3.1 认识不等式 讲义 2025-2026学年 浙教版数学八年级上册

该初中数学讲义围绕“认识不等式”构建知识体系，通过表格清晰呈现五种不等号的读法、意义及方向性，系统梳理概念内涵、含未知数不等式成立条件等要点，形成层次分明的知识脉络。 练习设计涵盖单选（如判断不等式个数）、填空（如用不等式表示两数同号）、解答（如列不等式描述数量关系）等题型，强化符号意识与抽象能力。基础题巩固概念理解，综合题提升应用能力，助力教师精准分层教学，支持学生自主复习提升。

3.1 认识不等式 一、不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 一、单选题 1．下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B．0 C．1 D．3 2．下列式子：①﹣5＜7；②x﹣2x：③a≠2：④7y﹣6＞5y+2中，是不等式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥面时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车重的标志．则通过该桥面的车重的范围可表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中：①；②；③；④；⑤，不等式的个数有（ 　   ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．下列各项中，蕴含不等关系的是（    ） A．老师的年龄是你的年龄的2倍 B．小丽和小华一样高 C．明天可能下雨 D．是非负数 6．下列说法中，正确的是（    ） A．a不是正数，则 B．b是小于0的数，则 C．c不大于-1，则 D．d是负数，则 7．下列数表达式①；②；③；④．其中属于不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列说法：①x与3的差不是正数，即；②x是负数，即；③x的平方是非负数，即；④x大于0且不大于2的数，即；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．据淮安日报报道，2025年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，则当天淮安气温的变化范围是（ ） A． B．t＜20 C． D．20≤t≤27 10．在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：表示不小于；表示不大于，表示远大于；表示远小于等．下列选项中表达错误的是（    ） A． B． C．1001 D． 二、填空题 11．“a，b两数同号“，可用一个不等式表示为_____． 12．在下列数学表达式中：，，，，，其中不等式有________个． 13．用不等号表示下列句子：x是正数____________；x是负数______________． 14．“x小于-3且不小于-5”，用不等式表示为_________________． 15．若，且，则a______0；b________0． 16．用不等式表示：x减去2的差的绝对值不大于_________________． 17．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系： （1）是正数：_____________________； （2）是负数：_____________________； （3）不小于4：_____________________； （4）是非负数：_____________________； （5）的2倍比9大：_____________________； （6）的一半与8的和是负数：_____________________； （7）的3倍与5的和大于的：_____________________； （8）相反数是非正数：_____________________； 18．下面的式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的是：___________________；（填序号） 三、解答题 19．用不等式表示： （1）与5的和是正数； （2）与2的差是负数； （3）与15的和小于27； （4）与12的差大于； （5）的4倍大于或等于8； （6）的一半小于或等于3； （7）与的和不小于0； （8）与的差不大于． 20．用不等式表示 （1）a的与一1的差是非正数．     （2）a的平方减去b的立方大于a与b的和． （3）a的减去4的差不小于-6．        （4）x的2倍与y的和不大于5． （5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20． 21．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． ① x＋y；② 3x＞7；③ 5＝2x＋3；④ x2＞0；⑤ 2x－3y＝1；⑥ 52；⑦ 2＞3. 22．用不等式表示下列数量之间的不等关系： (1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加； (2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 认识不等式 一、不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 一、单选题 1．下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【提示】根据各项数据的大小，判断其是否满足不等式的解集即可． 【解答】∵-4＜0，0＜1＜3，x＜0， ∴满足条件的只有-4， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式解集的知识，关键是明白不等式解的取值范围． 2．下列式子：①﹣5＜7；②x﹣2x：③a≠2：④7y﹣6＞5y+2中，是不等式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【提示】用不等号表示不相等关系的式子是不等式，根据定义即可解题． 【解答】解：①-5＜7，是不等式； ②x-2x不含不等号，不是不等式； ③a≠2，是不等式； ④7y-6＞5y+2，是不等式． 所以不等式有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示的不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”． 3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥面时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车重的标志．则通过该桥面的车重的范围可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【解答】解：由题意得：0＜x≤10． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键． 4．下列各式中：①；②；③；④；⑤，不等式的个数有（ 　   ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【提示】根据不等式的定义进行判断． 【解答】解：①-3＜0，是不等式； ②x+3y≥0，是不等式； ③x=3是等式，不是不等式； ④x2+xy+y2是代数式，不是不等式； ⑤x≠5，是不等式． 不等式的个数有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常用的不等号：“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”． 5．下列各项中，蕴含不等关系的是（    ） A．老师的年龄是你的年龄的2倍 B．小丽和小华一样高 C．明天可能下雨 D．是非负数 【答案】D 【提示】根据四个选项中描述的数量关系进行分析判断即可. 【解答】解：A选项中，语句“老师的年龄是你的2倍”描述的是“等量关系”； B选项中，语句“小丽和小华一样高”描述的是“等量关系”； C选项中，语句“明天可能下雨”描述的的不是“不等关系”； D选项中，语句“x2是非负数”描述的是“不等关系”. 故选D. 【点睛】读懂每个语句的含义，弄清其中所描述的数量间的关系是解答本题的关键. 6．下列说法中，正确的是（    ） A．a不是正数，则 B．b是小于0的数，则 C．c不大于-1，则 D．d是负数，则 【答案】D 【提示】根据正数和负数的意义，不大于的意义，可得答案． 【解答】解：A. a不是正数，则，故该选项错误； B. b是小于0的数，则，故该选项错误； C. c不大于-1，则，故该选项错误； D. d是负数，则，故该选项正确． 【点睛】本题考查了正数和负数的意义、不大于的意义，正确理解是解题关键，特别注意0既不是正数也不是负数． 7．下列数表达式①；②；③；④．其中属于不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【提示】根据不等式的定义，逐一判断，即可． 【解答】解：①是不等式； ②是等式； ③是不等式； ④是代数式， 故选B． 【点睛】本题主要考查不等式的定义，掌握“用不等号连接起来的式子，叫做不等式”是解题的关键． 8．下列说法：①x与3的差不是正数，即；②x是负数，即；③x的平方是非负数，即；④x大于0且不大于2的数，即；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【提示】根据题意，列出不等式， 找出正确的个数，注意和、差、大于、小于等关键描述词. 【解答】①x－3不是正数，则x－3为负数或0，得x－3≤0，本项正确； ②x为负数，x＜0显然正确； ③x2是非负数，则x2为正数或0，得x2≥0，本项正确； ④显然0＜x≤2，本项正确； 所以正确的有四个， 选D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，关键在于清楚认识到非负数、非正数和0的大小关系，还有不大于、不小于的意思． 9．据淮安日报报道，2025年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，则当天淮安气温的变化范围是（ ） A． B．t＜20 C． D．20≤t≤27 【答案】D 【提示】根据不等式的定义即可列出温度的变化范围． 【解答】解：2025年5月28日淮安最高气温是，最低气温是， 当天淮安气温的变化范围是20≤t≤27， 答案：． 【点睛】此题主要考查不等式的表示，解题的关键是根据题意列出符合题意的不等式． 10．在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：表示不小于；表示不大于，表示远大于；表示远小于等．下列选项中表达错误的是（    ） A． B． C．1001 D． 【答案】D 【提示】根据对每个符号的定义对每一项进行判断即可． 【解答】解：A．表示2不小于2，正确，故本选项不符合题意； B．表示-1不大于0，正确，故本选项不符合题意； C．1001表示100远大于1，正确，故本选项不符合题意； D．表示-2远小于-99，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的新定义问题，解决本题的关键是理解各个符号的意思． 二、填空题 11．“a，b两数同号“，可用一个不等式表示为_____． 【答案】ab＞0． 【提示】根据实数的运算法则可知，两数相乘，同号得正，异号得负表示即可. 【解答】根据两数相乘同号得正可得不等式． 解：由题意得：ab＞0， 故答案为：ab＞0. 【点睛】本题考查了实数的运算法则，解决本题的关键是熟练掌握实数运算时，同号得正，异号得负这一法则. 12．在下列数学表达式中：，，，，，其中不等式有________个． 【答案】2 【提示】运用不等式的定义进行判断． 【解答】解：是等式， 和是代数式，没有不等关系，所以不是不等式. 不等式有：，. 故答案为：2. 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 13．用不等号表示下列句子：x是正数____________；x是负数______________． 【答案】          【提示】根据不等式的定义填空． 【解答】解：x是正数用不等式表示为：， x是负数用不等式表示为：． 故答案是：；． 【点睛】本题考查不等式的定义，解题的关键是根据不等式的定义以及题目要求列不等式． 14．“x小于-3且不小于-5”，用不等式表示为_________________． 【答案】 【提示】根据题意和不等式的定义列不等式． 【解答】解：x小于-3且不小于-5，列不等式：． 故答案是：． 【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是掌握不等式定义，利用题目中的不等关系列式． 15．若，且，则a______0；b________0． 【答案】     >     < 【提示】先根据，可判断出a和b异号，再根据，可得出答案． 【解答】解：∵， ∴a＞0，b＜0或a＜0，b＞0 又∵， ∴a＞0，b＜0 故答案为：＞；＜． 【点睛】本题考查的是根据不等式判断符号问题，解题关键在于理解掌握不等式的定义，根据运算关系正确判断符号． 16．用不等式表示：x减去2的差的绝对值不大于_________________． 【答案】 【提示】根据题意以及不等式的定义列不等式． 【解答】解：x减2的绝对值不大于，列式：． 故答案是：． 【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式． 17．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系： （1）是正数：_____________________； （2）是负数：_____________________； （3）不小于4：_____________________； （4）是非负数：_____________________； （5）的2倍比9大：_____________________； （6）的一半与8的和是负数：_____________________； （7）的3倍与5的和大于的：_____________________； （8）相反数是非正数：_____________________； 【答案】     >0；     <0；     ≥4；     ≥0；     2>9；     +8<0；     +5>；     -() ≤0. 【提示】读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 【解答】（1）>0；（2）<0；（3）≥4；（4）≥0；（5）2>9；（6）+8<0；（7）+>；（8）-() ≤0. 故答案为（1）>0；（2）<0；（3）≥4；（4）≥0；（5）2>9；（6）+8<0；（7）+5>；（8）-() ≤0. 【点睛】此题考查利用字母来表示题目中的不等关系，抓住大于、小于、不大于、不小于等关键字． 18．下面的式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的是：___________________；（填序号） 【答案】①②⑤ 【提示】依据不等式的定义-----用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断即可． 【解答】根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式， 所以①②⑤为不等式，共有3个． 故答案为①②⑤ 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠． 三、解答题 19．用不等式表示： （1）与5的和是正数； （2）与2的差是负数； （3）与15的和小于27； （4）与12的差大于； （5）的4倍大于或等于8； （6）的一半小于或等于3； （7）与的和不小于0； （8）与的差不大于． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） 【提示】根据语句直接列式即可． 【解答】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【点睛】此题考查列不等式，正确理解题目中的和、差、倍、分是解题的关键． 20．用不等式表示 （1）a的与一1的差是非正数．     （2）a的平方减去b的立方大于a与b的和． （3）a的减去4的差不小于-6．        （4）x的2倍与y的和不大于5． （5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【提示】根据题意以及不等式的定义列不等式． 【解答】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式． 21．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． ① x＋y；② 3x＞7；③ 5＝2x＋3；④ x2＞0；⑤ 2x－3y＝1；⑥ 52；⑦ 2＞3. 【答案】等式有③⑤，不等式有②④⑦，既不是等式也不是不等式的有①⑥. 【解答】表示相等关系的式子是等式，则等式有③⑤；表示不等关系的式子是不等式，不等式有②④⑦，既不是等式也不是不等式的有①⑥，故答案为等式有③⑤，不等式有②④⑦，既不是等式也不是不等式的有①⑥. 22．用不等式表示下列数量之间的不等关系： (1)去年某农场某种粮食亩产量是480 kg，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加； (2)如图，天平左盘放有三个乒乓球，右盘放有5 g砝码，天平倾斜，设每个乒乓球的质量为x(g)． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【提示】（1）较去年有所增加，即比去年多的意思； （2）由图可以得到放球的一边向下沉说明球的总重量比5g要大，即可得到答案. 【解答】解：（1）根据题意可知，今年该粮食作物亩产量为xkg，较去年有所增加， 则x＞480 ； （2）观察图可知，三个乒乓球的质量大于5克的砝码， 则3x＞5. 【点睛】本题考查了不等式的定义，要抓住关键词语，弄清不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $