3.1 椭圆 第2课时教学设计-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆的简单几何性质，在椭圆标准方程基础上，通过复习定义与标准方程、学生动手作图比对、类比函数性质等导入，搭建旧知到新知的学习支架，引导探究范围、对称性等几何性质。 借助GeoGebra软件动态演示不同参数下的椭圆图像，以问题串驱动小组合作观察讨论，用方程严谨推导性质，培养直观想象与逻辑推理，离心率概念抽象及典例拓展分类讨论，提升学生数形结合能力，为教师提供可操作的探究式教学路径。

3.1 椭圆 第2课时 教学设计 一、内容分析 本节课是学生学习完椭圆的标准方程之后，根据曲线的方程研究它的性质、并画出它的图形的第一次尝试. 因此，本课时首先利用教材的问题串，借助GeoGebra软件，让学生直观感受椭圆形状的变化，然后通过对椭圆的范围、对称性、顶点及其他性质来研究椭圆的几何性质，引导学生体会解析几何研究问题的基本路径.需要注意的是，我们借助图象来研究性质，但绘图的准确性将直接影响判断，故从严谨性的角度，我们需借助方程来研究性质，从而培养学生数形结合的数学思想和理性思维. 二、教学目的 通过对椭圆标准方程的讨论，研究椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，使学生掌握椭圆的简单几何性质，并能正确地画出它的草图，引导学生体会解析几何研究问题的基本路径.通过知识的形成培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力，和运用数形结合思想解决实际问题的能力. 三、重点难点 重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程. 难点：利用曲线方程研究曲线的几何性质的探究过程及基本方法. 四、核心素养 ●直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模． 五、教学准备 课件、GeoGebra软件. 六、教学流程 问题导入 -> 新知探索--> 典型剖析 ->拓展延伸 -> 练习巩固 -> 归纳小结 七、教学过程 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配 ㈠ 问题导入 1.请同学们回顾上节课我们学习的椭圆定义及 其标准方程。 2. 方程表示什么曲线？你能画出它的图形吗？你能画得更精确点吗？ 3.我们研究函数的图象从哪些方面入手呢？ 类比函数的性质，这节课我们来探究椭圆的几何性质. 1. 学生回答，教师强调椭圆的标准方程的两类情况，注意焦点的位置. 2. 学生动手画，教师通过授课助手展示不同学生的答案. 3.学生答出：定义域、值域、对称性、单调性、奇偶性、周期性及特殊点等. 1.复习旧知，调动学生积极性. 2.通过比对学生的作图，引发对椭圆几何性质探究的必要性. 3.为利用方程研究椭圆的几何性质做准备. 4分钟 ㈡ 新知探索 问题串：选取几组不同的满足的值，利用GGB几何画板作出方程的图象，观察图象并思考、讨论下列问题： 问题1：椭圆图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、最高分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点. 给出概念：范围、顶点、长轴、短轴、长轴长及短轴长. 问题2：对称性：图象是不是中心对称图形？如果是，找出对称中心.图象是不是轴对称图形？如果是，找出对称轴. 问题3：试根据方程解释你所观察到的现象.问题4：通过观察，图象还有没有其他的性质？如果有，试作出说明. 引出概念：离心率. 追问1：离心率的取值范围？离心率的变化对椭圆的扁平度有何影响？ 任务：完成学案中表格“椭圆的简单几何性质”. 1. 问题1-2：采用小组合作形式，学生先进行讨论，然后选派代表发言，教师引导学生使用规范语言. 2. 问题3：教师引导学生用代，用代，或用代且用代，思考椭圆的标准方程是否发生变化？ 3. 问题4：教师通过演示GGB课件，进行追问，当不变时，改变的值，椭圆会发生什么变化？用什么去刻画这种变化？引出离心率的概念及椭圆扁平度的判断. 4. 追问2：为什么不用去刻画椭圆的扁平度？ 1.通过小组合作交流培养学生互助合作，达到共同进步的目的。 3. 使学生体会运用方程研究曲线性质的方法，同时培养学生数形结合的思想。 3.通过离心率的引入培养学生的观察力，授课中注意突出其几何意义. 15分钟 ㈢ 典例剖析 例1．求椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率. 例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为18，离心率为； （2）经过点，焦点在轴上. 1. 给出例1，巩固椭圆的简单几何性质.教师要强调长轴长是，短轴长是，焦距是. 追问：你能否画出这个椭圆的草图？ 2. 给出例2，教师引导学生使用待定系数法完成. 3. 教师总结：根据已知条件求椭圆的标准方程是思路是：“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论. 1. 例1是帮助学生熟悉 的几何意义，巩固椭圆的简单几何性质. 2.例2主要是概念的识别和运用，尤其是关系式和的运用，需要特别注意焦点的位置. 8分钟 ㈣ 拓展延伸 探索：在例2第（2）小题中如果去除“焦点在轴上”这个条件，该如何做？ 1. 学生回答思路，并计算焦点在轴上的情况. 2. 教师追问：为什么焦点在轴上无解？如何高效解决此题？ 1. 培养学生分类讨论的数学思想； 2. 择机推出， 5分钟 ㈤ 练习巩固 练习1. 求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： （1） ；（2）； （3）. 练习2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为6，离心率为； （2）经过点，离心率为，焦点在轴上. （3）经过两点. 依次给出练习1、练习2，学生在学案、或书、或练习纸上写出各题答案. 利用授课助手，依次展示学生的答案，请其余学生纠正错误，指出所应用的知识点. 1.练习1是进一步强化学生对本节课所学概念的掌握，尤其是第（3）问，应该首先将方程变为标准形式. 2.练习2是帮助学生巩固概念的识别和运用，尤其是在使用待定系数法求方程时要特别注意焦点所在的位置. 6分钟 ㈥ 归纳小结 本节课学习了一些？ 使用思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容. 2分钟 八、板书设计 大致板书如下： 椭圆的简单几何性质 （表格） 例1 例2 草稿区 学科网（北京）股份有限公司 $