重庆市部分校2025-2026学年高二上学期12月考试数学试题

重庆高二数学考试 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D B A C D A D C AD ABD ACD 12.x+3y-1=0 【详解】以线段AB为直径的圆的方程为x(x一1)十y(y一3)=0，故直线MN的方程为x+ 3y-1=0. 13.53 9 【详解】以A为坐标原点，AB,AD,AA的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向建立空间直 角坐标系（图略），易得平面B,CD,的一个法向量为m=(1,1,1).又P(号，0,0），C户= 5 (-号，-1.o）,所以点P到平面B,CD,的距离d=m,C市-三-5 m 14.3 【详解】设P(x).Q(-,-)P（1,-,A(,-号)，k=,a= 网Aa宫 3 2x1 a?s a2 3e= b2√6 1 31 15.解：(1).直线l1的方程为a.x十y十a一1=0，∴.直线l1的斜率k=一a.…2分 又a>0,.k<0.…4分 .当k<0时，3∈(90°，180)， ∴.直线l1的倾斜角3∈(90°，180).… 6分 (2).l1∥l2,∴.a·a-1X4=0,… 8分 解得=士2.… 10分 .当a=2时，l1:2x十y十1=0与l2:4x十2y十2=0重合，… 12分 ∴.当l1/∥儿2时，a=一2.… …13分 16.(1)证明：取PB的中点H,连接EH,HC,AF,AC. …1分 E,H分别为PA,PB的中点， EH LAB. …2分 又，G为DC的中点且四边形ABCD为菱形， CGAB..CGLEH, .四边形EHCG为平行四边形，∴.EG∥HC.·4分 又，EG中平面PBC,HCC平面PBC, .EG/平面PBC.…6分 (过EG作平行平面或在平面PBC中找一条平行直线都按步骤给分) (2)解：已知∠ABC=60°，且四边形ABCD为菱形. ,F为BC的中点，∴.AF⊥BC,AF⊥AD .PA⊥平面ABCD,∴.PA⊥AF,PA⊥AD, ∴.以A为原点，AF,AD,AP所在直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， …8分 E.0.D.F5.0.0.c()c(.10. i=50,-1.成-（停多-1）.B-61.-1.…10分 设平面EFG的法向量为n=(a,b,c), E苹.n=0 3a-c=0, 令a=√3，则b=1,c=3,.n=(W3,1,3).…13分 EG.n=0, 即3。 、 设直线EC与平面EFG所成的角为O, ∴.sin0=|cos(EC,n)l= EC·n|=6丽 ECI 65 即直线EC与平面EFG所成角的正弦值为 65 15分 17.解：(1)因为圆C经过A(-1,2),B(1,0)两点， 所以线段AB的中垂线为x一y十1=0. …2分 设圆C的圆心为(t,2t),则t=1, …4分 故圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=4. 6分 (2)当圆C的面积最小时，圆C的方程为x2十(y一1)2=2. …8分 设切点为M.当直线PM的斜率不存在时，直线PM的方程为x=√2， 此时直线PM与圆C相切；… 10分 当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为y-3-√2=k(x一√2)，…11分 则圆C的圆心C0,1)到直线PM的距离d=N2k一2二2-2，解得=1，…13分 √1+k 所以直线PM的方程为x一y十3=0.…14分 综上，切线PM的方程为x=√2或x一y十3=0. 15分 18.(1)证明：因为四棱柱ABCD-A1B,C1D1为直四棱柱， 所以平面ABCD⊥平面ABB1A1,且交线为AB, 又因为BC⊥AB,且BCC平面ABCD,所以BC⊥平面ABB1A1·…1分 因为AEC平面ABB1A1,所以BC⊥AE.…2分 又因为ABB1A1为正方形，所以AB⊥AE.…3分 因为BCC平面A1BC,A1BC平面ABC,且BC∩A1B=B,所以AE⊥平面A1BC 又EFC平面A1BC,所以AE⊥EF.…4分 (2)解：以B为原点，BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐 标系，则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(3,2,0),C(0,2,0),E(1,0,1), A B 则AA1=(0,0,2),AD=(1,2,0).…6分 设平面ADD1A1的法向量为n=(x,y,之)， F AA1·n=0,2z=0, A 所以 即〈 AD.n=0, x十2y=0, 取x=2,得y=一1，之=0，所以n=(2,-1,0).…8分 设A1F=λA1C=入(-2,2，-2)=(-2A,2,-2), 则点F(2-2λ，2,2-2)，所以EF=(1-2λ，2,1-2). 令E求.n=0,即2(1-2x)-2入=0，得入=3 1 …10分 (3)解：由(2)得|cos(EF,n)= |2-4λ-2λ 10 5·√(1-2λ)2+42+(1-2λ)2 5 解得入或入=0（舍去.……12分 当x-时成-（一日青-）a正=(-101 设平面AEF的法向量为m=(x',y',之'). EF·m=0, 由 得 +-=0 AE.m=0, -x'+z'=0, 取x'=2,得y'=1,z=2,所以m=(2,1,2). 14分 易得平面ABCD的一个法向量为1=(0,0,1).…15分 设平面AEF与平面ABCD所成的角为0， m·u 2 cos 0= 2 1mu√4+1+43 2 故平面AEF与平面ABCD所成角的余弦值为 … 17分 a2-b2=2, 1a=2, 19.解：(1)由题设可得2b2 解得 =2, b=√2， a 所以椭圆C的标准方程为看+之 2 =1.…3分 (2)(1)(方法一)根据题意，直线AB的斜率存在，且斜率k=二 …4分 x1一C2 所以直线AB的方程为y=k(x一x1)十y,…5分 则点O到直线AB的距离d=y一xk-z1y一xy ……6分 W1+k2 |x1-x2W1+k2 又1AB1=十1x1-1,,所以S=2AB·d=号1-..7分 (方法二)由题意知直线OA的方程为y1x一x1y=0,则点B到直线OA的距离d= ,且lOA1=√+，所以Sae=21OA1·d=2xg-x Vxi+yi …7分 (方法三)由面积公式，且A(x1y1),B(x2,y2),O(0,0), 得S=号z1(0g-0)+x:0-)+0(g1-g1=21z1y2-x.…7分 x2+2y2=4, (i)设直线AB的方程为y=kx十m,由 得(2k2+1)x2+4km.x+2m2-4= y=kx十m, 0,所以△>0，由韦达定理得x1十x2= Akm 2m2-4 2k2+1x1x=2k+1.0 …8分 又由题意知之·兰=-之，即1，十2y=0,所以2k十1Dz1,十2%ma,十x)十2m =0.② …9分 将①式代入②式整理得m2=2k2+1,即G1十x,=一46 力2，无1x2=2—=2、4 7m2 …10分 设P(ow),由0知S=（1w-x)=}(i6-2%n十xi,…1分 S号-a0-yg）-子（i8-2zy%ry+r69, …12分 所以S+S8=[(xi+x)6+(i+y)x6-2z1y+xy)门 …13分 为x+x=(z十无2)-2工1x2=-2(2-3=4,…14 听+=(2-2）十(2-）=4-2+x)=2,…15分 所以x1y1十x2y2=k(x星十x)十m(x1十x2)=4-4k=0,…16分 所以5+s=4+2x.又因为平+艺-1，所以s+5=2…17分 重庆高二数学考试 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 直线 的倾斜角为 A. B. C. 60° D. 2. 双曲线 的渐近线方程为 A. B. C. D. 3. 已知椭圆 ,则该椭圆上的点到 的距离的最小值为 A. 2 B. 4 C. D. 4. 若点 在圆 上运动,且点 与点 所连线段的中点为 ,则点 的轨迹方程为 A. B. C. D. 5. 已知 ,则点 到直线 的距离为 A. 3 B. 2 C. 5 D. 6. 已知平面内有四点 ,其中 三点不共线,且 为平面 内一点,若 ,则 A. B. C. D. 7. 某数学兴趣小组在研究对称问题时, 发现从某个角度观察篮球 (如图 1), 可以得到一个对称的平面图形,如图 2 所示,篮球的外轮廓为圆 ,将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线. 若双曲线与圆 的交点将圆 的周长四等分,且双曲线与圆 的直径 的交点 将 三等分,则该双曲线的离心率为 图 1 图 2 A. B. C. D. 8. 已知平面内两点 若在直线 上存在点 ,满足 ,则 的最大值为 A. B. C. D. 二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目 要求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知抛物线 上两点 为 的焦点,则下列说法正确的是 A. 抛物线 的准线方程为 B. 若直线 过点 ,则 C. 若 为坐标原点, ,则直线 恒过定点 D. 若直线 过点 ，则以线段 为直径的圆与 的准线相切 10. 设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 为空间中的三个点，若 为直线 与平面 的公共点，且存在实数 ，使得 ，则下列说法正确的是 A. 点 在直线 上 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则直线 11. 下列命题正确的是 A. 已知圆 ，直线 ，则直线 与圆 相交或相切 B. 若点 在圆 外,则 或 C. 由动点 向圆 引两条切线 ，切点分别为 ， ，若四边形 为正方形,则动点 的轨迹方程为 D. 设直线系 ,则 中存在两条直线的距离为 4 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知 ,以线段 为直径的圆与圆 相交于 两点,则直线 的方程为_____▲_____. 13. 已知正方体 的棱长为 1,若 ,则点 到平面 的距离为_____▲_____. 14. 已知椭圆 为坐标原点，直线 与椭圆 交于 两点， 点 关于 轴的对称点为 ，且 ，若直线 与椭圆 交于点 ，且 ，则椭圆 的离心率为_____▲_____. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知直线 ，直线 . (1)当 时,求直线 的倾斜角 的取值范围; (2)当 时，求实数 的值. 16. (15 分) 如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为菱形， ， 分别为 的中点. (1)证明: 平面 . (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 17. (15 分) 已知圆 经过 两点. (1)若圆 的圆心在直线 上,求圆 的方程； (2)已知点 ，当圆 的面积最小时，求过点 的切线方程. 18.(17 分) 如图，在直四棱柱 中， ， 是 的中点， 是线段 上不与端点重合的动点. (1)证明: . (2)若点 满足 ，且直线 平面 ，求 的值. (3)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值. 19. (17 分) 在平面直角坐标系中, 椭圆是具有对称美和丰富几何性质的圆锥曲线, 对于平面内的三点 的面积 . 结合所学圆锥曲线知识完成下列问题:已知椭圆 的右焦点为 ,过点 且与 轴垂直的直线与该椭圆相交于 两点, . (1)求椭圆 的标准方程. (2)已知 为椭圆 上的两点， 为坐标原点. (1)若 的面积为 ，证明: . (ii) 设直线 的斜率分别为 ,且 . 若 为椭圆 上异于 , 的动点,记 的面积分别为 ,试探究 是否为定值. 若是定值,求出该定值; 若不是定值,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $