1.7有理数的加减混合运算（基础篇） 讲义 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

1.7有理数的加减混合运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 有理数加减混合运算的意义 有理数的加减混合运算是指在一个算式中，既有加法运算又有减法运算的综合运算。 2. 有理数加减混合运算的步骤 · 统一成加法：根据有理数减法法则，将算式中的减法转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。例如：。 · 写成省略加号和括号的形式：在转化为加法后，可以省略算式中的加号和括号，写成“代数和”的形式。例如：((-3) + (+5) - (-7) - (+2))可写成(-3 + 5 + 7 - 2)。 · 运用加法法则和运算律进行计算：按照有理数加法法则，结合加法交换律和结合律进行简便运算。加法交换律：；加法结合律：。 3. 有理数加减混合运算的常用技巧 · 同号结合法：将所有正数结合在一起相加，所有负数结合在一起相加，然后再将结果相加。例如：。 · 凑整结合法：把能凑成整数（整十、整百等）的数结合在一起相加。例如：。 · 相反数结合法：把互为相反数的两个数结合在一起相加，其和为0。例如：。 4. 有理数加减混合运算的注意事项 · 进行运算时，要先确定结果的符号，再计算绝对值的和或差。 · 在省略加号和括号的代数和形式中，“+”“-”号既可以看作运算符号，也可以看作数的性质符号。 · 运用运算律时，要注意符号的变化，确保每一步运算的准确性。 型 习 练 题 有理数的加减混合运算 1．计算：． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1) (2) 4．计算∶ (1) (2) 5．计算：． 有理数的加减中的简便运算 6．计算： (1)； (2)． 7．计算： (1) (2) 8．计算： (1)； (2)． 9．计算：． 10．计算：． 有理数加减混合运算的应用 11．某种商品在一周内的进出货情况如下： 时间 进出货情况 星期一 出货83箱 星期二 出货62箱，进货200箱 星期三 出货28箱 星期四 出货140箱 星期五 出货94箱，进货100箱 请用有理数表示进出货量，并通过计算说明：到周五结束时，这种商品的库存量是增加了还是减少了？ 12．凡凡是一名出租车司机，某天早晨凡凡一共接送了7名乘客，且都在一条东西走向的大街上，若规定向东为正，则这天早晨凡凡接送的7名乘客的里程数（单位：千米）为：． (1)凡凡送最后一名乘客到达目的地后，在出发点什么位置？ (2)凡凡接送完7名乘客后，一共行驶了多少千米？ 13．哈市客运管理部门对“十一”假期前后七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下：（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示比前一天下降数）： 日期 变化/万人 5 20 10 (1)与9月30日相比，10月2日的客流量是_____（填“上升”或是“下降”）了； (2)与9月30日相比，10月7日的客流量变化了多少； (3)若9月30日日客流量为5万人，计算这次“十一”假期从10月1日到10月7日这七天客流量一共是多少万人． 14．某水泥仓库7天内进出水泥的吨数是（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，． (1)经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这7天，仓库管理员结算时发现仓库里还存有200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少吨？ 15．星期六上午，小涵与同学相约去玩．已知她当日微信钱包的初始余额为35元，当日微信钱包的账单如表所示： 交易种类 金额（元） 红包—来自爸爸   全鸡汉堡支付   品牌零食支付   转账—来自哥哥   零食屋支付   出行支付 (1)从实际角度看，账单中支出最少的交易种类是________； (2)求小涵当日微信钱包的最后余额． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.7有理数的加减混合运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 有理数加减混合运算的意义 有理数的加减混合运算是指在一个算式中，既有加法运算又有减法运算的综合运算。 2. 有理数加减混合运算的步骤 · 统一成加法：根据有理数减法法则，将算式中的减法转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。例如：。 · 写成省略加号和括号的形式：在转化为加法后，可以省略算式中的加号和括号，写成“代数和”的形式。例如：((-3) + (+5) - (-7) - (+2))可写成(-3 + 5 + 7 - 2)。 · 运用加法法则和运算律进行计算：按照有理数加法法则，结合加法交换律和结合律进行简便运算。加法交换律：；加法结合律：。 3. 有理数加减混合运算的常用技巧 · 同号结合法：将所有正数结合在一起相加，所有负数结合在一起相加，然后再将结果相加。例如：。 · 凑整结合法：把能凑成整数（整十、整百等）的数结合在一起相加。例如：。 · 相反数结合法：把互为相反数的两个数结合在一起相加，其和为0。例如：。 4. 有理数加减混合运算的注意事项 · 进行运算时，要先确定结果的符号，再计算绝对值的和或差。 · 在省略加号和括号的代数和形式中，“+”“-”号既可以看作运算符号，也可以看作数的性质符号。 · 运用运算律时，要注意符号的变化，确保每一步运算的准确性。 型 习 练 题 有理数的加减混合运算 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，需要根据运算法则，先处理括号和负号，然后进行计算． （1）根据有理数的加减混合运算计算即可求解． （2）通过组合带分数和小数部分简化计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及求绝对值，注意计算的准确性即可． （1）利用有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）利用有理数的加减混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 4．计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先统一成分数，再利用有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先去括号，再把减法化为加法，再结合加法法则进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 有理数的加减中的简便运算 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】此题考查了有理数加减的简便运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用有理数的加法交换律和结合律把正数、负数分别放在一起进行计算； （2）利用有理数的加法交换律和结合律进行简便计算即可； 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 7．计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2)7 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则，进行计算即可； （2）变减法为加法，根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 9．计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握简便算法． 利用加法交换律和结合律进行简便计算即可； 【详解】解： ． 10．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是利用加法交换律和结合律进行简便计算． 通过观察式子，将同分母的分数结合，小数结合，再分别计算，最后求和． 【详解】解： ． 有理数加减混合运算的应用 11．某种商品在一周内的进出货情况如下： 时间 进出货情况 星期一 出货83箱 星期二 出货62箱，进货200箱 星期三 出货28箱 星期四 出货140箱 星期五 出货94箱，进货100箱 请用有理数表示进出货量，并通过计算说明：到周五结束时，这种商品的库存量是增加了还是减少了？ 【答案】进出货量见解析，到周五结束时，这种商品的库存量减少了，减少了107箱 【分析】本题考查了有理数的加减运算，掌握正负数的表示意义是解题关键．设进货量用正数表示，出货量用负数表示，计算一周内所有进出货量的代数和，正结果表示库存增加，负结果表示库存减少． 【详解】解：设进货量用正数表示，出货量用负数表示， 星期一：箱， 星期二：箱，箱， 星期三：箱， 星期四：箱， 星期五：箱，箱； 则一周内进出货量的代数和为： ， ∴到周末这种商品的库存量减少了，减少了107箱． 12．凡凡是一名出租车司机，某天早晨凡凡一共接送了7名乘客，且都在一条东西走向的大街上，若规定向东为正，则这天早晨凡凡接送的7名乘客的里程数（单位：千米）为：． (1)凡凡送最后一名乘客到达目的地后，在出发点什么位置？ (2)凡凡接送完7名乘客后，一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)凡凡送最后一名乘客到达目的地后，在出发点西3千米处 (2)凡凡接送完7名乘客后，一共行驶了63千米 【分析】本题考查正负数的应用，绝对值，有理数的加减，掌握知识点是解题的关键． （1）先将这几个数相加，若和为正，则在出发点的东方；若和为负，则在出发点的西方，若和为0，则在出发点，即可解答； （2）将这7个数的绝对值相加，即可解答． 【详解】（1）解：， 因为， 所以凡凡送最后一名乘客到达目的地后，在出发点西3千米处． （2）， 即凡凡接送完7名乘客后，一共行驶了63千米． 13．哈市客运管理部门对“十一”假期前后七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下：（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示比前一天下降数）： 日期 变化/万人 5 20 10 (1)与9月30日相比，10月2日的客流量是_____（填“上升”或是“下降”）了； (2)与9月30日相比，10月7日的客流量变化了多少； (3)若9月30日日客流量为5万人，计算这次“十一”假期从10月1日到10月7日这七天客流量一共是多少万人． 【答案】(1)上升 (2)增加万人 (3)160万人 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，以及结合表格数据，进行列式，分析结果，即可作答． （2）把七天客流变化量相加，分析结果，即可作答． （3）算出每天的客流人量，再相加求出这七天客流量的总人数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∴与9月30日相比，10月2日的客流量是上升了； （2）解：， ∴与9月30日相比，10月7日的客流量增加万人； （3）解：号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， 号的人数是（万人）， ∴（万人）； 即这次“十一”假期从10月1日到10月7日这七天客流量一共是万人． 14．某水泥仓库7天内进出水泥的吨数是（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，． (1)经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这7天，仓库管理员结算时发现仓库里还存有200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少吨？ 【答案】(1)减少了45吨 (2)7天前，仓库里存有水泥245吨 【分析】本题考查了有理数的加减运算在实际问题中的应用，解题的关键是通过有理数的加减计算确定水泥的变化量． （1）将7天的进出水泥吨数相加，根据结果的正负判断是增多还是减少，结果的绝对值即为变化的吨数； （2）用现有水泥量减去7天的变化量（注意符号），得到7天前的存量． 【详解】（1）解：将7天的进出量相加∶ 结果为负，说明水泥减少了，减少了45吨． （2）现有水泥量是7天后的剩余量，7天前的存量 = 现有量 - 7天的变化量∶． 7天前，仓库里存有水泥245吨． 15．星期六上午，小涵与同学相约去玩．已知她当日微信钱包的初始余额为35元，当日微信钱包的账单如表所示： 交易种类 金额（元） 红包—来自爸爸   全鸡汉堡支付   品牌零食支付   转账—来自哥哥   零食屋支付   出行支付 (1)从实际角度看，账单中支出最少的交易种类是________； (2)求小涵当日微信钱包的最后余额． 【答案】(1)出行支付 (2)41元 【分析】本题主要考查了有理数大小比较、正数和负数的意义、有理数的加减运算等知识点，熟练掌握用正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． （1）先比较各项目金额的大小，据此即可解答； （2）根据题意，列出式子计算出答案即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知元表示支出元，元表示支出52元，元表示支出69元，元表示支出元，其中最小， 那么账单中支出最少的交易种类是出行支付， 故答案为：出行支付； （2）解：根据题意，（元） 答：小涵当日微信钱包的最后余额是元． 学科网（北京）股份有限公司 $