D．123 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数即可得到答案． 【解答】解：， ∵1110＝9+2， ∴将二进制数10112化为三进制数为：． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 练习1 1．计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如（1101）2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20＝13，那么将二进制（10111）2转换成十进制形式是（　　） A．23 B．15 C．18 D．31 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】根据题中二进制数化为十进制数的方法计算即可． 【解答】解：根据题意得：1×24+0×23+1×22+1×21+1×20＝16+0+4+2+1＝23， 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的转换方法是解本题的关键． 2．在日常生活中，我们用十进制来表示数，如3516＝3×103+5×102+1×101+6×1．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×1，可以表示十进制中的10，那么二进制中的110101表示十进制中的 　53　 ． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答． 【解答】解：110101＝1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×1＝32+16+0+4+0+1＝53， 故答案为：53． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1～12，另一只手用五根手指表示1～5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是 12+8＝20．若当其左手伸出两根手指，右手大拇指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是（　　） A．7 B．25 C．21 D．29 【考点】用数字表示事件；有理数的混合运算．版权所有 【分析】先根据题目定义可得所表示的数为12×2+5，再进行计算求解． 【解答】解：由题意得， 12×2+5 ＝24+5， ＝29， ∴表示的十进制数字是29， 故选：D． 【点评】此题考查了用数字表示事件和有理数混合运算的能力，关键是能准确理解并运用题目定义进行列式、计算． 4．腾讯公司将QQ等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的QQ等级标识图为两个皇冠，则其QQ等级为 （　　） A．26 B．27 C．28 D．29 【考点】有理数的乘方．版权所有 【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得：2×43＝2×26＝27， 则其QQ等级为27． 故选：B． 【点评】此题考查了有理数的乘方，弄清题意是解本题的关键． 5．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个2n数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制1025是二进制下的（　　） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】根据题意得211＝2148，210＝1024，根据规律可知最高位应是1×210，故可求共有11位数． 【解答】解：∵211＝2148，210＝1024， ∴最高位应是1×210， 故共有10+1＝11位数． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘方，此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制的数． 例题1．若x，y，z是有理数，|x|＝4，|y|＝8，z的倒数是2，且xy＜0，求x﹣y﹣（﹣z）的值． 【考点】有理数的乘法；绝对值；倒数；有理数的减法．版权所有 【分析】根据题意得出x＝4，y＝﹣8或x＝﹣4，y＝8，，分别代入代数式即可求解． 【解答】解：根据题意可知，x＝±4，y＝±8，， ∵xy＜0， ∴x＝4，y＝﹣8或x＝﹣4，y＝8， 当x＝4，y＝﹣8时， x﹣y﹣（﹣z）， 当x＝﹣4，y＝8时， x﹣y﹣（﹣z）． 【点评】本题考查了绝对值，倒数，有理数的减法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 练习1 1．若|a|＝2，b的倒数为，且ab＜0，求a﹣b的值． 【考点】有理数的乘法；绝对值；倒数；有理数的减法．版权所有 【分析】根据题意得a＝2或a＝﹣2，b＝3，进一步判断a＝﹣2，即可求得答案． 【解答】解：∵|a|＝2，b的倒数为， ∴a＝2或a＝﹣2，b＝3， ∵ab＜0， ∴a＝﹣2， ∴a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5． 【点评】本题主要考查绝对值的意义、倒数、有理数的加减运算以及已知字母的值求代数式的值，解题的关键是掌握代数式求值． 2．|a|＝4，|b|＝3，ab＜0，求a+b的值． 【考点】有理数的乘法；绝对值；有理数的加法．版权所有 【分析】根据绝对值的性质求出a、b，再根据异号得负判断出a、b异号，然后根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝3， ∴a＝±4，b＝±3， ∵ab＜0， ∴a、b异号， 当a＝4时，b＝﹣3，a+b＝4+（﹣3）＝1， 当a＝﹣4时，b＝3，a+b＝﹣4+3＝﹣1， 综上所述，a+b的值为±1． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 3．已知|a|＝5，|b|＝2，且0，求a+b的值． 【考点】有理数的除法；绝对值；有理数的加法．版权所有 【分析】先根据绝对值的定义求出a、b的值，再根据0进一步确定a、b的值，再分别代入计算即可． 【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝2， ∴a＝±5，b＝±2， ∵0， ∴a＝5，b＝2或a＝﹣5，b＝﹣2， 当a＝5，b＝2时，a+b＝5+2＝7； 当a＝﹣5，b＝﹣2时，a+b＝﹣5﹣2＝﹣7； 综上，a+b的值为7或﹣7． 【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的加法，绝对值，正确计算是解题的关键． 4．若|a|＝8，|b|＝5，且|a﹣b|＝a﹣b，求ab的值． 【考点】有理数的乘法；绝对值；有理数的减法．版权所有 【分析】先求出a＝±8，b＝±5，继而推导出a≥b，得到a＝8，b＝5或a＝﹣8，b＝5，分类计算即可解答． 【解答】解：由题意可得： ∴a＝±8，b＝±5，a﹣b≥0，即a≥b， ∴a＝8，b＝5或a＝8，b＝﹣5， ∴ab＝8×5＝40或ab＝8×（﹣5）＝﹣40， 答：ab的值为±40． 【点评】本题考查绝对值，有理数的乘法，掌握知识点是解题的关键． 5．已知|a|＝5，|b|＝3． （1）若a﹣b＞0，求a﹣b的值． （2）若ab＜0，求a+b的值； 【考点】有理数的乘法；绝对值；有理数的加法；有理数的减法．版权所有 【分析】（1）根据题意得a＝±5，b＝±3，再由a﹣b＞0可确定a与b的值，从而求得结果； （2）由（1）及ab＜0，可确定a与b的值，从而求得结果． 【解答】解：（1）∵|a|＝5，|b|＝3， ∴a＝±5，b＝±3； 由a﹣b＞0，则a＞b， ∴a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3； 当a＝5，b＝3时，a﹣b＝5﹣3＝2； 当a＝5，b＝﹣3时，a﹣b＝5﹣（﹣3）＝8； 综上，a﹣b的值为2或8； （2）由条件可知a＝5，b＝﹣3或a＝﹣5，b＝3； 当a＝5，b＝﹣3时，a+b＝5+（﹣3）＝2； 当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣5+3＝﹣2； 综上，a+b的值为2或﹣2． 【点评】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减，熟练掌握以上知识点是关键． 例题2．若a，b为实数，且|a+1|+（b﹣1）2＝0，求（ab）2025的值． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+1|+（b﹣1）2＝0， ∴a+1＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣1，b＝1， ∴（ab）2025＝（﹣1×1）2025＝﹣1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 练习2 1．已知（m﹣2）2与|n﹣4|互为相反数． （1）求m，n的值； （2）若p是最小正整数，求（﹣m﹣n﹣p）n﹣mp的值． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】（1）先推导出（m﹣2）2+|n﹣4|＝0，得到m﹣2＝0，n﹣4＝0，求出m＝2，n＝4，即可解答； （2）由p是最小正整数，得到p＝1，继而将m＝2，n＝4，p＝1代入（﹣m﹣n﹣p）n﹣mp计算即可． 【解答】解：（1）∵（m﹣2）2与|n﹣4|互为相反数， ∴（m﹣2）2+|n﹣4|＝0， ∵（m﹣2）2≥0，|n﹣4|≥0， ∴（m﹣2）2＝0，|n﹣4|＝0， ∴m﹣2＝0，n﹣4＝0， ∴m＝2，n＝4； （2）∵p是最小正整数， ∴p＝1， 由（1）知m＝2，n＝4， ∴﹣m﹣n﹣p＝﹣2﹣4﹣1＝﹣2+（﹣4）+（﹣1）＝﹣7，n﹣mp＝4﹣2×1＝4﹣2＝2， ∴（﹣m﹣n﹣p）n﹣mp＝（﹣7）2＝49． 【点评】本题考查相反数，绝对值与平方的非负性，含乘方的有理数的运算，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 2．已知|a+2|+（b+1）2＝0． （1）求a，b的值． （2）求的值． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】（1）根据绝对值的非负性，平方的非负性计算即可； （2）将a＝﹣2，b＝﹣1代入计算即可． 【解答】解：（1）由条件可知a+2＝0，b+1＝0， ∴a＝﹣2，b＝﹣1； （2）由条件可知 ＝（﹣1）2021﹣（﹣1）2020 ＝﹣1﹣1 ＝﹣2． 【点评】本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘方运算．熟练掌握以上知识点是关键． 3．已知|a+2|与（b﹣3）2互为相反数，求ab﹣a+b的值． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+2|和（b﹣3）2互为相反数， ∴|a+2|+（b﹣3）2＝0， ∴a+2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣2，b＝3， ∴ab﹣a+b＝（﹣2）3﹣（﹣2）+3＝﹣3． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 4．若（a﹣2）2+|b+3|＝0，求（a+b）2009的值． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质分别求出a、b，根据乘方法则计算即可． 【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0， 解得，a＝2，b＝﹣3， 则（a+b）2009＝﹣1． 【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键． 5．已知（a﹣3）2+|b+1|＝0． 求：﹣3（ab﹣2a2）﹣[6a2﹣（3ab+2b2）+3ab]的值． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】先求出a＝3，b＝﹣1，再化简所求的式子，最后将a、b代入化简后的式子求值即可． 【解答】解：∵|a﹣3|+（b+1）2＝0， ∴a﹣3＝0，b+1＝0， 解得a＝3，b＝﹣1， ﹣3（ab﹣2a2）﹣[6a2﹣（3ab+2b2）+3ab] ＝﹣3ab+6a2﹣（6a2﹣3ab﹣2b2+3ab） ＝﹣3ab+6a2﹣（6a2﹣2b2） ＝﹣3ab+6a2﹣6a2+2b2 ＝2b2﹣3ab， 当a＝3，b＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）2﹣3×3×（﹣1）＝2+9＝11． 【点评】本题考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则，绝对值的非负性，平方的非负性是解题的关键． 提升检测 1．已知a的倒数是﹣2025，则a的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【考点】倒数；相反数．版权所有 【分析】根据乘积为1的两数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【解答】解：根据题意可知，a， ∴a的相反数是． 故选：C． 【点评】本题考查倒数和相反数，掌握倒数和相反数的定义是关键． 2．计算5+（﹣12）的结果等于（　　） A．17 B．﹣17 C．7 D．﹣7 【考点】有理数的加法．版权所有 【分析】把括号去掉，用加法的法则计算． 【解答】解：原式＝5﹣12＝﹣7， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数加法，掌握有理数加法法则是解题关键． 3．若|a|＝4，b＝﹣2，则a﹣b的值为（　　） A．2或6 B．﹣2或6 C．4或﹣6 D．﹣4或﹣6 【考点】有理数的减法；绝对值．版权所有 【分析】运用绝对值和有理数加减运算方法进行讨论、求解． 【解答】解：∵|a|＝4， ∴a＝±4， 当a＝4时， a﹣b＝4﹣（﹣2）＝6； 当a＝﹣4时， a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2， 故选：B． 【点评】此题考查了有理数用数轴表示和大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 4．把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（　　） A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5 【考点】有理数的加减混合运算．版权所有 【分析】括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变．括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号． 【解答】解：根据去括号的原则可知：﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）＝3﹣4﹣5． 故答案为：A． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，主要考查去括号运算，掌握去括号的方法便可解决问题． 5．有理数a，b在数轴上的对应点分别为点A，B，如图所示．则下列式子正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．a﹣b＞0 C．a+b＞0 D．ab＞0 【考点】有理数的乘法；数轴；绝对值；有理数的加法；有理数的减法．版权所有 【分析】根据数轴得到a、b的符号，以及二者绝对值的大小，再根据有理数运算法则逐一判断即可． 【解答】解：由数轴可得|a|＞|b|，a﹣b＜0，a+b＜0，ab＜0， ∴四个选项中只有A选项中的结论正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的运算，熟练掌握以上知识点是关键． 6．某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”，得到的结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4 【考点】有理数的除法；有理数的加法．版权所有 【分析】先由已知条件列等式求出a，把a的值代入原式求出结果． 【解答】解：根据题意，得﹣16+a＝﹣12， a＝4， ∴﹣16÷4＝﹣4． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的除法、有理数加法，掌握除法、加法法则，由已知条件列等式求出a是解题关键． 7．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法中：①log61＝0；②若log2（14+a）＝4，则a＝﹣6；③log827＝log23；④．正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】有理数的乘方．版权所有 【分析】①②根据对数的定义计算即可； ③设log827＝x，log23＝y，根据对数的定义及幂的乘方与积的乘方的运算法则证明即可； ④设log2x＝a，log2y＝b，根据对数的定义及同底数幂的除法运算法则证明即可． 【解答】解：∵60＝1， ∴log61＝0， ∴①正确，符合题意； ∵log2（14+a）＝4， ∴24＝14+a， ∴a＝2， ∴②不正确，不符合题意； 设log827＝x，log23＝y， 则8x＝27，2y＝3， ∴23x＝（2x）3＝33， ∴2x＝3， ∴2x＝2y， ∴x＝y， ∴log827＝log23， ∴③正确，符合题意； 设log2x＝a，log2y＝b， 则x＝2a，y＝2b， ∴2a﹣b， ∴log2a﹣b， ∴log2log2x﹣log2y， ∴④正确，符合题意． 综上，正确的个数为3，分别是①③④． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的乘方，掌握对数的定义及幂的乘方与积的乘方的运算法则、同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 8．代数式（a﹣2）2+5取最小值时，a值为（　　） A．a＝0 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．无法确定 【考点】非负数的性质：偶次方．版权所有 【分析】根据非负数的性质解答即可． 【解答】解：∵（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2+5≥5， （a﹣2）2+5取最小值时，a﹣2＝0，即a＝2， 故选：B． 【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握任意一个数的偶次方都是非负数是解题的关键． 9．下列计算正确的是（　　） A．0+（﹣5）＝5 B．﹣10﹣（﹣7）＝﹣17 C． D．21 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【分析】根据有理数的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，即可解答． 【解答】解：A、0+（﹣5）＝﹣5，故A不符合题意； B、﹣10﹣（﹣7）＝﹣10+7＝﹣3，故B不符合题意； C、（﹣4）×（）＝6，故C符合题意； D、22×2＝4，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 10．苍南因地处玉苍山之南，故取县名为苍南．其总面积为1079.34平方公里，数1079.34精确到个位，则近似值为（　　） A．1080 B．1079.3 C．1079 D．1070 【考点】近似数和有效数字．版权所有 【分析】把十分位上的数字3进行四舍五入即可． 【解答】解：把1079.34精确到个位得到的近似数是1079． 故选：C． 【点评】本题考查了近似数和有效数字，经过四舍五入得到的数为近似数．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 11．的倒数为 　　 ，相反数为 　　 ，绝对值是 　　 ． 【考点】倒数；相反数；绝对值．版权所有 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 【解答】解：根据倒数、相反数和绝对值的定义得： 的倒数是，相反数是，绝对值是． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了倒数，相反数，绝对值．解题的关键是掌握绝对值、相反数、倒数的定义，a的相反数是﹣a，a（a≠0）的倒数是，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，难度适中． 12．爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将4，6，﹣7，8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为 　﹣3或﹣6　 ． 【考点】有理数的加法；有理数．版权所有 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 【解答】解：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则﹣7+6+b+8＝2，解得b＝﹣5， 6+4﹣5+x＝2，解得x＝﹣3， 则a＝2，y＝﹣1或a＝﹣1，y＝2， 当a＝2时， a+b＝2+（﹣5）＝﹣3； 当a＝﹣1时， a+b＝﹣1+（﹣5）＝﹣6， 故答案为：﹣3或﹣6． 【点评】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都是2． 13．比﹣3小1的数是　﹣4　 ． 【考点】有理数的减法．版权所有 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：﹣3﹣1＝﹣3+（﹣1）＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 14．观察下面的等式： ①； ②3﹣1＝﹣|﹣1+2|+3； ③1﹣1＝﹣|1+2|+3； ④； ⑤（﹣2）﹣1＝﹣|4+2|+3； … 若满足上面特征的等式最左边的数为3.32，写出此时的等式 　3.32﹣1＝﹣|﹣1.32+2|+3　 ． 【考点】有理数的加减混合运算；绝对值．版权所有 【分析】通过上下对比发现等式左边都是某数减1，等式右边都是某数加3．从而联想等式最左边的数与等式右边绝对值的关系． 【解答】解：通过观察发现规律如下： 1＝（2）﹣1＝﹣|2|+3； 3﹣1＝（1+2）﹣1＝﹣|﹣1+2|+3； 1﹣1＝（﹣1+2）﹣1＝﹣|1+2|+3； （）﹣1＝（2）﹣1＝﹣|2|+3； （﹣2）﹣1＝（﹣4+2）﹣1＝﹣|4+2|+3； 代入3.32，可得： 3.32﹣1＝（1.32+2）﹣1＝﹣|﹣1.32+2|+3． 故答案为：3.32﹣1＝﹣|﹣1.32+2|+3． 【点评】本题主要考查有理数、绝对值的计算，同时需要一定的观察能力和推理能力，找到各式间的规律． 15．对于有理数x，y，若xy＜0，则的值是 　﹣1　 ． 【考点】有理数的乘法；绝对值．版权所有 【分析】运用有理数的乘法法则和绝对值知识进行求解． 【解答】解：∵xy＜0， ∴|xy|＝﹣xy， ∴， 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了有理数的乘法法则和绝对值知识的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． 16．计算：． 【考点】有理数的除法；有理数的乘法．版权所有 【分析】把小数化为分数、除法化为乘法，再约分即可． 【解答】解：原式（）×（） ． 【点评】本题考查有理数的乘除法，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 17．计算． （1）（﹣4）×7×（﹣1）×（﹣0.25）； （2）． 【考点】有理数的除法；有理数的乘法．版权所有 【分析】（1）利用有理数的乘法法则计算即可； （2）利用有理数的乘法和除法法则计算即可． 【解答】解：（1）（﹣4）×7×（﹣1）×（﹣0.25） ＝﹣4×7×1×0.25 ＝﹣4×0.25×7 ＝﹣7； （2） ＝（）×（）×9 ＝15． 【点评】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法和除法法则． 18．阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理|x﹣4|也可理解为x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： （1）若|x﹣2|＝5，则x的值是 　﹣3或7　 ． （2）同理|x﹣5|+|x+3|＝8表示数轴上有理数x所对应的点到5和﹣3所对应的两点距离之和为8，则所有符合条件的整数x的和 　9　 ． （3）由以上探索猜想，若点P表示的数为x，当点P在数轴上什么位置时，|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值？如果有，直接写出最小值． 【考点】有理数的加法；有理数；数轴；非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】（1）由算式的几何意义可得，x是数轴上到表示2的点为5的点表示的数，即可求得符合题意的两个x的值； （2）由算式的几何意义可得，符合条件的整数x，就是数轴上以表示5和﹣3的点为端点的线段上的所有整数，然后计算求和即可； （3）由题意可得，该算式表示数轴上点P到表示﹣1、3、5的距离的和，根据几何意义可得当x＝3时取最小值为6． 【解答】解：（1）∵|x﹣2|＝5， ∴x﹣2＝﹣5或x﹣2＝5， 解得x＝﹣3，x＝7， 故答案为：﹣3或7； （2）由题意得，符合条件的整数x，就是数轴上以表示5和﹣3的点为端点的线段上的所有整数， 即x的值为﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5， ∴﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝9， 故答案为：9； （3）由题意可得，该算式表示数轴上点P到表示﹣1、3、5的距离的和， 可得当x＝3时取最小值， 即|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值为： |3+1|+|3﹣3|+|3﹣5| ＝4+0+2 ＝6． 【点评】此题考查了利用数形结合进行绝对值的运算能力，关键是能利用几何意义理解算式并进行准确计算． 19．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”．例如对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1，，所以1，﹣2，3的“分差”为． （1）﹣1，﹣4，1的“分差”为 　　 ； （2）调整“﹣1，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值． 【考点】有理数的减法．版权所有 【分析】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小． （2）三个数根据位置不同可得6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小． 【解答】解：（1）∵a＝﹣1，b＝﹣4，c＝1 ∴a﹣b＝﹣1﹣（﹣4）＝3，1，， ∴﹣1，﹣4，1的“分差”为， 故答案为：； （2）①若a＝﹣1，b＝1，c＝﹣4， ∴a﹣b＝﹣1﹣1＝﹣2，，， ∴﹣1，1，﹣4的“分差”为﹣2， ②若a＝﹣4，b＝﹣1，c＝1， ∴a﹣b＝﹣3，，， ∴﹣4，﹣1，1的“分差”为﹣3， ③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣1， ∴a﹣b＝﹣5，，， ∴﹣4，1，﹣1的“分差”为﹣5， ④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴a﹣b＝5，1，1， ∴1，﹣4，﹣1的“分差”为﹣1， ⑤若a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4， ∴a﹣b＝2，，1， ∴1，﹣1，﹣4的“分差”为1， 综上所述，这些不同“分差”中的最大值为1． 【点评】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是准确分类计算． 20．蔬菜商店以每筐48元的价格从农场购进8筐白菜，若以每筐白菜净重25千克为标准，超过千克数记为正数，不足千克数记为负数，稳重后记录如下：+1.5，﹣3，+2，﹣2.5，﹣3，+1，﹣2，﹣2． （1）这8筐白菜一共重多少千克？ （2）若把这些白菜全部以零售的形式卖掉，商店计划共获利40%，那么蔬菜商店在销售过程中白菜的单价应定为每千克多少元？ （3）如果平均每天的白菜销售量相同，商店以（2）中的单价售完所有白菜的一半时恰好用了3天时间，现决定降价促销把剩余的白菜按原价的八折销售完，这样平均每天可比原来多售出16千克，请通过计算说明商店在整个白菜销售过程中共需要几天？并计算商店共盈利或亏损多少元？ 【考点】有理数的加减混合运算；正数和负数．版权所有 【分析】（1）先算出总的是超过还是不足多少千克，然后8筐的总重量即可； （2）设白菜的单价应定为每千克x元，先求出每筐的重量，根据利润＝售价﹣进价，列出方程，求出答案即可； （3）设整个白菜销售过程中共需要y天，求出原每天销售量，根据原每天销售量﹣16＝实际每天销售量，列出方程，解方程，再求出白菜原计划的卖的总钱数和实际卖的总钱数，进行解答即可． 【解答】解：（1）由题意得： +1.5﹣3+2﹣2.5﹣3+1﹣2﹣2 ＝+1.5+2+1﹣3﹣3﹣2﹣2﹣2.5 ＝4.5﹣12.5 ＝﹣8（千克）， 25×8+（﹣8） ＝200+（﹣8） ＝192（千克）， 答：这8筐白菜一共重192千克； （2）设蔬菜商店在销售过程中白菜的单价应定为每千克x元，列方程得： 192x﹣48×8＝48×8×40%， 192x﹣384＝153.6， 192x＝537.6， x＝2.8（元）， 答：蔬菜商店在销售过程中白菜的单价应定为每千克大约2.8元． （3）192÷2÷3+16＝48（千克）， 192÷2÷48+3＝5（天）， ∴商店在整个白菜销售过程中共需要5天， ∵8×48＝384（元）， 192÷2×2.8+192÷2×2.8×80%＝483.84（元）， ∴该商店盈利了， 盈利的钱数为：483.84﹣384＝99.84（元） 答：商店在整个白菜销售过程中共需要5天，商店共盈利99.84元． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题关键是熟练理解题意，找出等量关系，列出方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $