14.3 角的平分线（第2课时）课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的平分线判定定理及三角形内角平分线性质，通过“情景激趣”导入，如小明用直尺作角平分线问题引发思考，先回顾角平分线性质定理，再交换已知与结论提出判定猜想，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如建市场到铁路公路距离相等）培养数学眼光，通过严谨的猜想证明（已知PD=PE证P在角平分线上）发展推理能力（数学思维），结合对比练习与归纳总结（性质与判定对照表）强化数学语言表达。采用问题驱动探究式教学，帮助学生构建知识体系，教师可高效开展教学，提升学生应用意识与探究能力。

人教版（2024） 八年级上册 14.3 角的平分线 （第2课时） 第十四章·全等三角形 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是什么? 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 1. 理解角平分线判定定理. 2. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 角的平分线 S 这个点应该在角的平分线 O 角平分线的判定的应用 例 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 回 顾旧知 O D P P到OA的距离PD P到OB的距离PE. P是角平分线上的点 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. A C B 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 叙述角平分线的性质定理. 不必再证全等 E 角平分线的判定 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 P A O B C D E 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB ， ∴ PD= PE. 几何语言： 猜想: 想一想 这个结论正确吗？ 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， . （全等三角形的对应角相等） OP=OP，（公共边） PD= PE，（已知 ） B A D O P E ∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 猜想证明 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 7 七彩城就梦想 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 概括总结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ， D即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 角平分线的判定的应用 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝____cm时，点P在∠AOB的平分线上． 3 3 如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是 的平分线与 的平分线的交点． ∠ABC ∠BCD 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 三角形的内角平分线 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明这个结论吗？ 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 证明结论 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 想一想 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4. (1)求点O到△ABC三边的距离和. M E N A B C P O D 过点O作ON⊥BC , OE⊥AB,垂足分别为点N，点E . 由题意得， ON + OE + OM =12. B C A P 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 15 七彩城就梦想 解：连接OC. M E N A B C P O D (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4. 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 条件 概括总结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角 平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 利用三角形的内角平分线的性质求值 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 方法点拨 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数． 概括总结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 归纳总结 概括总结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 到三角形三边距离相等的点是(　　) A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，则工厂的位置在哪里？ 解：作小河与公路夹角的角平分线BM，在BM上截取BP＝1.5 cm，则点P即为所求的工厂的位置 C 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 21 七彩城就梦想 1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P. 小区C P A O B M N 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB， ∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. E 证明： ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 G H M A B C F D 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 能力提升 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图， 直线l1，l2，l3表示三条互相交叉的公路， 现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等， 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 能力提升 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 能力提升 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 $