精品解析：2026届贵州省遵义市第四中学高三模拟预测数学试题（一）

遵义市第四中学高三模拟测试数学试卷（一） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷 客观题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 实数a，b满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数乘法计算化简，再结合复数相等列式求解. 【详解】由得， 解得，所以． 故选：D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，即可求出结果. 【详解】，. 故选：C 【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题. 3. 设等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. 90 B. 180 C. 45 D. 135 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】解：因为， 所以. 故选：A. 4. 已知平面向量，的夹角为，且满足， ，则下列说法错误的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义、运算律、向量模长及夹角计算公式计算可得. 【详解】对于A，因为平面向量，的夹角为，且满足，， 所以，故A正确； 对于C，，故C正确； 对于B，因为，， 所以，又， 所以，故B错误． 对于D，由A知，则，故D正确； 故选：B． 5. 用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（ ） A. 24个 B. 48个 C. 60个 D. 72个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法原理，先安排个位数字，再安排余下的4个位置． 【详解】根据题意，先安排个位数字，在3和5中选一个共有种， 再安排余下的4个位置，有种， 所以组成无重复数字的五位数，不同的奇数共有种． 故选：B． 6. 如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点,连接，证明平面，即得即直线MN与平面所成角，解三角形即得. 【详解】 如图，取的中点,连接,因是的中点，故, 又因正方体中，平面,故平面, 即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角， 因是的中点,故,易得，, 即直线MN与平面所成角为. 故选：B. 7. （ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数运算法则以及对数运算法则求解即可. 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查指数运算法则以及对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 8. 已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可设直线的方程为，设，利用韦达定理可得，再结合抛物线的定义可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】由抛物线：可知焦点为， 当直线的斜率为0时，; 当直线斜率不为0时，设直线的方程为， 由，得， 设，则， 由抛物线的定义可知 ∴， ∴， 当且仅当时取等号. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（ ） A. 函数在内一定不存在最小值 B. 函数在内只有一个极小值点 C. 函数在内有两个极大值点 D. 函数在内可能没有零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对AB，设的根为，且，进而分析函数的单调性与极值和最值即可；对C，根据导数确定原函数的极值点即可；对D，举反例判断即可. 【详解】对AB，设的根为，且，则由图可知， 函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增， 在内单调递减，所以函数在区间内有极小值， 当时，是函数在区间内的最小值， 所以A错误，B正确； 对C，函数在区间内有极大值，所以C正确； 对D，当时，函数在内没有零点，所以D正确． 故选：BCD． 10. 若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 直线的方程为 C. 圆上的点到直线距离的最大值为 D. 圆上存在两点P，Q，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，将点带入圆即可；对于B，圆与圆方程相减即可；对于C，由圆心到直线的距离再加半径2即可；对于D，直线经过圆的圆心，圆中不存在比长的弦. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，故A错误； 对于B，圆与圆交于两点， 因为圆和圆相交，将两圆相减可得：， 即公共弦所在直线的方程为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确； 对于D，直线经过圆的圆心， 所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合函数图象依次求出,再根据选项，分别运用代入检验对称性，利用奇偶性定义判断函数奇偶性，利用伸缩变换得到新函数逐一判断即得. 【详解】由图可得，，，解得，故A正确； 又函数图象经过点，则，即， 因，故，解得，故. 对于B，当时，，此时函数取得最小值，故B正确； 对于C，，是奇函数，故C错误； 对于D，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 将得到函数的图象，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若一个正四棱柱的表面积为64，高为2，则该正四棱柱的外接球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据表面积列出方程可求得底面正方形边长，进一步可求得外接球半径，结合球的体积公式即可得解. 【详解】设正四棱柱的底面正方形的边长为， 则，解得或（舍去）， 而正四棱柱的外接球的直径为正四棱柱的体对角线， 所以该正四棱柱的外接球的半径为， 所以该正四棱柱的外接球的体积为. 故答案为：. 13. 函数的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】， 当即即时， 取得最大值，且最大值为. 故答案为： 14. 设O是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若，，则该椭圆的离心率是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用对角线相互平分判断四边形为平行四边形，利用，中的余弦定理，面积公式列方程，得关于，，的方程，构造出离心率，求解即可. 【详解】 由题意，点P关于O的对称点是Q，所以点是线段的中点， 根据椭圆的对称性知，点是线段（为椭圆的右焦点）的中点， 则四边形为平行四边形； 由，得，则， 在平行四边形中，由，得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 由题意，， 又， 所以，则，即， 得，所以离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，求△的面积S的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而可得C的大小； （2）由余弦定理可得，根据基本不等式可得，由三角形面积公式求面积的最大值，注意等号成立条件. 【小问1详解】 由正弦定理知：， ∴，又， ∴，则，故. 【小问2详解】 由，又，则， ∴，当且仅当时等号成立， ∴△的面积S的最大值为. 16. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】 （1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为，是的中点， 所以、、、、、、， ，. 设平面的法向量为，由， 令，则，，所以. 因为，所以， 因为平面，所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面的法向量. 又平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 17. 已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． （1）求的方程； （2）讨论过点的直线与的交点个数． 【答案】（1） （2） 当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线和等边三角形的对称性进行求解即可； （2）根据直线是否存在斜率，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． 【小问2详解】 若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 18. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. （1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 P ，期望为 （2）的分布列为： 0 1 2 3 P ，期望为，方差为【解析】 【分析】由题可知服从超几何分布，c的取值为0，1，2，则易求的分布列和数学期望； 由题意可知服从二项分布，且，计算即可求得随机变量的分布列和数学期望． 【小问1详解】 由题意知，的值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P ； 【小问2详解】 由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且， ， 的分布列为： 0 1 2 3 P . 19. 已知函数. （1）若在处取得极值，求实数的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）条件可转化为为的变号零点，列关系式求； （2）条件可转化为恒成立，利用导数求函数的最小值可得结果. 【小问1详解】 因为在处取得极值，所以为的变号零点， 函数的定义域为，导函数， 所以，得. ，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为. 【小问2详解】 因为，所以可转化为，即恒成立. 令，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第四中学高三模拟测试数学试卷（一） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷 客观题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 实数a，b满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. 90 B. 180 C. 45 D. 135 4. 已知平面向量，的夹角为，且满足， ，则下列说法错误的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 5. 用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（ ） A. 24个 B. 48个 C. 60个 D. 72个 6. 如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 75° 7. （ ） A. B. 6 C. D. 9 8. 已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（ ） A. 函数在内一定不存在最小值 B. 函数在内只有一个极小值点 C. 函数在内有两个极大值点 D. 函数在内可能没有零点 10. 若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 直线的方程为 C. 圆上的点到直线距离的最大值为 D. 圆上存在两点P，Q，使得 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若一个正四棱柱的表面积为64，高为2，则该正四棱柱的外接球的体积为______. 13. 函数的最大值为__________． 14. 设O是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若，，则该椭圆的离心率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，求△的面积S的最大值. 16. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． （1）求的方程； （2）讨论过点的直线与的交点个数． 18. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. （1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 19. 已知函数. （1）若在处取得极值，求实数的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $