6.2.1向量基本定理 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

课题 6.2.1向量基本定理 学科 数学 教材 人教B版（2019）必修第二册 章节 第六章第二部分第一小节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 1、 【教学目标】 2、 1.了解共线向量基本定理及其意义； 3、 2.了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量； 4、 3.能用平面向量基本定理进行简单的应用。 5、 【教学重难点】 教学重点：掌握判断基底的方法和用基底表示向量的方法； 教学难点：平面向量的基本定理探究以及理解. 教学方法和手段 教学方法：启发式教学，讲授法、讨论法和练习法 教学手段：教科书、多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 引入 新课 创设问题情境：前面我们已经看到，当存在实数 λ，使得 b = λa 时，b // a. 那么，这个结论反过来是否成立呢？ 通过提问，为引出共线向量基本定理作准备。 新知 讲解 知识点1：共线向量基本定理 知识点2：平面向量基本定理 【例1】如图所示，判断向量 b，c，d，e 是否可以写成数与向量 a 相乘.如果可以，写出表达式；如果不可以，说明理由. 教师示范：因为 b 与 a 的方向相同，而且，所以 b = 2a； 学生在教师示范的基础上继续作答： 因为 c 与 a 的方向相同，而且，所以； 因为 d 与 a 的方向相反，而且，所以； 因为 e 与 a 不平行，所以 e 不能写成数与向量 a 相乘. 教师讲解： 一般地，有如下共线向量基本定理： 如果 a ≠ 0 且 b // a ，则存在唯一的实数 λ，使得 b = λa. 在共线向量基本定理中： （1） b= λa 时，通常称为 b 能用 a 表示. （2）其中的“唯一”指的是，如果还有 b = μa，则有 λ = μ. 对于（2），这是因为：由 λa = μa 可知0， 如果，则 a = 0，与已知矛盾，所以，即 λ = μ. 由共线向量基本定理以及前面介绍过的结论可知， 如果 A，B，C 是三个不同的点，则它们共线的充要条件是： 存在实数 λ，使得. 教师提问：如果 a = 0 且 b // a ，什么时候存在实数 λ，使得b = λa ？这样的 λ 有多少个？什么时候不存在这样的实数 λ ? 学生思考后回答：可以看出，此时只有 b = 0 时才存在实数λ，使得 b= λa ，而且这样的λ可以是任意实数. 教师提问：共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？ （教师引导学生分析图形，通过观察可得要表示平面内任意一个向量，只选定一个向量是不能实现的） 师生共析： 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，如果，，则，.也就是说，向量和都写成了向量 a ，b 的线性运算. 教师提问：如图所示，已知 a ，b ， c ， d ， e ， f 的始点相同，你能分别将 c ， d ， e ， f 写成向量 a ，b 的线性运算吗？ 学生回答：c= a+b， d=5a-2b，e =-2a-2b，f = -3a. 教师在学生回答的基础上讲解平面向量基本定理： 一般地，有如下平面向量基本定理： 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平面内任意一个向量 c，存在唯一的实数对（x,y），使得 c = xa+yb. 上述实数对（x,y）可以用如下方式找到：如图所示，将向量 a 与 b 的始点平移到一起，假设，，将向量 c 的始点也平移到 O 点，以 OA，OB 所在的直线为相邻的边，以 OC 为对角线作平行四边形 ODCE. 因为 a 与 b 不共线，所以 a ≠ 0 且 b ≠ 0.又因为//a，因此由共线向量基本定理可得，存在唯一的 x，使得；同理，存在唯一的 y，使得.又由向量加法的平行四边形法则可知，从而c = xa+yb. 【例2】如图所示，用与表示向量 a，b，c，d，f . 【解析】 由图不难看出，， ，， 教师讲解：平面向量基本定理中，当 a 与 b 不共线时，“唯一的实数对”指的是 c 用 a，b 表示时，表达式唯一， 即如果，那么且. 这是因为由可知； 如果，则. 从而可知 a，b 共线，与已知矛盾，因此即. 同理可得. 特别地，当 a 与 b 不共线时，因为 0，所以对于xa+yb 来说，当x≠0或y≠0时，必定有xa+yb≠0.也就是说，当 a 与 b 不共线时，xa+yb≠0的充要条件是 x 与 y 中至少有一个不为 0. 平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量 a 与 b 不共线时，任意一个向量 c，都可以写成 a 与 b 的线性运算（简称为用 a 与 b 表示向量 c），而且表达式唯一.因此，平面内不共线的两个向量 a 与 b组成的集合{a ，b}，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c = xa+yb，则 xa+yb称为 c 在基底{a ，b}下的分解式. 【例3】已知 a 与 b 不共线，而且a-xb与3a+2b共线，求 x 的值. 【解析】解：因为 a 与 b不共线，所以3a+2b≠0，因此由已知可得存在实数 t ，使得，即，从而，解得. 【例4】如图所示，已知平面上点 O 是直线 l 外一点，A，B 是直线 l 上给定的两点，求证：平面内任意一点 P 在直线 l 上的充要条件是，存在实数 t ，使得. 【解析】 证明：先证必要性.设点 P 在直线 l 上，则由共线向量基本定理知，存在实数 t ，使，因此，所以. 再证充分性.如果，则，从而，即，因此 P， A， B 三点共线，即 P 在直线 l 上. 【例5】在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若，，试用基底{a ，b}分别表示下列向量： （1） ； （2）. 【解析】 解：（1）如图所示，由已知有，从而 （2）因为△DEF∽△BEA，而且，从而，于是. 例1旨在为归纳总结出共线向量基本定理提供素材，利用网格的形式给出向量，使学生不但能清晰地看出所涉及向量的方向，还能快速地得到它们之间模的关系，有利于培养学生的观察能力。 反证法证明唯一性，培养学生学习数学的严谨性，重视知识之间的联系。 由试题切入，引出平面向量基本定理，培养学生概括总结能力。 证明定理的“存在性”. 让学生理解如何将平面内的一个向量表示成给定的两个不共线向量的线性运算，加深对“存在性”的理解。 反证法证明“唯一性”，培养学生的逻辑推理能力。 由例题给出向量参数方程式，使学生明确的充要条件是. 当堂 达标 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 考察学生对两个基本定理的理解和应用，巩固所学内容。 课堂 总结 回顾本节知识，总结概括. 回顾本节课所学重点内容，加深印象。 板书设计 标题 6.2.1 向量基本定理 问题导入 新课讲解 知识点1：共线向量基本定理 知识点2：平面向量基本定理 例题精讲 当堂练习 课堂小结 教学设计反思 教师在课后应及时反思自己的上课表现，总结优点与不足，思考课堂上的学生反馈，学生是否充分掌握知识，是否进行了充足的讨论。同时，也要跟踪学生的作业完成情况和正确程度。根据学生的各项反馈及时调整自己的教学方式和教学节奏。 学科网（北京）股份有限公司 $