专题6.2.1 向量基本定理（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

本高中数学讲义聚焦向量基本定理核心知识点，先通过共线向量定理梳理向量共线的充要条件及三点共线的向量表示结论，再延伸至平面向量基本定理，构建从特殊到一般的向量分解学习支架，帮助学生逐步掌握基底概念与向量线性表示方法。 资料亮点在于题型分层设计，从基础的基底判断到综合的三点共线参数求解，结合即学即练与变式训练，培养学生的抽象能力和推理意识。课中助力教师突破定理双向性等重难点，课后通过多样化练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升向量应用能力。

专题6.2.1向量基本定理 教学目标 1．深入理解共线向量定理的核心内涵，准确把握“存在唯一一个实数λ”的充要条件，熟练掌握三点共线的两个向量表示结论，能结合具体情境运用定理判定向量共线及三点共线。 2．全面掌握平面向量基本定理的完整内容，明确“同一平面内”“两个不共线向量”“有且只有一对实数”的关键限定，深刻理解定理所体现的向量分解思想。 3．能精准判断一组向量是否满足基底的“不共线”要求，熟练运用平面向量基本定理，将平面内任意给定向量规范分解为指定基底的线性组合，确保分解结果准确。 教学重难点 重点： 共线向量定理的双向性，三点共线两个向量结论的逻辑推导与适用场景，以及实际应用方法。 难点： 1．共线向量定理中实数λ的求解方法，尤其是结合图形或已知向量关系时精准计算λ，避免忽略“唯一性”和“非零向量”的隐含条件。 2．针对具体问题情境合理选择合适的基底，深刻理解“基底确定则分解式唯一”的内涵，灵活解决复杂图形中向量的分解与线性表示问题。 知识点01 共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 【即学即练】 1．设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，， 则， 又，，三点共线， 则与共线，， 即，解得， 故选：D. 2．已知，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由向量，共线，得，而向量，不共线， 因此，解得. 故选：D 知识点02 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 【即学即练】 1．（多选）若是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为是平面内的一个基底，所以不共线， 对于A，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于B，因，所以与共线，不能作为基底； 对于C，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于D，因不共线，与不共线，所以可以作为基底.. 故选：ACD 2．在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】四边形ABCD 为平行四边形， 所以，, 所以. 故选：C 题型01 共线向量定理 例1．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】已知非零向量， 若“与共线”： 当时，，则，故充分性不成立； 若： 则，即，化简得， ，，即， ，，即，与共线，必要性成立； 故“与共线”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 例2．已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，， 又，有公共点，所以，，三点共线，所以充分性成立； 若，，三点共线，则存在实数使得，即， 当时明显不满足，所以必要性不成立. 即“（）”是“，，三点共线”的充分不必要条件. 故选：A. 变式1-1．设、为平面向量，则“存在实数，使得”是“ ”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若存在实数，使得，则有， ， 若，则 故“存在实数，使得”不是“”的充分条件； 当，，满足，但是不存在实数，使得， 故“存在实数，使得”不是“”的必要条件； 即“存在实数，使得”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 变式1-2．已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点为的外心，动点满足条件： (，)，则点的轨迹一定通过的（   ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 【答案】D 【详解】取的中点D，连接，则， ∵， ∴， 则，即 ∴P，C，D三点共线， 因为，所以， 于是点P的轨迹一定经过边的中点． 故选：D. 变式1-3．已知是平面上两个不共线的向量，且，， . (1)若方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 【答案】(1)2 (2)或3 【分析】 【详解】（1）由题意得，则存在实数，使得， 所以， 则，解得或， 因为方向相反，所以，则. （2）因为，所以， 所以， 因为A，C，D三点共线， 所以存在实数，使得， 则， 所以，解得或3. 题型02 共线向量定理的推论 例3．如图，在中，点是边上的点，满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【详解】由题意可知：三点共线，可设，且， 因为，即, 又因为，，，， 则，可得，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：C. 例4．如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为点A是的中点， 所以，即， 整理得， 可得， 故． （2）由题意可得， 因为三点共线，所以，且， 则， 可得，解得， 故． 变式2-1．如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 变式2-2．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 变式2-3．若在直线上存在不同的三点，使得关于实数的方程有解（点不在上），则此方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 即， 又三点共线，所以， 解得或， 当时，，此时重合，不符合题意， 当，，符合题意， 综上，此方程的解集为. 故选：D. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得的使用： 解题时先通过向量线性运算（加、减、数乘）将已知向量关系化简，目标凑出关于的线性组合形式；若判定三点共线，只需验证组合中与的系数和是否为1；若求参数，则根据“系数和为1”列方程求解， 题型03 基底的判断 例5．下面三种说法：①一个平面内只有一对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；③零向量不可为基中的向量.其中正确的说法是 .（填序号） 【答案】②③ 【详解】一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基,①错误；②正确； 可以作为基底的向量需要是不共线的向量，零向量不可为基中的向量.③正确； 故答案为：②③. 例6．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 与不共线，所以能作为基底，所以D错误. 故选：C. 变式3-1．（多选）O为▱ABCD的对角线AC和BD的交点，下列各组向量中能作为平面ABC上所有向量的一组基底的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AB 【详解】在平行四边形中，，故排除C，D； 与不共线，与不共线，A，B选项正确； 故选:AB. 变式3-2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故A错误； 对于B，设则，显然无解，则向量与向量不共线，即能构成一组基底，故B正确； 对于C，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故C错误； 对于D，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故D错误. 故选：B. 变式3-3．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知是平面内的一个基底， 则若共线，则存在实数，使得，即，与是基底矛盾，因此不共线， 若共线，则存在实数，，所以，与是基底矛盾，因此不共线， 因为，所以不共线，共线， 因此D不能作为基底， 故选：D． 基底即为“同一平面内两个不共线向量” 题型04 用基底表示向量 例7．如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在平行四边形中，因为为的重心，所以， 则，且， 所以：. 故选：A. 例8．如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵为等边的重心， ∴， ∵为边上靠近的四等分点， ∴， 由图知，； 又∵ ∴ ∴ 故选：C 变式4-1．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，向量不共线，则以向量为一组基底， 所以，则. 故选：D. 变式4-2．在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，   . 故选：C 变式4-3．在中，记，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知：，所以在线段上且，则 所以. 故选：A 解题时先结合图形分析目标向量与基底的关联，通过向量加法、减法或数乘运算，将目标向量转化为基底的线性组合，必要时利用共线向量定理确定系数 题型05 根据向量基本定理求参数 例9．如图，已知在中，为的中点，与相交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 则， 又三点共线，， 又为的中点，，又，所以， 又三点共线，， 由平面向量基本定理知，，解得，所以， 即，所以， 故选：D. 例10．如图，在矩形中，E，F分别为，的中点，G为线段上的一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可设， 则 ， 因为，所以，解得. 故选：A 变式5-1．如图，在梯形中，点在线段上，．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】依题意，设， 则， 又，且，不共线，则， 解得，即，则，，所以. 故选：C 变式5-2．如图，已知正六边形，和分别是和的中点，交于点，则 ．    【答案】 【详解】解法1：如图，连接．    因为三点共线， 所以 ． 因为点在的中线上， 所以，解得，则，所以． 解法2： ， 化简得， 即，解得，所以． 变式5-3．在中，为中点，在上，且，与交于点O (1)用表示. (2)过O作直线交线段于点，交线段于，，求的值 【答案】(1)，； (2) 【分析】 【详解】（1）由为的中点可知，由可知，如下图：    因此可得， 因为三点共线，所以可设， 且三点共线，所以存在实数，使得， 因此可得， 即，解得， 因此； （2）如下图所示：    因为三点共线，所以存在实数使得， 其中由可得，又， 所以， 结合（1）中结论可知，解得；因此. 题型06 平面向量基本定理的综合问题 例11．已知是的外心，，若，则 ． 【答案】或 【详解】如图1，为的中点，， 因为，所以三点共线， 又是外心，故． 当时，点与点重合，如图2，此时． 所以或． 故答案为：或. 例12．如图，点G是的重心，P，Q分别是边，上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，表示． (2)设是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【分析】 【详解】（1）； （2）. 由(1)可知， 又， 所以， 因为点G是的重心， 所以 而不共线， 所以解得 所以. 变式6-1．如图，第一象限内的点M和第二象限内的点N分别在直线与上，阴影部分（不含边界）内的点P满足．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造平行四边形如下图所示， 则，其中 因为同向，反向，所以， 若点P在x轴上时，， 所以，当点P在阴影部分（不含边界）内时，， 从而，则， 综上，． 故选：C． 变式6-2．已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则 . 【答案】11 【详解】因为，边的中点为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 因为， 所以，，故. 故答案为：11 变式6-3．已知不共线，，设，如果，是否存在实数t使三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】存在实数. 【详解】存在． 由题设知，， ， 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得， 即， 又因为不共线，根据平面向量基本定理，可得， 故存在实数，使三点在一条直线上． 一、单选题 1．是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 【答案】D 【详解】由已知， 由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使， 即，即解得. 故选：D 2．在中，点是边上一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】在中，点是边上一点，由，得，即， 则，当且仅当时取等号， 所以所求的最小值为. 故选：B 3．在中，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 所以， 又因为， 所以， 所以，， 所以，，，，只有选项C正确； 故选：C． 4．设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A. 5．在中，为三角形所在平面内一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，在中，为三角形所在平面内一点，且， 取的中点，取靠近的三等分点，可得， 由向量的平行四边形法则，可得, 所以点在边的中位线上，所以． 故选：D. 6．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A,，故共线，不可作为基底， 对于B, ,故共线，不可作为基底， 对于C, ,故共线，不可作为基底， 对于D, 由于，故不存在实数，使得，因此不共线，故可以作为基底向量， 故选：D 7．如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为三点共线， 所以设，又，所以， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以， 所以. 故选：C. 二、多选题 8．设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【详解】不共线的向量可以作为一组基，所以不能作为一组基的便是共线向量， 对于A，因为，所以和不共线，可以作为基底； 对于B，因为，所以和不共线，可以作为基底； 对于C，因为，所以和共线，不可以作为基底； 对于D，因为，所以和不共线，可以作为基底． 故选：ABD． 9．在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【详解】∵点在线段上，∴设，. 又点，分别在和上，且满足，， ∴，，∴. 又，∴，即. 故选项A，C，D正确，选项B错误. 故选：ACD. 10．在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】 因为为线段上一点， 所以， 而点线段上面，所以，故A错，B对， 由基本不等式得，解得，等号成立当且仅当，C对， ，等号成立当且仅当，D对. 故选：BCD. 三、填空题 11．已知等腰中，分别为的中点，若，则 ． 【答案】 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，在等腰中，， 且分别为的中点， 则，， 由平面向量的减法法则可得， 而， 则，所以解得. 故答案为：. 12．设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ． 【答案】 【详解】用向量共线定理可知存在唯一一个实数，使得， 因为向量，的方向相反，所以， 又因为，， 则， 所以，解得或（舍去）， 故. 故答案为：. 13．如图，在中，，，，，交于点，过点的直线分别交于点，则 ． 【答案】7 【详解】设,因为, 所以, 又因为三点共线, 三点共线,所以, 解得, 所以，则． 又， 由于与共线，所以，得． 四、解答题 14．已知不共线． (1)若，求证：三点共线； (2)若向量与共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：，， 则有，可得且为公共点， 所以三点共线. （2）向量与共线，则存在唯一实数，使得， 可得，即，解得 . 15．如图，在△ABC中，＝4，. 求证：B，T，E三点共线． 【答案】证明过程见解析 【详解】设， ， ， 显然， 所以B，T，E三点共线. 16．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 【答案】(1); (2) 【分析】 【详解】（1）由图和题设条件可得： ； . （2）由图和可得：，即（*）， 因， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则， 由（*）可得：，即， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为. 17．如图，已知平行四边形ABCD边AB的中点为E，F为AD上的一点，且，BF、CE交于点K，求的值．    【答案】. 【详解】设，为一组基底，则 ∵，. ∴ 设，则 . 易求得. 又B、K、F三点共线，∴存在实数t，使， 即， 由平面向量基本定理得， ∴，即. 18．在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设. (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值. 【答案】(1) (2)5 【分析】 【详解】（1）设，则， ∵，，三点共线， ∴，共线，从而.① 又，，三点共线. ∴，共线， 因为，共线， 所以可得.② 联立①②，解得， 故. （2）∵， ，且，共线， ∴，整理得. 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2.1向量基本定理 教学目标 1．深入理解共线向量定理的核心内涵，准确把握“存在唯一一个实数λ”的充要条件，熟练掌握三点共线的两个向量表示结论，能结合具体情境运用定理判定向量共线及三点共线。 2．全面掌握平面向量基本定理的完整内容，明确“同一平面内”“两个不共线向量”“有且只有一对实数”的关键限定，深刻理解定理所体现的向量分解思想。 3．能精准判断一组向量是否满足基底的“不共线”要求，熟练运用平面向量基本定理，将平面内任意给定向量规范分解为指定基底的线性组合，确保分解结果准确。 教学重难点 重点： 共线向量定理的双向性，三点共线两个向量结论的逻辑推导与适用场景，以及实际应用方法。 难点： 1．共线向量定理中实数λ的求解方法，尤其是结合图形或已知向量关系时精准计算λ，避免忽略“唯一性”和“非零向量”的隐含条件。 2．针对具体问题情境合理选择合适的基底，深刻理解“基底确定则分解式唯一”的内涵，灵活解决复杂图形中向量的分解与线性表示问题。 知识点01 共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在________一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在________实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在________实数使得. 【即学即练】 1．设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，是两个不共线的向量，若向量，共线，则（    ） A．6 B．4 C． D． 知识点02 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，________一对实数，使. 2.基底:我们把________的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． 【即学即练】 1．（多选）若是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 2．在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 题型01 共线向量定理 例1．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-1．设、为平面向量，则“存在实数，使得”是“ ”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-2．已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点为的外心，动点满足条件： (，)，则点的轨迹一定通过的（   ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 变式1-3．已知是平面上两个不共线的向量，且，， . (1)若方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 题型02 共线向量定理的推论 例3．如图，在中，点是边上的点，满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 例4．如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 变式2-1．如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 变式2-2．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式2-3．若在直线上存在不同的三点，使得关于实数的方程有解（点不在上），则此方程的解集为（    ） A． B． C． D． 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得的使用： 解题时先通过向量线性运算（加、减、数乘）将已知向量关系化简，目标凑出关于的线性组合形式；若判定三点共线，只需验证组合中与的系数和是否为1；若求参数，则根据“系数和为1”列方程求解， 题型03 基底的判断 例5．下面三种说法：①一个平面内只有一对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；③零向量不可为基中的向量.其中正确的说法是 .（填序号） 例6．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式3-1．（多选）O为▱ABCD的对角线AC和BD的交点，下列各组向量中能作为平面ABC上所有向量的一组基底的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 变式3-2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 基底即为“同一平面内两个不共线向量” 题型04 用基底表示向量 例7．如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 例8．如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 变式4-1．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 变式4-2．在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（    ）    A． B． C． D． 变式4-3．在中，记，若，则（   ） A． B． C． D． 解题时先结合图形分析目标向量与基底的关联，通过向量加法、减法或数乘运算，将目标向量转化为基底的线性组合，必要时利用共线向量定理确定系数 题型05 根据向量基本定理求参数 例9．如图，已知在中，为的中点，与相交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 例10．如图，在矩形中，E，F分别为，的中点，G为线段上的一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，在梯形中，点在线段上，．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-2．如图，已知正六边形，和分别是和的中点，交于点，则 ．    变式5-3．在中，为中点，在上，且，与交于点O (1)用表示. (2)过O作直线交线段于点，交线段于，，求的值 题型06 平面向量基本定理的综合问题 例11．已知是的外心，，若，则 ． 例12．如图，点G是的重心，P，Q分别是边，上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，表示． (2)设是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 变式6-1．如图，第一象限内的点M和第二象限内的点N分别在直线与上，阴影部分（不含边界）内的点P满足．若，则（   ） A． B． C． D． 变式6-2．已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则 . 变式6-3．已知不共线，，设，如果，是否存在实数t使三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 2．在中，点是边上一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 3．在中，，.若，则（    ） A． B． C． D． 4．设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D．2 5．在中，为三角形所在平面内一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 6．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 9．在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 11．已知等腰中，分别为的中点，若，则 ． 12．设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ． 13．如图，在中，，，，，交于点，过点的直线分别交于点，则 ． 四、解答题 14．已知不共线． (1)若，求证：三点共线； (2)若向量与共线，求实数的值． 15．如图，在△ABC中，＝4，. 求证：B，T，E三点共线． 16．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．    (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 17．如图，已知平行四边形ABCD边AB的中点为E，F为AD上的一点，且，BF、CE交于点K，求的值．    18．在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设. (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值. 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $