福建省厦门第六中学2023-3024学年高二上学期12月月考数学试题

2023年12月福建厦门第六中学高二上学期月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1.  在等差数列中，若，则公差（       ） A． B． C． D． 2.   若点，已知的方向向量为，则实数的值为（       ） A． B． C． D． 3.  已知圆与直线相切，则（       ） A． B． C．，或 D．，或 4.  蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（       ） 　　 A． B． C． D． 5.  如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（       ） 　　    A．5 B．3 C． D． 6.  已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则点到轴的距离为（       ） A． B． C． D． 7.   已知是数列的前项和，且满足，，则=（       ） A． B． C． D． 8.  已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（       ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分. 9.  方程表示的曲线中，可以是（       ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 10.  已知等差数列 是递减数列，且满足的前项和为，下列选项中正确的是（       ） A． B．当时，最大 C． D． 11.  某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为万元．（取，），则下列叙述正确的是（       ） A． B．数列的递推关系是 C．数列为等比数列 D．至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标 12.  如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则（       ） 　　 A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面 C．当时，的最大值为1 D．当时，的最小值为0 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.   已知等比数列的前项和为，，且，则  . 14.  若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则的倾斜角等于  ． 15.   已知抛物线的顶点为，焦点为，且经过点，若，则  . 16.  下列给出的图形中，每个图案均由若干个星星组成，记第个图案中星星的个数是，由，，，，可推出   　　    四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.  等比数列的公比为2，且成等差数列. (1) 求数列的通项公式； (2) 若，求数列的前项和. 18.  已知圆与圆相交于，两点． (1) 求公共弦的长 (2) 求圆心在直线上，且过，两点的圆的方程 19.  已知是圆：上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点M满足，记点的轨迹为． (1) 求的方程； (2) 若，是上两点，且线段的中点坐标为，求的值． 20.  已知数列满足，（）． (1) 求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： (2) 记，为数列的前n项和，若对任意的正整数n都成立，求实数的取值范围． 21.  如图，在三棱柱中，，，，分别为，的中点，且平面， 　　 (1) 求棱的长度： (2) 若，且的面积，求平面与平面的夹角的余弦值． 22.  已知，为双曲线的焦点，点在上． (1) 求的方程； (2) 点，在上，直线，与轴分别相交于，两点，点在直线上，若＋，，证明：存在定点，使得为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年12月福建厦门第六中学高二上学期月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1.  在等差数列中，若，则公差（       ） A．2 B．4 C．3 D．5 【解析】 　　根据等差数列通项公式列出方程组求解即可. 　　因为， 　　所以，. 　　故选：B. 2.  若点，已知的方向向量为，则实数的值为（       ） A． B． C．2 D． 【解析】 　　的方向向量坐标为，即.又也是的方向向量，. 3.  已知圆与直线相切，则（       ） A． B． C．，或 D．，或 【解析】 　　由直线与圆相切，根据即可求得，要注意斜率为0的情况. 　　将化为标准形式为，所以圆心，半径，因为与直线相切，当时，不合题意；当时，由得，. 　　故选：A 4.  蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（       ） 　　 A． B． C． D． 【解析】 　　确定每段圆弧的中心角是，第段圆弧的半径为，由弧长公式求得弧长，然后由等差数列前项和公式计算． 　　由题意每段圆弧的中心角都是，第段圆弧的半径为，弧长记为， 　　则， 　　所以． 　　故选：D． 5.  如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（       ） 　　    A．5 B．3 C． D． 【解析】 　　以为一组基底，表示求解. 　　解：以为一组基底， 　　则， 　　， 　　， 　　， 　　， 　　， 　　， 　　所以. 　　故选：D 6. (1)   已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（       ） A．1 B． C． D．2 【解析】 　　先根据题意得到，然后利用余弦定理求得，接着求，最后利用三角形面积公式即可得到答案 　　由椭圆可得， 　　所以，，所以， 　　所以在中，， 　　因为，且， 　　所以， 　　设的坐标为，且， 　　所以， 所以点P到y轴的距离为， 　　故选：C 7.  已知是数列的前项和，且满足，，则=（       ） A． B． C． D． 【解析】 　　求出的值，由可得出，分析可知数列从第二项开始成以为公比的等比数列，由此可求得的值. 　　由已知可得， 　　当时，由可得，两式作差可得，则，又， 　　所以，数列是从第二项开始以为公比的等比数列， 　　则. 　　故选：A. 8.  已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（       ） A． B． C． D． 【解析】 　　利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合，借助勾股定理进行运算即可. 　　根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：， 　　又因为，且分别为，的中点，所以, 　　所以到渐近线的距离为， 　　所以，，结合，可得：① 　　因为，所以即， 　　整理得：，将①代入，，所以. 　　故选：C. 　　 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分. 9.  方程表示的曲线中，可以是（       ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 【解析】 　　根据圆锥曲线方程的含义一一分析即可. 　　因为，则该曲线不表示圆，故C错误； 　　若，即时，方程表示的曲线是双曲线，故A正确； 　　若，即时，方程表示的曲线是椭圆，故B正确； 　　该方程为二元二次方程，则不可能表示抛物线，故D错误； 　　故选：AB. 10.  已知等差数列 是递减数列，且满足的前项和为，下列选项中正确的是（       ） A． B．当时，最大 C． D． 【解析】 　　由题意首先得出，从而判断A，进一步根据等差数列前项和判断BCD三个选项. 　　由题意等差数列 是递减数列，且满足，所以， 　　从而，故A正确；而，所以当且仅当或时，最大，故B错误； 　　由B选项分析可知，故C正确；因为，故D错误. 　　故选：AC. 11.  某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为万元．（取，），则下列叙述正确的是（       ） A． B．数列的递推关系是 C．数列为等比数列 D．至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标 【解析】 　　根据题意可得，，利用数列分析运算． 　　根据题意：经过1年之后，该项目的资金为万元，A正确； 　　，B不正确； 　　∵，则　　即数列以首项为1200，公比为1.2的等比数列，C正确； 　　，即　　令，则　　至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍），D正确； 　　故选：ACD． 12.  如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则（       ） 　　 A．存在点，使得平面 B．存在点，使得平面 C．当时，的最大值为1 D．当时，的最小值为0 【解析】 　　利用线面垂直的判定定理判断选项A;利用线面垂直的判定定理证明选项B；根据时，得，进而确定在平面内的轨迹是以为圆心，圆心角为，半径为1的圆弧，设即可得，，利用三角函数讨论最值即可求解. 　　对于A：由题意得在正方形的内部（包括边界）， 　　在正方体中，平面， 　　若平面，则在直线上，不符合题意，A错误． 　　对于B：如图，当与重合时，连接． 　　是正方形， 　　平面平面， 　　平面　　平面平面． 　　是正方形， 　　平面平面， 　　平面　　平面平面． 　　平面　　平面B正确． 　　 　　对于CD：如图，当时，得， 　　则在平面内的轨迹是以为圆心，圆心角为，半径为1的圆弧， 　　设　　则有，得，得， 　　， 　　由，得， 　　则，C正确，D错误． 　　 　　故选:BC. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.   已知等比数列的前项和为，，且，则  . 【解析】由题意知，继而利用等比数列的前项和为的公式代入求值即可.解：由题意知，所以. 　　故答案为：. 本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题. 14.   若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则的倾斜角等于  ． 【解析】试题分析：取直线上的点，则点到直线的距离，所以直线与的距离为，结合题意得，．又直线得斜率，令直线m的斜率为，则，所以．由得，． 　　考点：两平行线间的距离；直线垂直的判定；直线斜率与倾斜角的关系式． 　　点评：本题的突破口是先求出两条平行线间的距离，然后判断直线间的位置关系． 15.   已知抛物线的顶点为，焦点为，且经过点，若，则  . 【解析】 　　结合抛物线的定义与几何性质建立关系，即可求得. 　　 　　因为点在抛物线上，， 　　所以，所以，所以，所以，解得. 　　故答案为：. 16.   下列给出的图形中，每个图案均由若干个星星组成，记第个图案中星星的个数是，由，，，，可推出（       ） 　　    【解析】 　　由题得，然后列出等式，相加即可. 　　由题得，所以 　　， 　　， 　　　　… 　　， 　　将上述等式相加得，所以， 　　 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.  等比数列的公比为2，且成等差数列. (1) 求数列的通项公式； 【解析】 　　已知等比数列的公比为2，且成等差数列， 　　， ， 解得， 　　； (2) 若，求数列的前项和. 【解析】 　　， 　　. 　　； 　　综上， 18.  已知圆与圆相交于A，两点． (1) 求公共弦的长 【解析】 　　由两圆方程相减即得，此为公共弦所在的直线方程， 　　由， 　　即圆心，半径， 　　则到直线的距离为， 　　公共弦长； (2) 求圆心在直线上，且过A，两点的圆的方程 【解析】 　　法一、由或， 　　不妨令，， 　　中点为， 　　易知，则中垂线的斜率为， 　　中垂线的方程为， 　　由， 　　即圆心为，半径， 　　∴所求圆的方程为； 　　法二、圆的圆心不在上，符合题意的圆不是圆， 　　设所求的圆的方程为， 　　即， 　　圆心为，在上， 　　代入可得， 　　所求圆的方程为. 19.  已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E． (1) 求E的方程； 【解析】 　　设，则， 　　因为，则， 　　因为P在圆C上，所以， 　　故E的方程为． (2) 若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值． 【解析】 　　设，， 　　若A，B是E上两点，则， 　　两式相减得，即． 　　因为线段AB的中点坐标为，所以， 　　所以，则直线AB的方程为． 　　联立方程组，整理得，其中， 　　则，， 　　． 20.  已知数列满足，（）． (1) 求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： 【解析】 　　因为，得到， 　　所以为常数， 　　又，所以， 　　故数列是公差为，首项为的等差数列， 　　由，得到， 　　所以数列的通项公式为. (2) 记，为数列的前n项和，若对任意的正整数n都成立，求实数的取值范围． 【解析】 　　由（1）知，， 　　所以， 　　， 　　由对任意的正整数n都成立，得到， 　　又，当且仅当，即时取等号， 　　所以，得到, 　　所以，实数的取值范围为. 21.  如图，在三棱柱中，，，E，F分别为，的中点，且平面， 　　 (1) 求棱的长度： 【解析】 　　取的中点D，连接， 　　在三棱柱中，可得，且， 　　四边形为平行四边形，则， 　　又平面，平面， 　　∵平面， 　　， 　　又D为的中点， 　　为等腰三角形， 　　∵，，则； (2) 若，且的面积，求平面与平面的夹角的余弦值． 【解析】 　　由（1）知，，， 　　平面，所以， 　　故， 　　由（1）知，平面，平面， 　　则， 　　又三棱柱中，∴　　又，∴， 　　∵又平面， 　　平面， 　　三棱柱为直三棱柱， 　　∴为直角三角形，可得， 　　又在三棱柱中，，， 　　以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 　　 　　则， 　　, 　　设平面的一个法向量为　　则，令，则，， 　　平面的一个法向量为， 　　易得平面的一个法向量为　　设平面与平面的夹角为， 　　， 　　平面与平面的夹角的余弦值为. 22.  已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上． (1) 求C的方程； 【解析】 　　设双曲线C的方程为，　　由题意知\left\{ \begin{matrix} c=\sqrt{6} \\ \frac{4}{{{a}^{2}}}-\frac{1}{{{b}^{2}}}=1 \\ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=6 \\ \end{matrix} \right.，解之得\left\{ \begin{matrix} a=\sqrt{3} \\ b=\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.， 　　∴双曲线C的方程为 (2) 点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值． 【解析】 　　设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1） 　　\left\{ \begin{matrix} y=kx+m \\ {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=3 \\ \end{matrix} \right.，整理得\left( 1-{{k}^{2}} \right){{x}^{2}}-2kmx-{{m}^{2}}-3=0， 　　则，，　　∴直线PA方程为， 　　令，则，同理N（0，）， 　　由，可得　　∴　　　　∴　　∴　　∴　　∴　　∴，　　当时，， 　　此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能 　　∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3） 　　∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2） 　　∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $