山东省泰安市黄前中学2025-2026学年上学期12月份九年级诊断检测数学试卷

山东省泰安市黄前中学2025-2026学年12月份九年级上 诊断检测 一、单选题 1．在直角中，，，，求为（    ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，则的值是（　　） A．0 B． C．1 D．3 4．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 5．已知，若关于的一元二次方程的解为，关于的一元二次方程的解为，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元 C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大 7．某车库入口安装的栏杆如图1所示，点是栏杆转动的支点，点是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图所示的位置（栏杆宽度忽略不计）．已知，，，米，米，则下列个车辆限高标志牌最适合该车库的是（   ）（参考数据：） A．B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（    ） A．B．C． D． 9．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，的面积为4，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D． 10．如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 11．如图，正方形的边长为2，以为直径作半圆，点P是中点，与半圆交于点Q，连结，给出如下结论：①；②；③；④，下列结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，抛物线与轴交于两点，则下列结论中：①；②；③抛物线的顶点坐标为；④若且，则．其中正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．从宋代开始，折扇逐渐进入国人的生活，由于折扇扇面多为纸质，能够绘制细腻的书面，因此在近千年来折扇广泛受到中国人特别是古代文人的喜爱，逐渐成为文人精神和追求的象征．如图，是一个折扇作品，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角；若，，则扇面（阴影）部分的面积是 ．（结果用表示） 14．如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，则的长为 ． 15．如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为 ． 16．已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表： 1 5 0 5 9 5 下列结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；④当时，的取值范围为；⑤若点，均在二次函数图象上．则．其中正确结论的序号是 ． 17．如图，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在现要安装一个遮阳棚，请根据实际计算遮阳棚的跨度的长为 米． 18．如图，AB，CD都与轴垂直，垂足分别为B，D，点C在双曲线上．若∠AOC=90°，，，则的值是 ． 三、解答题 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的关系式及点的坐标； (2)请直接写出不等式的解集______； (3)点在轴上，且，连接，求的面积． 20．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，点B为定滑轮位置，绳子固定在物体中心点C，此时测得点A到所在直线的距离．；停止位置示意图如图3，A、C运动后对应点分别为此时测得（点C、A、在同一直线上，且直线（与地面平行，图3中所有点在同一平面内）．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：） (1)求绳子的总长； (2)求物体上升的高度．（结果精确到） 21．某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元；经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量（个）与每个的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数表达式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润； (2)每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ 22．为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 3 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题， (1)填空：______，______，______； (2)请补全条形统计图； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； (4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 23．设二次函数（，是常数）． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由； (2)若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标； (3)若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围． 24．如图、为的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点，，是弧的中点，弦、相交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出面积及的值． 【详解】解：由，， 得出：， 由勾股定理得出：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质． 2．B 【分析】本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键． 一次函数，可判断、的符号；根据二次函数的图象位置，可得，． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故A错误； B、函数中，，，中，，，故B正确； C、函数中，，，中，，，故C错误； D、函数中，，，中，，，故D错误． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．将两点代入得到，则，即可判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心一点在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心一点在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，， ∴，， 设圆形工件的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴圆形工件的半径为， 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点， ∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为， ∴分别是A、B、C、D的横坐标， ∴， 故选B． 6．C 【分析】本题主要考查二次函数与销售问题，熟练掌握二次函数与销售问题是解题的关键．根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：定价70元时，利润为，故选项A正确，不符合题意； 定价元时，利润为，故选项B正确，不符合题意； 设每件降价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项C错误，符合题意； 设每件涨价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，过点作的平行线，过点作于，则，．先求出，则，然后在中，利用正弦函数的定义得出，则栏杆段距离地面的高度为：，代入数值计算即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作于， 则， ， ，， 在中，，，米， （米） 米， 米． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案． 【详解】解：①当时，一次函数图象过一、三、四象限；反比例函数图象过一、三象限； ②当k＜0时，一次函数图象过一、二、四象限；反比例函数图象过二、四象限， A．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、三象限，故该选项不正确，不符合题意； B．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，而该选项一次函数图象过一、三、四象限，故该选项不正确，不符合题意； C．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； D．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 9．B 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：点，的面积为4， ， ， 故， 将代入， ， ． 故选B． 10．B 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 11．D 【分析】①连接，，如图1．易证四边形是平行四边形，从而可得．结合，证到，从而证到，则有 ； ②连接 ，如图2，根据勾股定理可求出．易证，运用相似三角形的性质可求出，从而求出的值，就可得到 的值； ③过点作于，如图3．易证，运用相似三角形的性质可求出，从而可求出的值； ④过点作于，如图4．易得，根据平行线分线段成比例可得，把代入，即可求出，然后在中运用三角函数的定义，就可求出的值． 【详解】①连接，，如图1． 易证四边形是平行四边形，从而可得． 结合，可证到，从而证到≌， 则有． 故①正确； ②连接，如图2． 则有，． 易证， 运用相似三角形的性质可求得， 则， , 故②正确； ③过点Q作于H，如图3． 易证∽， ， ， ． 故③正确； ④过点Q作于N，如图4． 易得， 根据平行线分线段成比例可得， 则有， 解得：． 由，得． 故④正确． 综上所述：正确结论是①②③④． 故答案为：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理，解题关键在于利用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系． 12．C 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，由图像确定式子的符号等知识，审清题意读懂函数图像，逐一判断即可解答，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线开口向上，则， 根据对称轴的“左同右异”可得， 根据抛物线与轴交于负半轴，可得， ，故①错误； 根据图象可得抛物线与轴交于点， 可得对称轴为直线， 则， ，故②正确； 把代入抛物线可得，则， ， 把代入抛物线可得， 抛物线的顶点坐标为，故③正确； ， ， 令，则该抛物线的对称轴为， 若，即， ， ，故④正确； 故正确的为②③④， 故选：C． 13． 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式，用大扇形的面积减去小扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积是 ． 故答案为：． 14． 【分析】证明，得出，证，从而求出，则可得出答案． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 15．12+15π 【详解】试题分析：由几何体的三视图可得：该几何体是长方体、两个扇形和一个矩形的组合体，该组合体的表面积为：S=2×2×3+×2+×3=12+15π，故答案为12+15π． 16．①②③⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、利用待定系数法求二次函数的表达式以及二次函数和一元二次方程的关系等知识，熟练掌握其性质并灵活运用是解题的关键． 利用待定系数法求得二次函数的表达式即可求得①②，利用根的判别式即可判断③，利用二次函数的性质即可判断④，求得两个点的横坐标的平均数和顶点横坐标作比较，即可判断⑤． 【详解】解：把，，代入得： ，解得， ，故①正确，符合题意； ，故②正确，符合题意； ， 整理，得： ， ， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故③正确，符合题意； ， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，当时，， ， ∴抛物线开口向下，顶点纵坐标为最大值， ∴当时， 的取值范围为，故④错误，不符合题意； 等于顶点横坐标， ，故⑤正确，符合题意． 故答案为：①②③⑤． 17．2 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，过点M作垂线交于点E，交于点F，根据的高度为米，，可以得到，再进一步即可求出的长度，即遮阳棚的跨度； 【详解】解：过点M作的垂线交于点E，交于点F，如图： 则，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴小明家所需的遮阳棚的跨度长为； 故答案为：2 18．-4 【分析】证明△COD∽△OAB，根据相似三角形的性质求出，然后利用反比例函数系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：∵AB⊥x轴，CD⊥x轴， ∴∠ABO＝∠CDO＝90°， ∴∠AOB＋∠OAB＝90°， ∵∠AOC＝90°， ∴∠COD＋∠AOB＝90°， ∴∠COD＝∠OAB， 又∵∠ABO＝∠CDO＝90°， ∴△COD∽△OAB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 故答案为：－4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 19．(1)； (2)或 (3)24 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）先求出值，再求出值得到反比例函数解析式，联立方程组求出点坐标即可； （2）数形结合，直接写出不等式的解集即可； （3）当点在轴负半轴时，计算出的面积即可． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于， ， ， ， 反比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得，， ． （2）解：如图，根据函数图象可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． （3）解：由一次函数可知， 由勾股定理可得， 当在轴正半轴时， ，， ； 当点在轴负半轴时，，故此情况不存在， 综上分析，的面积为． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数的应用，勾股定理． （1）根据三角函数求出，根据勾股定理求出，相加即可； （2）根据三角函数求出，由题意得，求出，进而根据即可求出物体上升的高度． 【详解】（1）解：由题意得，， ，， 在中，由，得：， ， 在中，由勾股定理得，， 绳子总长， 答：绳子总长为； （2）解：在中，， ， ， 由题意得，， ， ， 答：物体上升的高度约为． 21．(1)，当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元 (2)要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用． （1）设，由题意知，图象过，两点，待定系数法求得解析式为，当时，，解得，根据利润为：，计算求解即可； （2）由题意得，，即，设每天的销售利润为W（元），依题意得， ，然后根据二次函数的图象与性质求解作答即可． 【详解】（1）解：设， 由题意知，图象过，两点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得， 利润为：（元）， ∴当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元； （2）解：由题意得，， 解得， 设每天的销售利润为W（元）， 依题意得， ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为， ∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元． 22．(1)91，92.5，90 (2)图见解析 (3)八（1）班的成绩更好一些，理由见解析 (4) 【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，利用方差判断稳定性，列表法求概率： （1）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行计算即可； （2）根据数据描述画出条形图即可； （3）利用中位数和众数进行判断即可； （4）用表示（1）班的3个满分学生，表示（3）班的2个满分学生，列出表格进行求解即可． 【详解】（1）解：； 将八（1）的数据排序后，第10个和第11个数据为， ∴， 八（3）班的数据出现次数最多的为：90， ∴； （2）由题可知，八（3）班90分的人数为7人，95分的人数为6个，补全条形图如图： （3）八（1）班的成绩更好一些，理由如下： 两个班级成绩的平均数相同，八（1）班的中位数和众数均比八（1）班的高，故八（1）班的成绩更好一些； （4）用表示（1）班的3个满分学生，表示（3）班的2个满分学生，列出表格如下： A B C D E A A，B A，C A，D A，E B B，A B，C B，D B，E C C，A C，B C，D C，E D D，A D，B D，C D，E E E，A E，B E，C E，D 共20种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有8种， ∴． 23．(1)二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个，见解析 (2)， (3)或且 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的图像和性质等知识． （1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式求解即可． （2）由对称轴得出，代入函数解析式即可求出次函数为，然后求出当时，必的值即可得到函数图象与x轴交点的坐标； （3）由已知可知二次函数与x轴交点为、，根据一元二次方程根与系数的关系可得，结合．得，在分类讨论，即可得出结论． 【详解】（1）解：设  ∴， ∵ ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根． ∴二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个． （2）解：∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴二次函数为， 令，则， 解得，， ∴这个函数图象与轴交点的坐标为， （3）解：∵，在这个函数的图象上，且． ∴，即， 当时，，得二次函数与轴交点为、， ∴ 当时，由，得，即，即． 当时，由，得，即，即． ∴或且． 24．(1)； (2)． 【分析】（）根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即，得出，进而计算即可得出答案； （）连接，根据圆周角定理，得出，再根据中点的定义，得出，再根据圆周角定理，得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出． 【详解】（1）解：∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵是直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，等边对等角、圆周角定理及其推论，含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $