期末专题01 有理数（八种题型-十三类题）2025-2026学年人教版七年级数学上册

期末专题01 有理数（八种题型-十三类题） 目录 题型一 正负数 2 题型二 有理数大小比较 6 题型三 数轴 7 题型四 绝对值化简...................................................................................................10 题型五 相反数和倒数...............................................................................................12 题型六 绝对值非负性的应用 14 题型七 数轴动点问题 16 题型八 绝对值化简分类讨论 20 提升检测 22 参考答案.....................................................................................................................26 题型一 正负数 正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 例题1中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（　　） A． 支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元 练习1 1．一小袋味精的质量标准为“50±0.25克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是（　　） A．50.35克 B．49.80克 C．49.72克 D．50.40克 2．某速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃，下列四个冷藏室的温度中不适合储藏此种水饺的是（　　） A．﹣24℃ B．﹣18℃ C．﹣17℃ D．﹣16℃ 3．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01 5．如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（　　） A．亏损3% B．亏损8% C．盈利2% D．少赚3% 例题2．在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 练习2 1．下列各数中，正数的个数有　 　 个． ﹣4，3.5，0，10%，，2023，﹣2.03003，+1． 2．在﹣2，0，﹣0.5，3，中，负数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列一组数：﹣8，0，﹣32，﹣（﹣5.7），其中负数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在5，1，﹣2，0这四个数中，负数是（　　） A．﹣2 B．1 C．5 D．0 5．下列各式中结果为负数的是（　　） A．﹣（） B．﹣|| C．（）2 D．|| 例题3．某公交车出发时，车上有12人，经过3个站点，乘客上下车情况（上车为正，下车为负）：一号站点“+4，﹣8”；二号站点“﹣5，+6”；三号站点“﹣3，+6”．那么此时车上有 　 　 人． 练习3 1．某一出租车一天下午以辰山植物园南门为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下： +10，﹣3，﹣5，+4，﹣8，+6，﹣3，﹣6，﹣4，+10． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点多远？在辰山植物园南门的什么方向？ （2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 2．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　 　 km． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 3．小明在网上销售苹果，原计划每天卖100斤，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +4 ﹣3 ﹣5 +14 ﹣8 +21 ﹣6 （1）根据表中的数据可知前三天共卖出　 　 斤； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售　 　 斤； （3）本周实际销售总量达到了计划销量没有？ （4）若每斤按5元出售，每斤苹果的运费为1元，那么小明本周一共收入多少元？ 4．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量 （单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （2）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 5．某检修小组乘坐一辆汽车沿公路修输电线路，约定前进为正，后退为负，他们从A地出发到收工时，走过的路程记录如下：（单位：千米） +15，﹣6，+7，﹣2.5，﹣9，+3.5，﹣7，+12，﹣6，﹣11.5 问：（1）他们收工时距A地多远？ （2）汽车每千米耗油0.3升，从出发到返回A地共耗油多少升？ 题型二 有理数大小比较 有理数大小比较 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b． 例1．有理数5，﹣2，0，﹣4中最小的一个数是（　　） A．5 B．﹣2 C．0 D．﹣4 练习1 1．下列有理数大小关系判断正确的是（　　） A．﹣（）＞﹣|| B．0＞|﹣10| C．|﹣3|＜|+3| D．﹣1＞﹣0.01 2．在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3 3．若a＜0，b＞0，则b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是（　　） A．b B．b+a C．b﹣a D．ab 4．如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（　　） A．﹣b＞a＞﹣a＞b B．a＞b＞﹣a＞﹣b C．﹣b＞a＞b＞﹣a D．b＞a＞﹣b＞﹣a 5．若a，b为有理数，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（　　） A．b＜﹣a＜﹣b＜a B．b＜﹣b＜﹣a＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣a＜﹣b＜b＜a 题型三 数轴 数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 例题1．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． ﹣1.5，0，，2.5，﹣（﹣1），﹣|﹣4|． 练习1 1．在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“＜”号连接起来． ﹣|﹣3|，﹣2.5，﹣（﹣4），﹣1，，0 2．把下列有理数表示在数轴上，并用“＜”连接：|﹣4|，﹣1，0，﹣（﹣3），1.5． 3．已知下列各有理数：3，﹣（﹣2），﹣1.5，0，﹣|﹣1|，﹣4． （1）画出数轴，在数轴上标出这些数表示的点； （2）用“＞”号把这些数连接起来． 4．画出数轴，并在数轴上表示下列各数：3.5，﹣（﹣2），﹣1，|﹣3|，0．并用“＜”号把这些数连接起来． 5．在数轴上表示数；，0，，﹣3，﹣（﹣2），并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 例题2．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示：把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列（　　） A． ﹣b＜﹣a＜a＜b B．a＜﹣b＜b＜﹣a B． C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．a＜﹣b＜﹣a＜b 练习2 1．a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，其中正确的是（　　） A． a＜﹣a＜b＜﹣b B．﹣b＜a＜﹣a＜b B． C．﹣a＜b＜﹣b＜a D．﹣b＜a＜b＜﹣a 2．a、b两数在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，正确的是（　　） A． ﹣b＜a＜﹣a＜b B．a＜﹣b＜﹣a＜b B． C．a＜b＜﹣a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b 3．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则下列各数中，最大的是（　　） A． B．a+b C．a+b2 D．a﹣b 5．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为a，b，则下列各数中，最大的是（　　） A． B．ba C．b﹣a D．b+a 题型四 绝对值化简 绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 例题1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示 （1）用“＞”“＜”或“＝”填空： a+b　 　 0，c﹣a　 　 0，b+2 　 　 0； （2）化简：|a+b|+2|c﹣a|﹣|b+2|． 练习1 1．有理数a、b、c在数轴上的位置如图． （1）用“＞”或“＜”填空：c﹣b　 　 0，a+b　 　 0，a﹣c　 　 0． （2）化简：|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|． 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：c﹣b　 　 0，a﹣b　 　 0，c﹣a　 　 0． （2）化简：|c﹣b|+|a﹣b|﹣|c﹣a|． 3．有理数x，y在数轴上对应点如图所示： （1）在数轴上表示﹣x，|y|； （2）试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接， （3）化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|． 4．有理数a、b、c在数轴上的位置如图， （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：c﹣b　 　 0，a+b　 　 0，a﹣c　 　 0． （2）化简：|c﹣b|+|a+b|﹣2|a﹣c|． 5．已知有理数a、b、c在数轴上的位置， （1）a+b　 　 0；a+c　 　 0；b﹣c　 　 0；（用“＞，＜，＝”填空） （2）试化简|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|． 题型五 相反数和倒数的应用 1．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 2．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 例题1．若2m+1与﹣2互为相反数，则m的值为 　 　 ． 练习1 1．若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣3，则x的相反数是　 　 ． 2．若|x﹣12|+|y﹣13|＝0 计算：（1）x、y的值； （2）求3x﹣2y的值的相反数． 3．若a、b互为相反数，则a﹣（2﹣b）的值为 　 　 ． 4．已知|a﹣4|+|b+5|＝0，a、c互为相反数，求3a+2b﹣4c的值． 5．已知a，b互为相反数且a≠0，c，d互为倒数，，求． 请帮助小亮完成以下解题过程： 解：∵a，b互为相反数且a≠0， ∴a+b＝　 　 ，　 　 ； ∵c，d互为倒数，∴cd＝　 　 ； ∵|m|， ∴m2＝　 　 ； ∴原式＝　 　 ． 题型六 绝对值非负性的应用 非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 例题1．已知|m﹣2|+|n﹣6|＝0，则m+n＝（　　） A．2 B．6 C．8 D．4 练习1 1．若|x+3|+|y﹣2|＝0，则x+y的值是（　　） A．5 B．﹣1 C．8 D．﹣5 2．若|a+1|+|b﹣2|＝0，则a+b＝（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 3．若|x﹣2|+|y+3|＝0，则（x+y）2的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．25 D．5 4．若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（　　） A．3 B．5 C．﹣5 D．﹣6 5．若|x﹣3|+|y﹣4|＝0，x＝　 　 ，y＝　 　 ． 例题2．当x＝a时，代数式|x﹣1|+10有最小值b，则a+b的值为 　 　 ． 练习2 1．若式子3|x﹣2|﹣4有最小值，则该最小值为 　 　 ． 2．当式子（x+3）2+|y﹣4|+2取最小值时，xy＝　 　 ． 3．当x＝　 　 时，式子|x﹣2|+2023有最小值． 4．当a＝　 　 时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是 　 　 ． 5．已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　 　 ． 题型七 数轴动点问题 例题1．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过 　 　 秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度． 练习1 1．如图，在数轴上点P、点Q所表示的数分别是﹣17和3，点P以每秒4个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．经过 　 　 秒，点P、点Q分别与原点的距离相等． 2．在数轴上点A对应的数为﹣2，点B是数轴上的一个动点，当动点B到原点的距离与到点A的距离之和为6时，则点B对应的数为 　 　 ． 3．A、B、C、D、E是数轴上的五个点，点A、B、C所表示的数分别为、3、，将数轴沿着点D折叠后，点A与点E重合，此时点C到点E和点B的距离相等，那么点D所表示的数是　 　 ． 4．已知：如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为﹣5，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的，当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为　 　 ． 5．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，点B表示的数为30，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过　 　 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 例题2．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 练习2 1． 已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）MN的长为 　 　 ； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 　 　 ； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． （4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 2．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心” （1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是 　 　 ； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 　 　 （填一个即可）； （3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？ 3．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　 ． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 4．已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （1）请直接写出A，B两点所对应的数． （2）数轴上点A以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数． （3）已知，数轴上点M从点A向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发，速度为每秒2个单位长度，经t秒后点M、N、O（O为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求t的值． 5．如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒） （1）求t＝1时点P表示的有理数； （2）求点P与点B重合时的t值； （3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离；（用含t的代数式表示） （4）当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，直接写出所有满足条件的t值． 题型八 绝对值化简分类讨论 例题1．若a+b+c＜0，abc＞0，则的值为　 　 ． 练习1 1．已知a+b+c＜0，abc＜0，则的值为　 　 ． 2．若ab≠0，则的所有可能值＝　 　 ． 3．已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为 　 　 ． 4．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则1+1+1＝3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则的值是 　 　 ； （2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 5．已知非零实数a，b，c，满足1，则等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 提升检测 1．数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为（　　） A．﹣3 B．5 C．6 D．7 2．如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN＝NP＝PR＝1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|＝3，则原点是（　　） A．M或R B．N或P C．M或N D．P或R 3．的所有可能的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若0＜x＜1，则x，，x2的大小关系是（　　） A．x＜x2 B．xx2 C．x2＜x D．x2＜x 5．物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“+”，运出物资为“﹣”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（　　） A．﹣8吨 B．﹣2吨 C．+2吨 D．+8吨 6．下列四个数中，是负整数的是（　　） A． B．0 C．﹣2 D．1 7．在数轴上，若点A表示一个负数，则原点可以是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 8．与﹣2的和为0的数是（　　） A．﹣2 B． C． D．2 9．若|a﹣3|+3＝a，则a的可能取值为（　　） A．﹣4 B．0 C．2 D．4 10．若|a﹣1|与|b+2|互为相反数，则（a+b）2025的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 11．已知0，则的值为 　 　 ． 12．已知|x|＝4，|y|＝2，且xy＜0，则x﹣y的值等于　 　 ． 13．已知m＜0，n＞0，x2﹣px+q＝（x﹣m）（x﹣n），且pq＞0，则|m|与|n|的大小关系|m|　 　 |n|（填“＜”、“＞”、“＝”）． 14．赵宋奕同学规定[x）表示大于x的最小整数，如：[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的有 　 　 （填序号）． ①[0）＝0； ②[x）﹣x的最小值是0； ③[x）﹣x的最大值是1； ④存在有理数x，使[x）﹣x＝0.5成立． 15．a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是　 　 ．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）． 16．若|x|+3＝|x﹣3|，则x的取值范围是　 　 ． 17．将有理数1，﹣2，0按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来． 18．已知多项式2m2n4﹣3mn﹣2 的次数为a，项数为b，常数项为c．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，P点表示数x（x≠3）． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）若将数轴对折，使得对折后A点与C点重合，此时点B与点P也重合，求点P所表示的数x； （3）若将数轴从点P处对折，使得对折后PB＝2AC，求点P所表示的数x． 19．设A、B、C是数轴上的三个点，且点C在A、B之间，它们对应的数分别为xA、xB、xC． （1）若AC＝CB，则点C叫做线段AB的中点，已知C是AB的中点． ①若xA＝1，xB＝5，则xc＝　 　 ； ②若xA＝﹣1，xB＝﹣5，则xC＝　 　 ； ③一般的，将xC用xA和xB表示出来为xC＝　 　 ； ④若xC＝1，将点A向右平移5个单位，恰好与点B重合，则xA＝　 　 ； （2）若AC＝λCB（其中λ＞0）． ①当xA＝﹣2，xB＝4，λ时，xC＝　 　 ． ②一般的，将xC用xA、xB和λ表示出来为xC＝　 　 ． 20．出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，表中是上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，O表示载有乘客，且乘客都不相同）： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 ﹣3 ﹣15 +19 ﹣1 +5 ﹣12 ﹣6 +12 载客 × O O × O O O O （1）刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ （2）已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有8升油，若少于2升则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油； （3）已知载客时3千米以内收费15元，超过3千米后，超出部分每千米收费2.8元，问：刘师傅这天上午最高一次的营业额是多少元？ 21．【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有|c﹣3+d|+（d+2）2＝0，则CD的中点N所对应的数为 　 　 ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为ts，t为何值时，PQ的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为 　 　 ． ②在（2）的条件下，若E是PQ最靠近Q的五等分点，F为PC的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 参考答案 例1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（　　） A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：根据题意，收入100元记作+100元， 则﹣80表示支出80元． 故选：C． 【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 练习1 1．一小袋味精的质量标准为“50±0.25克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是（　　） A．50.35克 B．49.80克 C．49.72克 D．50.40克 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】先根据味精的质量标识，计算出合格味精的质量的取值范围，然后再进行判断． 【解答】解：由题意，知：合格味精的质量应该在（50﹣0.25）克到（50+0.25）克之间；即49.75克至50.25克之间，符合要求的是B选项． 故选：B． 【点评】本题考查了正数与负数：用正数与负数可表示两相反意义的量．解题的关键是弄清合格味精的质量范围． 2．某速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃，下列四个冷藏室的温度中不适合储藏此种水饺的是（　　） A．﹣24℃ B．﹣18℃ C．﹣17℃ D．﹣16℃ 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】根据题意可以求得速冻水饺的储藏温度的范围，本题得以解决． 【解答】解：∵速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃， ∴速冻水饺的储藏温度是﹣20～﹣16℃， 故选项A符合题意，选项B，C，D不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义． 3．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【解答】解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|， ∴﹣0.6最接近标准， 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大． 4．如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【解答】解：∵45+0.03＝45.03，45﹣0.04＝44.96， ∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤45.03． ∵44.9不在该范围之内， ∴不合格的是B． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． 5．如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（　　） A．亏损3% B．亏损8% C．盈利2% D．少赚3% 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【解答】解：∵“盈利5%”记作+5%， ∴﹣3%表示亏损3%． 故选：A． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 例题2．在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】先化简原题中的各数，然后即可判断哪些数是负数，本题得以解决． 【解答】解：∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2， ∴在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是2个， 故选：C． 【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确负数的定义，可以对题目中的数进行化简． 练习2 1．下列各数中，正数的个数有　4　 个． ﹣4，3.5，0，10%，，2023，﹣2.03003，+1． 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】正数即大于0的数，据此进行判断即可． 【解答】解：3.5，10%，2023，+1是正数，共4个， 故答案为：4． 【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．在﹣2，0，﹣0.5，3，中，负数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】根据题目中个各数，可以判断哪个数是负数，从而可以解答本题． 【解答】解：∵在﹣2，0，﹣0.5，3，中，负数是﹣2，﹣0.5， ∴在﹣2，0，﹣0.5，3，中，负数的个数是2个， 故选：B． 【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确负数的定义，可以判断一个数是否为负数． 3．下列一组数：﹣8，0，﹣32，﹣（﹣5.7），其中负数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】根据题目中的数据可以判断各个数是正数还是负数，从而可以解答本题． 【解答】解：∵﹣32＝﹣9，﹣（﹣5.7）＝5.7， ∴在﹣8，0，﹣32，﹣（﹣5.7）中负数是﹣8，﹣32， 即负数的个数有2个． 故选：B． 【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是可以判断一个数是正数还是负数． 4．在5，1，﹣2，0这四个数中，负数是（　　） A．﹣2 B．1 C．5 D．0 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】根据负数的定义即可解答本题． 【解答】解：在5，1，﹣2，0这四个数中，负数是﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数的定义． 5．下列各式中结果为负数的是（　　） A．﹣（） B．﹣|| C．（）2 D．|| 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】将选项中的数据进行化简，即可判断哪个数是负数． 【解答】解：∵，，，， ∴选项B中的数是负数， 故选：B． 【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是将选项中的数据化到最简． 例题3．某公交车出发时，车上有12人，经过3个站点，乘客上下车情况（上车为正，下车为负）：一号站点“+4，﹣8”；二号站点“﹣5，+6”；三号站点“﹣3，+6”．那么此时车上有 　12　 人． 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】“正”和“负”相对，根据题意有：上车为正，下车为负，已知原来的乘客数和3次上下车的乘客数求解即可． 【解答】解：三次上下车后车上的人数变化为12+4﹣8﹣5+6﹣3+6＝12（人）． 故现在车上有12人． 故答案为：12． 【点评】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 练习3 1．某一出租车一天下午以辰山植物园南门为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下： +10，﹣3，﹣5，+4，﹣8，+6，﹣3，﹣6，﹣4，+10． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点多远？在辰山植物园南门的什么方向？ （2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】（1）根据有理数的加减法即可求出答案． （2）求出行驶的总路程即可求出营业额． 【解答】解：（1）+10﹣3﹣5+4﹣8+6﹣3﹣6﹣4+10＝1km 所以出租车离出发点1km，在辰山植物园南门向东1km处． （2）10+3+5+4+8+6+3+6+4+10＝59（km）， 2.4×59＝141.6（元）， 答：司机一个下午的营业额是141.6元． 【点评】本题考查正数与负数，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型． 2．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　49　 km． （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】（1）可得﹣16＜﹣12＜﹣8＜0＜+22＜+31＜+33，所以路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，即可求解； （2）先求出这七天高于（或低于）50km的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）分别求出汽油费和电费，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得， ﹣16＜﹣12＜﹣8＜0＜+22＜+31＜+33， 所以路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天， 所以（+33）﹣（﹣16）＝49（km）， 故答案为：49． （2）由题意得， （﹣16）+（﹣12）+（﹣8）+0+（+22）+（+31）+（+33） ＝﹣36+86 ＝50（km）， 50×7+50＝400（km）； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400km． （3）用汽油的费用：（元）， 用电的费用：（元）， 180.4﹣33.6＝146.8（元）， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省146.8元． 【点评】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算，理解正负数的意义是解题的关键． 3．小明在网上销售苹果，原计划每天卖100斤，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +4 ﹣3 ﹣5 +14 ﹣8 +21 ﹣6 （1）根据表中的数据可知前三天共卖出　296　 斤； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售　29　 斤； （3）本周实际销售总量达到了计划销量没有？ （4）若每斤按5元出售，每斤苹果的运费为1元，那么小明本周一共收入多少元？ 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】（1）求出前三天卖出的斤数，相加即可； （2）找出卖出最多的与最少的斤数，相减即可； （3）把表格中的数据相加，即可作出判断； （4）根据题意列出算式，计算即可求出值． 【解答】解：（1）根据题意得：300+4﹣3﹣5＝296； （2）根据题意得：321﹣292＝29； 故答案为：（1）296；（2）29； （3）+4﹣3﹣5+14﹣8+21﹣6＝17＞0， 故本周实际销量达到了计划销量． （4）（17+100×7）×（5﹣1）＝717×4＝2868（元）． 答：小明本周一共收入2868元． 【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量 （单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （2）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】（1）求出表中数据的平均数，再加上标准数50即可； （2）根据工资的计算方法列式计算即可． 【解答】解：（1）由题意，得： 50+[（﹣3）+（+4）+（﹣5）+（+14）+（﹣8）+（+7）+（+12）]÷7 ＝50+3 ＝53（单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （2）由题意，得： （50×7﹣3﹣5﹣8）×2+（4+7+10×2）×4+（4+2）×6+60×7 ＝668+124+36+420 ＝1248（元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1248元． 【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． 5．某检修小组乘坐一辆汽车沿公路修输电线路，约定前进为正，后退为负，他们从A地出发到收工时，走过的路程记录如下：（单位：千米） +15，﹣6，+7，﹣2.5，﹣9，+3.5，﹣7，+12，﹣6，﹣11.5 问：（1）他们收工时距A地多远？ （2）汽车每千米耗油0.3升，从出发到返回A地共耗油多少升？ 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】（1）将各数相加所得的数即是距出发点A的距离． （2）耗油量＝每千米的耗油量×总路程，总路程为出发所走路程的绝对值的和加上收工时返回A所走的路程． 【解答】解：（1）+15﹣6+7﹣2.5﹣9+3.5﹣7+12﹣6﹣11.5＝﹣4.5千米 答：他们收工时距A点4.5千米． （2）总路程为出发所走路程的绝对值的和加上收工时返回A所走的路程， 又耗油量＝每千米的耗油量×总路程 ∴耗油量＝0.3×（15+|﹣6|+7+|﹣2.5|+|﹣9|+3.5+|﹣7|+12+|﹣6|+|﹣11.5|+4.5）＝0.3×84＝25.2升 答：从出发到返回A地共耗油25.2升． 【点评】本题考查正数和负数的加减法，注意总路程为所走路程的绝对值的和加上收工时返回A所走的路程，千万不要忘记加上收工时返回的路程． 例题1．有理数5，﹣2，0，﹣4中最小的一个数是（　　） A．5 B．﹣2 C．0 D．﹣4 【考点】有理数大小比较．版权所有 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：∵|﹣2|＝2，|﹣4|＝4，而2＜4， ∴﹣2＞﹣4， ∴﹣4＜﹣2＜0＜5， ∴有理数5，﹣2，0，﹣4中最小的一个数是﹣4． 故选：D． 【点评】此题主要考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键． 练习1 1．下列有理数大小关系判断正确的是（　　） A．﹣（）＞﹣|| B．0＞|﹣10| C．|﹣3|＜|+3| D．﹣1＞﹣0.01 【考点】有理数大小比较．版权所有 【分析】根据有理数比较大小的方法：化简后比较即可． 【解答】解：A、﹣（），﹣||，所以﹣（）＞﹣||； B、0＜|﹣10|＝10； C、|﹣3|＝3＝|+3|＝3； D、﹣1＜﹣0.01． 所以选A． 【点评】比较两个有理数的大小时，需先化简，再比较．有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小． 2．在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3 【考点】有理数大小比较．版权所有 【分析】根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项． 【解答】解：∵正数和0大于负数， ∴排除2和3． ∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，|﹣4|＝4， ∴4＞2＞1，即|﹣4|＞|﹣2|＞|﹣1|， ∴﹣4＜﹣2＜﹣1． 故选：A． 【点评】考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3．若a＜0，b＞0，则b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是（　　） A．b B．b+a C．b﹣a D．ab 【考点】有理数大小比较．版权所有 【分析】根据有理数的概念与运算法则进行比较、辨别． 【解答】解：∵a＜0＜b， ∴b+a＜b，b﹣a＞b＞0，ab＜0， ∴b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是b﹣a， 故选：C． 【点评】此题考查了运用有理数的概念与运算法则进行大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 4．如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（　　） A．﹣b＞a＞﹣a＞b B．a＞b＞﹣a＞﹣b C．﹣b＞a＞b＞﹣a D．b＞a＞﹣b＞﹣a 【考点】有理数大小比较；绝对值．版权所有 【分析】根据a＞0，b＜0，|a|＜|b|可判断出﹣a＜0，﹣b＞a，由此可得出结论． 【解答】解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|， ∴﹣a＜0，﹣b＞a， ∴﹣b＞a＞﹣a＞b． 故选：A． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键． 5．若a，b为有理数，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（　　） A．b＜﹣a＜﹣b＜a B．b＜﹣b＜﹣a＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣a＜﹣b＜b＜a 【考点】有理数大小比较．版权所有 【分析】根据a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，可用取特殊值的方法进行比较． 【解答】解：设a＝1，b＝﹣2，则﹣a＝﹣1，﹣b＝2， 因为﹣2＜﹣1＜1＜2， 所以b＜﹣a＜a＜﹣b． 故选：C． 【点评】此类题目比较简单，由于a，b的范围已知，可用取特殊值的方法进行比较，以简化计算． 例题1．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． ﹣1.5，0，，2.5，﹣（﹣1），﹣|﹣4|． 【考点】有理数大小比较；数轴；相反数；绝对值．版权所有 【分析】先在数轴上表示各个数，再比较即可． 【解答】解：如图所示： ∴﹣|﹣4|＜﹣31.5＜0＜﹣（﹣1）＜2.5． 【点评】本题考查了数轴、有理数的大小比较、绝对值、相反数等知识点，能正确在数轴上表示各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 练习1 1．在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“＜”号连接起来． ﹣|﹣3|，﹣2.5，﹣（﹣4），﹣1，，0 【考点】有理数大小比较；数轴；相反数；绝对值．版权所有 【分析】先根据绝对值和相反数进行计算，再在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣3，﹣（﹣4）＝4， 在数轴上表示为： ﹣|﹣3|＜﹣2.5＜﹣10（﹣4）． 【点评】本题考查了相反数，绝对值，数轴和有理数的大小比较等知识点，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 2．把下列有理数表示在数轴上，并用“＜”连接：|﹣4|，﹣1，0，﹣（﹣3），1.5． 【考点】有理数大小比较；数轴；相反数；绝对值．版权所有 【分析】先化简绝对值和多重符号，再找出各点在数轴上的位置，最后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数排序即可． 【解答】解：|﹣4|＝4，﹣（﹣3）＝3， 把各数表示在数轴上如下： ∴﹣1＜0＜1.5＜﹣（﹣3）＜|﹣4|． 【点评】本题考查了有理数大小比较，绝对值，相反数，数轴，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．已知下列各有理数：3，﹣（﹣2），﹣1.5，0，﹣|﹣1|，﹣4． （1）画出数轴，在数轴上标出这些数表示的点； （2）用“＞”号把这些数连接起来． 【考点】有理数大小比较；数轴；相反数；绝对值．版权所有 【分析】（1）先化简各数，再根据数轴的定义把各数表示在数轴上即可； （2）根据数轴上右边的数总比左边的数大解答即可． 【解答】解：﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣1|＝﹣1， （1）把各数表示在数轴上如下： （2）3＞﹣（﹣2）＞0＞﹣|﹣1|＞﹣1.5＞﹣4． 【点评】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，相反数，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 4．画出数轴，并在数轴上表示下列各数：3.5，﹣（﹣2），﹣1，|﹣3|，0．并用“＜”号把这些数连接起来． 【考点】有理数大小比较；数轴；相反数；绝对值．版权所有 【分析】先化简，再根据数轴的定义把各数表示在数轴上，并根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可． 【解答】解：﹣（﹣2）＝2，|﹣3|＝3， 在数轴上表示各数如下： ∴﹣1＜0＜﹣（﹣2）＜|﹣3|＜3.5． 【点评】本题考查了有理数大小比较，相反数，绝对值，数轴，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 5．在数轴上表示数；，0，，﹣3，﹣（﹣2），并按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【考点】有理数大小比较；数轴；相反数；绝对值．版权所有 【分析】先化简各数，再根据数轴上数的特点表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 【解答】解：，﹣（﹣2）＝2， 把各数表示在数轴上如下： ∴． 【点评】本题考查了有理数大小比较，数轴，相反数，绝对值，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 例题2．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示：把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列（　　） A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．a＜﹣b＜b＜﹣a C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．a＜﹣b＜﹣a＜b 【考点】有理数大小比较；数轴．版权所有 【分析】根据数轴和相反数比较即可． 【解答】解：因为从数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|， 所以a＜﹣b＜b＜﹣a， 故选：B． 【点评】本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上a、b的位置得出﹣a和﹣b的位置是解此题的关键． 练习2 1．a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，其中正确的是（　　） A．a＜﹣a＜b＜﹣b B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．﹣a＜b＜﹣b＜a D．﹣b＜a＜b＜﹣a 【考点】有理数大小比较；数轴．版权所有 【分析】根据a、b在数轴上的位置，可对a、b赋值，然后即可用“＜”连接． 【解答】解：令a＝﹣0.8，b＝1.5，则﹣a＝0.8，﹣b＝﹣1.5， 则可得：﹣b＜a＜﹣a＜b． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的大小比较及数轴的知识，同学们注意赋值法的运用，这可以给我们解题带来很大的方便． 2．a、b两数在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，正确的是（　　） A．﹣b＜a＜﹣a＜b B．a＜﹣b＜﹣a＜b C．a＜b＜﹣a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b 【考点】有理数大小比较；数轴．版权所有 【分析】根据a、b在数轴上的位置，可对a、b赋值，然后即可用“＜”连接． 【解答】解：令a＝﹣0.8，b＝1.2，则﹣a＝0.8，﹣b＝﹣1.2， 则可得﹣b＜a＜﹣a＜b． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的大小比较及数轴的知识，同学们注意赋值法的运用，这可以给我们解题带来很大的方便． 3．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【考点】有理数大小比较；数轴；绝对值．版权所有 【分析】根据距离原点越近其绝对值的越小即可求出结果． 【解答】解：数轴上点A，B，C，D在数轴上表示的数距离原点越近，其绝对值越小， ∴绝对值最小的数对应的点是B， 故选：B． 【点评】本题主要考查了数轴的表示方法，在解题时要注意绝对值的性质是解题的关键． 4．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则下列各数中，最大的是（　　） A． B．a+b C．a+b2 D．a﹣b 【考点】有理数大小比较；数轴．版权所有 【分析】根据有理数的运算结果进行判断． 【解答】解：方法一： 由数轴可得：b＜0＜a， 取a＝0.2，b＝﹣0.8，则 0.25，a+b＝0.2+（﹣0.8）＝0.6，a+b2＝0.2+（﹣0.8）2＝0.2+0.64＝0.84，a﹣b＝0.2﹣（﹣0.8）＝0.2+0.8＝1， 最大的是1，故选项D正确， 方法二： 由数轴可得：b＜0＜a， 因为0，a+b＜0，a+b2＞0，a﹣b＞0，而a﹣b＞a+b2， 所以a﹣b最大， 故选：D． 【点评】此题主要考查了有理数的加减、乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为a，b，则下列各数中，最大的是（　　） A． B．ba C．b﹣a D．b+a 【考点】有理数大小比较；数轴．版权所有 【分析】由数轴可以看出，a＜0，b＞0，|a|＞|b|．根据有理数的乘除法，加减法进行计算，然后比较大小． 【解答】解：由数轴可以看出，a＜0，b＞0， ∴0，ab＜0． 又∵|a|＞|b|． ∴b﹣a＞0，b+a＜0． ∴b﹣a最大． 故选：C． 【点评】本题考查了实数与数轴及实数大小比较，掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大是解题的关键． 例题1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示 （1）用“＞”“＜”或“＝”填空： a+b　＞　 0，c﹣a　＜　 0，b+2 　＞　 0； （2）化简：|a+b|+2|c﹣a|﹣|b+2|． 【考点】有理数大小比较；数轴；绝对值．版权所有 【分析】（1）根据数轴得出﹣2＜b＜c＜0＜2＜a，再根据有理数的加减法法则解答即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并即可． 【解答】解：（1）从数轴可知﹣2＜b＜c＜0＜2＜a， ∴a+b＞0，c﹣a＜0，b+2＞0； 故答案为：＞，＜，＞； （2）∵a+b＞0，c﹣a＜0，b+2＞0， ∴|a+b|+2|c﹣a|﹣|b+2| ＝a+b+2（a﹣c）﹣（b+2） ＝a+b+2a﹣2c﹣b﹣2 ＝3a﹣2c﹣2． 【点评】本题考查了绝对值，数轴和有理数的大小比较，能根据数轴得出﹣2＜b＜c＜0＜2＜a是解此题的关键． 练习1 1．有理数a、b、c在数轴上的位置如图． （1）用“＞”或“＜”填空：c﹣b　＜　 0，a+b　＜　 0，a﹣c　＞　 0． （2）化简：|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|． 【考点】有理数大小比较；数轴；绝对值．版权所有 【分析】观察数轴可知：c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c． （1）由c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c，可得出c﹣b＜0、a+b＜0、a﹣c＞0，此题得解； （2）由c﹣b＜0、a+b＜0、a﹣c＞0，可得出|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|＝b﹣c+（﹣a﹣b）﹣（a﹣c），去掉括号合并同类项即可得出结论． 【解答】解：观察数轴可知：c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c． （1）∵c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c， ∴c﹣b＜0，a+b＜0，a﹣c＞0． 故答案为：＜；＜；＞． （2）∵c﹣b＜0，a+b＜0，a﹣c＞0， ∴|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|＝b﹣c+（﹣a﹣b）﹣（a﹣c）＝b﹣c﹣a﹣b﹣a+c＝﹣2a． 【点评】本题考查了有理数的大小比较、数轴以及绝对值，观察数轴找出c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c是解题的关键． 2．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：c﹣b　＞　 0，a﹣b　＜　 0，c﹣a　＞　 0． （2）化简：|c﹣b|+|a﹣b|﹣|c﹣a|． 【考点】有理数大小比较；数轴；绝对值．版权所有 【分析】（1）直接利用数轴进而分析得出各部分的符号； （2）利用绝对值的性质化简得出答案． 【解答】解：（1）由数轴可得：c﹣b＞0，a﹣b＜0，c﹣a＞0， 故答案为：＞，＜，＞； （2）|c﹣b|+|a﹣b|﹣|c﹣a| ＝c﹣b+b﹣a﹣c+a ＝0． 【点评】此题主要考查了有理数比较大小，正确利用数轴分析是解题关键． 3．有理数x，y在数轴上对应点如图所示： （1）在数轴上表示﹣x，|y|； （2）试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接， （3）化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|． 【考点】有理数大小比较；数轴；绝对值．版权所有 【分析】（1）根据相反数、绝对值的定义在数轴上表示出即可； （2）根据数轴上的数右边的总比左边的大，按照从左到右的顺序排列； （3）先求出（x+y），（y﹣x）的正负情况，然后根据绝对值的性质去掉绝对值号，再合并同类项即可得解． 【解答】解：（1）如图， ； （2）根据图象，﹣x＜y＜0＜|y|＜x； （3）根据图象，x＞0，y＜0，且|x|＞|y|， ∴x+y＞0，y﹣x＜0， ∴|x+y|﹣|y﹣x|+|y| ＝x+y+y﹣x﹣y ＝y． 【点评】本题考查了数轴、相反数与绝对值的性质，有理数大小的比较，熟记数轴上的数，右边的总比左边的大是解题的关键． 4．有理数a、b、c在数轴上的位置如图， （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：c﹣b　＞　 0，a+b　＜　 0，a﹣c　＜　 0． （2）化简：|c﹣b|+|a+b|﹣2|a﹣c|． 【考点】有理数大小比较；数轴；绝对值．版权所有 【分析】（1）根据数轴确定出a、b、c的正负情况解答即可； （2）根据数轴确定绝对值的大小，然后化简合并即可． 【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，且|b|＜|a|＜|c|， c﹣b＞0，a+b＜0，a﹣c＜0； 故答案为：＞，＜，＜； （2）原式＝c﹣b+[﹣（a+b）]﹣[﹣2（a﹣c）] ＝c﹣b﹣a﹣b+2a﹣2c ＝a﹣2b﹣c． 【点评】本题考查了整式的加减、数轴、绝对值的性质，准确识图，确定出a、b、c的正负情况和绝对值的大小是解题的关键． 5．已知有理数a、b、c在数轴上的位置， （1）a+b　＜　 0；a+c　＜　 0；b﹣c　＞　 0；（用“＞，＜，＝”填空） （2）试化简|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|． 【考点】有理数大小比较；数轴；绝对值．版权所有 【分析】（1）根据数轴确定a，b，c的范围，即可解答； （2）根据绝对值的性质，即可解答． 【解答】解：（1）由数轴可得：c＜a＜0＜b， ∴a+b＜0，a+c＜0，b﹣c＞0， （2）∵a+b＜0，a+c＜0，b﹣c＞0， ∴|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|＝﹣a﹣b+a+c+b﹣c＝0． 故答案为：（1）＜；＜；＞；（2）原式＝0． 【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴确定a，b，c的范围． 例题1．若2m+1与﹣2互为相反数，则m的值为 　　 ． 【考点】相反数．版权所有 【分析】利用相反数的定义可得关于m的一元一次方程，再解方程即可． 【解答】解：∵2m+1与﹣2互为相反数， ∴2m+1﹣2＝0， ∴m． 故答案为：． 【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键． 练习1 1．若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣3，则x的相反数是　3　 ． 【考点】相反数．版权所有 【分析】先根据多重符号的化简方法得出﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣3，即x＝﹣3，再根据相反数的定义即可求解． 【解答】解：∵﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣3， ∴x＝﹣3， 即x的相反数为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了相反数的概念，多重符号的化简规律．用到的知识点：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，a的相反数是﹣a．多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． 2．若|x﹣12|+|y﹣13|＝0 计算：（1）x、y的值； （2）求3x﹣2y的值的相反数． 【考点】相反数；非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】（1）直接利用绝对值的性质得出x，y的值，进而得出答案； （2）利用x，y的值结合相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：（1）∵|x﹣12|+|y﹣13|＝0 ∴x﹣12＝0，y﹣13＝0， 解得：x＝12，y＝13； （2）由（1）得：3x﹣2y＝3×12﹣2×13＝10， 故3x﹣2y的值的相反数为：﹣10． 【点评】此题主要考查了相反数以及绝对值，正确得出x，y的值是解题关键． 3．若a、b互为相反数，则a﹣（2﹣b）的值为 　﹣2　 ． 【考点】相反数．版权所有 【分析】利用相反数的意义求出a+b＝0，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：因为a、b互为相反数， 所以a+b＝0， 所以a﹣（2﹣b）＝a﹣2+b＝a+b﹣2＝0﹣2＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键． 4．已知|a﹣4|+|b+5|＝0，a、c互为相反数，求3a+2b﹣4c的值． 【考点】相反数；非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0，由此即可求出a、b的值，从而求出c的值，把a、b、c的值代入3a+2b﹣4c，即可求值． 【解答】解：∵|a﹣4|+|b+5|＝0， ∴a﹣4＝0，b+5＝0， ∴a＝4，b＝﹣5， ∵a、c互为相反数， ∴a+c＝0， ∴c＝﹣4， ∴3a+2b﹣4c ＝3×4+2×（﹣5）﹣4×（﹣4） ＝12﹣10+16 ＝18． 【点评】本题考查相反数，非负数的性质：绝对值，关键是掌握非负数的性质． 5．已知a，b互为相反数且a≠0，c，d互为倒数，，求． 请帮助小亮完成以下解题过程： 解：∵a，b互为相反数且a≠0， ∴a+b＝　0　 ，　﹣1　 ； ∵c，d互为倒数，∴cd＝　1　 ； ∵|m|， ∴m2＝　2　 ； ∴原式＝　2﹣（﹣1）+0﹣1＝2　 ． 【考点】相反数；绝对值；倒数；算术平方根．版权所有 【分析】先根据相反数的定义得出a+b＝0，1，再由c，d互为倒数，得出cd＝1，根据绝对值的性质得出m2＝2，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵a，b互为相反数且a≠0， ∴a+b＝0，1， ∵c，d互为倒数， ∴cd＝1， ∵， ∴m2＝2， ∴原式＝2﹣（﹣1）+0﹣1＝2． 故答案为：0，﹣1，1，2，2﹣（﹣1）+0﹣1＝2． 【点评】本题考查的是相反数及倒数的定义，绝对值的性质，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键． 例题1．已知|m﹣2|+|n﹣6|＝0，则m+n＝（　　） A．2 B．6 C．8 D．4 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：由题意得，m﹣2＝0，n﹣6＝0， 解得m＝2，n＝6， 所以m+n＝2+6＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 练习1 1．若|x+3|+|y﹣2|＝0，则x+y的值是（　　） A．5 B．﹣1 C．8 D．﹣5 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+3|+|y﹣2|＝0， ∴x+3＝0，y﹣2＝0， ∴x＝﹣3，y＝2， ∴x+y＝﹣3+2＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 2．若|a+1|+|b﹣2|＝0，则a+b＝（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+1|+|b﹣2|＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴a+b＝1， 故选：A． 【点评】本题主要考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 3．若|x﹣2|+|y+3|＝0，则（x+y）2的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．25 D．5 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x﹣2|+|y+3|＝0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， ∴x＝2，y＝﹣3， ∴（x+y）2＝（2﹣3）2＝1． 故选：B． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 4．若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（　　） A．3 B．5 C．﹣5 D．﹣6 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x﹣2|+|2y﹣6|＝0， ∴x﹣2＝0，2y﹣6＝0， ∴x＝2，y＝3， ∴x+y＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 5．若|x﹣3|+|y﹣4|＝0，x＝　3　 ，y＝　4　 ． 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值即可． 【解答】解：∵|x﹣3|+|y﹣4|＝0， ∴x﹣3＝0，y﹣4＝0， 解得：x＝3，y＝4． 故答案为：3，4． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出关于x，y的等式是解题关键． 例题2．当x＝a时，代数式|x﹣1|+10有最小值b，则a+b的值为 　11　 ． 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，即可得出答案． 【解答】解：∵代数式|x﹣1|+10有最小值b， ∴x﹣1＝0，b＝10， 解得：x＝1， 故a＝1， 则a+b＝11． 故答案为：11． 【点评】此题主要考查了绝对值的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 练习2 1．若式子3|x﹣2|﹣4有最小值，则该最小值为 　﹣4　 ． 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据绝对值的非负性解答即可． 【解答】解：∵3|x﹣2|≥0， ∴3|x﹣2|﹣4≥﹣4， ∴3|x﹣2|﹣4有最小值，最小值为﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了绝对值的非负性，利用绝对值的非负性是解答本题的关键． 2．当式子（x+3）2+|y﹣4|+2取最小值时，xy＝　81　 ． 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据偶次方和绝对值的非负数性质解答即可． 【解答】解：∵（x+3）2≥0，|y﹣4|≥0， ∴当式子（x+3）2+|y﹣4|+2取最小值时，x+3＝0，y﹣4＝0， 解得x＝﹣3，y＝4， ∴xy＝（﹣3）4＝81． 故答案为：81． 【点评】此题考查了非负数的性质：任意一个数的偶次方都是非负数，任意一个数的绝对值都是非负数． 3．当x＝　2　 时，式子|x﹣2|+2023有最小值． 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据绝对值的非负性，求出当|x﹣2|的值最小时x的值即可． 【解答】解：∵|x﹣2|≥0， ∴当|x﹣2|＝0时，|x﹣2|+2023的值最小， ∴x﹣2＝0， 即x＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是正确解答的前提． 4．当a＝　1　 时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是 　5　 ． 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】先根据非负数的性质求出a的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵|1﹣a|≥0， ∴当1﹣a＝0时，|1﹣a|+5会有最小值， ∴当a＝1时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是5． 故答案为：1，5． 【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知任何数的绝对值都是非负数是解答此题的关键． 5．已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　4　 ． 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据绝对值都是非负数，可得答案． 【解答】解：∵|a﹣2|≥0， ∴当a＝2时，|a﹣2|+4的最小值是4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，利用非负数最小时和最小． 例题1．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过 　2或18　 秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度． 【考点】数轴．版权所有 【分析】用含有时间t的代数式表示MN的距离，利用方程求解即可． 【解答】解：分两种情况， ①当点N沿着数轴向右移动，则点M表示的数为（﹣2+5t），点N表示的数为（4+4t）， 由MN＝12得，|（﹣2+5t）﹣（4+4t）|＝12， 解得，t＝﹣6（舍去），或t＝18； ②当点N沿着数轴向左移动，则点M表示的数为（﹣2+5t），点N表示的数为（4﹣4t）， 由MN＝12得，|（﹣2+5t）﹣（4﹣4t）|＝12， 解得，t（舍去），或t＝2； 故答案为：2或18． 【点评】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的线段的距离表示方法是解题的关键． 练习1 1．如图，在数轴上点P、点Q所表示的数分别是﹣17和3，点P以每秒4个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，同时沿数轴向右运动．经过 　2或20　 秒，点P、点Q分别与原点的距离相等． 【考点】数轴．版权所有 【分析】分两种情况进行解答，即点P在原点的左侧，点P在原点的右侧，根据到原点的距离相等，列方程求解即可． 【解答】解：设运动的时间为t秒， ①当点P在原点的左侧时，有17﹣4t＝3+3t，解得，t＝2， ②当点P也在原点的右侧时，即点P追及到点Q，有4t＝20+3t，解得，t＝20； 故答案为：2或20． 【点评】考查数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点之间的距离的计算方法是解决问题的关键． 2．在数轴上点A对应的数为﹣2，点B是数轴上的一个动点，当动点B到原点的距离与到点A的距离之和为6时，则点B对应的数为 　﹣4或2　 ． 【考点】数轴．版权所有 【分析】分情况分别求出AB、OB，利用方程求解即可． 【解答】解：设点B表示的数为b， ①当点B在点A的左侧时，则有﹣2﹣b﹣b＝6，解得，b＝﹣4， ②当点B在OA之间时，AB+AO＝2≠6，因此此时不存在， ③当点B在原点的右侧时，则有b+2+b＝6，解得，b＝2， 故答案为：﹣4或2． 【点评】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键． 3．A、B、C、D、E是数轴上的五个点，点A、B、C所表示的数分别为、3、，将数轴沿着点D折叠后，点A与点E重合，此时点C到点E和点B的距离相等，那么点D所表示的数是　2　 ． 【考点】数轴．版权所有 【分析】设出点D所表示的数，表示出AD，进而表示点E所表示的数，根据折叠后点C到点E和点B的距离相等，列方程求出答案． 【解答】解：设点D所表示的数为x，则AD＝x， 折叠后点A与点E重合，则AD＝DE，此时点E所表示的数为2x， 由折叠后点C到点E和点B的距离相等得， ①当点E在点C的右侧时，即CB＝CE， 3＝2x， 解得，x＝2， ②当点E在点C的左侧时，CB＝CE，即点E与点B重合，不合题意， 所以点D所表示的数为2， 故答案为2． 【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的前提． 4．已知：如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为﹣5，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的，当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为　22　 ． 【考点】数轴．版权所有 【分析】根据运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，可知相遇前相距6个单位和相遇后相距6个单位，可利用方程求出点M、Q的运动速度，进而求出AB的距离，再计算出当点P运动到点A所用的时间，再计算出点Q运动的距离，进而求出所表示的数． 【解答】解：设点Q运动的速度为每秒a个单位长度，则点M运动的速度为每秒a个单位长度， 由运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，可列方程， 2a+6+4×2＝4a+4×4﹣6， 解得，a＝6， a＝2， 即：点Q运动的速度为每秒6个单位长度，点M运动的速度为每秒2个单位长度， 此时，AB＝2×2+6+4×2＝18， ∴点Q所表示的数为﹣56＝22， 故答案为：22． 【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，求出点M、Q的运动速度和AB的距离是正确计算的关键． 5．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，点B表示的数为30，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过　2或10　 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 【考点】数轴．版权所有 【分析】设时间为t秒，表示出点M、点N所表示的数，进而分情况表示他们到原点的距离，列方程求解即可． 【解答】解：设经过t秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，则点M所表示的数为（﹣10+3t），点N所表示的数为2t， ①当点O是MN的中点时，有2t＝0﹣（﹣10+3t），解得，t＝2， ②当点M与点N重合时，有2t＝﹣10+3t，解得，t＝10， 因此，t＝2或t＝10， 故答案为：2或10． 【点评】考查数轴表示数的意义，用两点在数轴上所表示的数，来表示两点之间的距离，是正确解答的关键． 例题2．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ，点P表示的数是 　6﹣6t （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方程得到t＝5； ②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求得答案解即可． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【点评】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键． 练习2 1． 已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）MN的长为 　4　 ； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 　1　 ； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． （4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 【考点】数轴；正数和负数．版权所有 【分析】（1）MN的长为3﹣（﹣1）＝4，即可解答； （2）根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值； （3）可分为点P在点M的左侧和点P在点N的右侧，点P在点M和点N之间三种情况计算； （4）分别根据①当点M和点N在点P同侧时；②当点M和点N在点P异侧时，进行解答即可． 【解答】解：（1）MN的长为3﹣（﹣1）＝4； （2）根据题意得：x﹣（﹣1）＝3﹣x， 解得：x＝1； （3）①当点P在点M的左侧时． 根据题意得：﹣1﹣x+3﹣x＝8． 解得：x＝﹣3． ②P在点M和点N之间时，则x﹣（﹣1）+3﹣x＝8，方程无解，即点P不可能在点M和点N之间． ③点P在点N的右侧时，x﹣（﹣1）+x﹣3＝8． 解得：x＝5． ∴x的值是﹣3或5； （4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM＝PN． 点P对应的数是﹣t，点M对应的数是﹣1﹣2t，点N对应的数是3﹣3t． ①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合， 所以﹣1﹣2t＝3﹣3t，解得t＝4，符合题意． ②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧）， 故PM＝﹣t﹣（﹣1﹣2t）＝t+1．PN＝（3﹣3t）﹣（﹣t）＝3﹣2t． 所以t+1＝3﹣2t，解得t，符合题意． 综上所述，t的值为或4． 【点评】此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据M，N位置的不同进行分类讨论是解题关键． 2．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心” （1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是 　﹣4或2　 ； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 　﹣2或﹣1或0或1或2或3或4（答案不唯一）　 （填一个即可）； （3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？ 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解； （2）根据幸福中心的定义即可求解； （3）分两种情况列式：①P在B的右边；②P在A的左边讨论；可以得出结论． 【解答】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是﹣1﹣3＝﹣4或﹣1+3＝2； （2）∵4﹣（﹣2）＝6， ∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心． 故C所表示的数可以是﹣2或﹣1或0或1或2或3或4（答案不唯一）； （3）设经过x秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，依题意有 ①8﹣2x﹣4+（8﹣2x+1）＝6， 解得x＝1.75； ②4﹣（8﹣2x）+[﹣1﹣（8﹣2x）]＝6， 解得x＝4.75． 故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心． 【点评】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程＝时间×速度，认真理解新定义． 3．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 G ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　﹣4或﹣16　 ． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考查点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【解答】解：（1）根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，只有点G符合条件， 故答案为：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定﹣4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是﹣16． 故答案为：﹣4或﹣16． （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2﹣3＝﹣1，因此t＝1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2﹣6＝﹣4，因此t＝3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2﹣18＝﹣16，因此t＝9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2﹣27＝﹣25，因此t＝13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2﹣13.5＝﹣11.5，因此t＝6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图6， 当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧， 当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒， 第八种情况， N为【M，P】的美好点，点P在M右侧， 当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【点评】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 4．已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （1）请直接写出A，B两点所对应的数． （2）数轴上点A以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数． （3）已知，数轴上点M从点A向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发，速度为每秒2个单位长度，经t秒后点M、N、O（O为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求t的值． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据题意找出A与B点对应的数即可； （2）设经过x秒点A、B相遇，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出C点对应的数； （3）根据题意分5种情况列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：A点所对应的数是﹣8；B对应的数是20； （2）设经过x秒点A、B相遇， 根据题意得：3x﹣x＝28， 解得：x＝14， 则点C对应的数为﹣8﹣14＝﹣22； （3）依题意，当O到M，N距离相等， 20﹣2t＝8+t， 解得t＝4； 当N和O重合，2t＝20， 解得t＝10； 当N到M，O距离相等，2（2t﹣20）＝8+t， 解得t＝16； 当M，N重合2t﹣t＝20+8， 解得t＝28； 当M到N，O距离相等，2t﹣20＝2（8+t），方程无解． 故t的值为4或10或16或28． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知点运动速度以及距离之间的关系得出等式是解题关键． 5．如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒） （1）求t＝1时点P表示的有理数； （2）求点P与点B重合时的t值； （3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离；（用含t的代数式表示） （4）当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，直接写出所有满足条件的t值． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据P点的速度，有理数的加法，可得答案； （2）根据两点间的距离公式，可得AB的长度，根据路程除以速度，可得时间； （3）根据速度乘以时间等于路程，可得答案； （4）根据速度乘以时间等于路程，可得答案． 【解答】解：（1）当t＝1时 3×1﹣6＝﹣6+3＝﹣3， 所以 点P 所表示的有理数是﹣3； （2）当点P与点B重合时，点P所运动的路程为|6﹣（﹣6）|＝12 所以 t＝12÷3＝4； （3）点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，点P与点A的距离分为2种情况： 当点P到达点B前点P与点A的距离是3t（0≤t＜4）； 当点P到达点B再回到点A的运动过程中点P与点A的距离是：24﹣3t（4≤t≤8）； （4）当点P表示的有理数与原点（设原点为O）的距离是3个单位长度时，则有以下四种情况： 当点P由点A到点O时：OP＝AO﹣3t，即：6﹣3t＝3， ∴t＝1； 当点P由点O到点B时：OP＝3t﹣AO，即：3t﹣6＝3， ∴t＝3； 当点P由点B到点O时：OP＝18﹣3t，即：18﹣3t＝3， ∴t＝5； 当点P由点O到AO时：OP＝3t﹣18，即：3t﹣18＝3， ∴t＝7， 即：当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，t的值为1或3或5或7． 【点评】本题考查了数轴，利用了速度与时间的关系，分类讨论是解题关键． 例题1．若a+b+c＜0，abc＞0，则的值为　4或0或2　 ． 【考点】绝对值．版权所有 【分析】根据a+b+c＜0，abc＞0，推导出a、b、c三个数中必定是一正两负，进而分类讨论即可． 【解答】解：∵a+b+c＜0，abc＞0， ∴a、b、c三个数中必定是一正两负， ∴当a＜0，b＜0，c＞0时，ab＞0，此时 ＝﹣1+2+3＝4； 当a＜0，b＞0，c＜0时，ab＜0，此时 ＝﹣1﹣2+3＝0 当a＞0，b＜0，c＜0时，ab＜0，此时 ＝1﹣2+3＝2 故答案为：4或0或2． 【点评】本题考查了与绝对值有关的代数式化简问题，熟练运用分类讨论思想是解题的关键． 练习1 1．已知a+b+c＜0，abc＜0，则的值为　﹣3或1或﹣1　 ． 【考点】绝对值．版权所有 【分析】利用分类讨论的思想方法和绝对值的意义化简运算即可． 【解答】解：∵abc＜0，a+b+c＜0， ∴a，b，c有一个为负数或三个均为负数， ∴当a＜0时，b＞0，c＞0，则ab＜0，abc＜0，则1﹣1﹣1＝﹣3； 当a＜0时，b＜0，c＜0，则ab＞0，abc＜0，则1+1﹣1＝﹣1； 当a＞0时，b＞0，c＜0，则ab＞0，abc＜0，则1+1﹣1＝1； 当a＞0时，b＜0，c＞0，则ab＜0，abc＜0，则1﹣1﹣1＝﹣1． 综上，则的值为﹣3或1或﹣1． 故答案为：﹣3或1或﹣1． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，绝对值，分类讨论的思想方法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 2．若ab≠0，则的所有可能值＝　3或﹣1　 ． 【考点】绝对值．版权所有 【分析】由ab≠0，可以分以下两种情况：a＞0，b＞0或a＜0，b＜0或a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0；分别计算即可． 【解答】解：①当a＞0，b＞0时， 1+1+1＝3， ②当a＜0，b＜0时， 1﹣1+1＝﹣1， ③当a＞0，b＜0时， 1﹣1﹣1＝﹣1， ④当a＜0，b＞0时， 1+1﹣1＝﹣1， 综上所述，3或﹣1． 故答案为：3或﹣1或． 【点评】本题考查了绝对值的意义、分式的商及有理数的运算等知识点．解题关键是要分类讨论，分类时注意不重不漏． 3．已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为 　3或1或﹣1或﹣3　 ． 【考点】绝对值．版权所有 【分析】根据题意进行分类，再根据绝对值的定义解决此题． 【解答】解：当a、b与c均为正数时，即a＞0，b＞0，c＞0，则． 当a、b与c中有两个正数时，假设a＞0，b＞0，c＜0，则1． 当a、b与c中有一个正数时，假设a＞0，b＜0，c＜0，则1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 当a、b与c中没有正数时，假设a＜0，b＜0，c＜0，则1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3． 综上：的值为3或1或﹣1或﹣3． 故答案为：3或1或﹣1或﹣3． 【点评】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义以及分类讨论的思想是解决本题的关键． 4．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则1+1+1＝3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则的值是 　0　 ； （2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 【考点】绝对值．版权所有 【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可； （2）（3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【解答】解：（1）a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0， 当a＞0，b＜0时，； 当 a＜0，b＞0时，． 故答案为：0． （2）abc＜0， ∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时， 则：|1﹣1﹣1＝﹣3； ②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0， 则1+1+1＝1； （3）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a+b+c＝0得，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，b+c＝﹣a． a，b，c中只有一个负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0， 1﹣1﹣1＝﹣1． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键． 5．已知非零实数a，b，c，满足1，则等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【考点】绝对值．版权所有 【分析】根据题意，、、 的值均可能为±1．它们的和1，说明a，b，c中有两个正数和一个负数，从而 abc为负数，故 ． 【解答】解：已知非零实数a，b，c，满足1， 当a＞0时，；当a＜0时，；所以可能为±1， 同理可得：、 的值均可能为±1， 又∵， ∴必有两个项为1，一个项为﹣1， 即 a、b、c 中有两个正数和一个负数． ∴abc的符号为负， 因此，． 故选：A． 【点评】本题考查绝对值的化简以及有理数的乘法法则，掌握这些是解题的关键． 提升检测 1．数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为（　　） A．﹣3 B．5 C．6 D．7 【考点】数轴．版权所有 【分析】此题借助数轴用数形结合的方法求解．结合数轴，求得两个点到原点的距离之和即线段AB的长度． 【解答】解：数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为B点坐标减去A点坐标即2﹣（﹣5）＝7．故选D． 【点评】本题考查数轴上两点间距离的求法：右边点的坐标减去左边点的坐标；或两点坐标差的绝对值． 2．如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN＝NP＝PR＝1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|＝3，则原点是（　　） A．M或R B．N或P C．M或N D．P或R 【考点】绝对值；数轴．版权所有 【分析】先利用数轴特点确定a，b的关系从而求出a，b的值，确定原点． 【解答】解：∵MN＝NP＝PR＝1， ∴|MN|＝|NP|＝|PR|＝1， ∴|MR|＝3； ①当原点在N或P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|＝3，所以，原点不可能在N或P点； ②当原点在M、R时且|Ma|＝|bR|时，|a|+|b|＝3； 综上所述，此原点应是在M或R点． 故选：A． 【点评】主要考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解． 3．的所有可能的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】绝对值．版权所有 【分析】由于a、b的符号不确定，应分a、b同号，a、b异号两种情况分类求解． 【解答】解：①a、b同号时，、也同号，即同为1或﹣1；故此时原式＝±2； ②a、b异号时，、也异号，即一个是1，另一个是﹣1，故此时原式＝1﹣1＝0； 所以所给代数式的值可能有3个：±2或0． 故选：C． 【点评】此题主要考查了绝对值的性质及分类讨论的思想方法． 4．若0＜x＜1，则x，，x2的大小关系是（　　） A．x＜x2 B．xx2 C．x2＜x D．x2＜x 【考点】有理数大小比较．版权所有 【分析】已知x的取值范围，可运用取特殊值的方法，选取一个符合条件的实数代入选项求得答案． 【解答】解：∵0＜x＜1，∴可假设x＝0.1， 则10，x2＝（0.1）2， ∵0.1＜10， ∴x2＜x． 故选：C． 【点评】解答此类题目关键是要找出符合条件的数，代入计算即可求得答案．注意：取特殊值的方法只适用于填空题与选择题，对于解答题千万不能用此方法． 5．物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“+”，运出物资为“﹣”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（　　） A．﹣8吨 B．﹣2吨 C．+2吨 D．+8吨 【考点】正数和负数．版权所有 【分析】由有理数加法的意义求解即可． 【解答】解：该仓库当天物资变化的结果可表示为+2吨， 故选：C． 【点评】本题考查有理数加法的应用，理解有理数加法的意义是解题的关键． 6．下列四个数中，是负整数的是（　　） A． B．0 C．﹣2 D．1 【考点】有理数．版权所有 【分析】根据有理数的分类方法解答即可． 【解答】解：A、是负分数，不是负整数，不符合题意； B、0不是正整数也不是负整数，不符合题意； C、﹣2是负整数，符合题意； D、1是正整数，不是负整数，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是关键． 7．在数轴上，若点A表示一个负数，则原点可以是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【考点】数轴；正数和负数．版权所有 【分析】根据点A表示一个负数，原点在点A的右侧解答即可． 【解答】解：∵点A表示一个负数， ∴原点可以是点Q， 故选：D． 【点评】本题考查了数轴，正确的识别图形是解题的关键． 8．与﹣2的和为0的数是（　　） A．﹣2 B． C． D．2 【考点】相反数．版权所有 【分析】根据相反数的意义即可得出答案． 【解答】解∵﹣2+2＝0， ∴与﹣2的和为0的数是2； 故选：D． 【点评】本题主要考查了相反数，掌握相反数的意义是本题的关键，只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是﹣a． 9．若|a﹣3|+3＝a，则a的可能取值为（　　） A．﹣4 B．0 C．2 D．4 【考点】绝对值．版权所有 【分析】利用绝对值的性质可得a﹣3≥0，据此即可得出答案． 【解答】解：若|a﹣3|+3＝a， 则|a﹣3|＝a﹣3， 那么a﹣3≥0， 因此a≥3， 那么a的可能取值为4， 故选：D． 【点评】本题考查绝对值，熟练掌握其性质是解题的关键． 10．若|a﹣1|与|b+2|互为相反数，则（a+b）2025的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 【考点】非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣1|和|b+2|互为相反数， ∴|a﹣1|+|b+2|＝0， ∴a﹣1＝0，b+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴（a+b）2025＝（1﹣2）2025＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 11．已知0，则的值为 　﹣1　 ． 【考点】绝对值．版权所有 【分析】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：∵0， ∴a、b异号， ∴ab＜0， ∴1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数，判断出a、b异号是解题的关键． 12．已知|x|＝4，|y|＝2，且xy＜0，则x﹣y的值等于　6或﹣6　 ． 【考点】绝对值．版权所有 【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 有理数的乘法法则：同号得正，异号得负． 【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝2， ∴x＝±4，y＝±2． 又xy＜0，∴x＝4，y＝﹣2或x＝﹣4，y＝2． 当x＝4，y＝﹣2时， x﹣y＝4﹣（﹣2）＝6， 当x＝﹣4，y＝2时， x﹣y＝﹣4﹣2＝﹣6． 故答案为：6或﹣6． 【点评】本题考查绝对值的性质：互为相反数的绝对值相等．能够根据两个数的乘积的符号判断两个数的符号的关系． 13．已知m＜0，n＞0，x2﹣px+q＝（x﹣m）（x﹣n），且pq＞0，则|m|与|n|的大小关系|m|　＞　 |n|（填“＜”、“＞”、“＝”）． 【考点】绝对值．版权所有 【分析】根据公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），及有理数的运算法则求解． 【解答】解：∵x2﹣px+q＝（x﹣m）（x﹣n）， ∴m+n＝p，mn＝q． 又∵m＜0，n＞0，且pq＞0， ∴mn＜0，m+n＜0， ∴m＜﹣n， ∴|m|＞|n|． 答：|m|与|n|的大小关系|m|＞|n|． 【点评】此题用到了公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），也考查了有理数的加法、乘法法则，有一定难度，培养了学生的推理能力． 14．赵宋奕同学规定[x）表示大于x的最小整数，如：[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的有 　③④　 （填序号）． ①[0）＝0； ②[x）﹣x的最小值是0； ③[x）﹣x的最大值是1； ④存在有理数x，使[x）﹣x＝0.5成立． 【考点】有理数大小比较．版权所有 【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案． 【解答】解：①[0）＝1，故本项错误； ②[x）﹣x＞0，但是取不到0，故本项错误； ③[x）﹣x≤1，即最大值为1，故本项正确； ④存在实数x，使[x）﹣x＝0.5成立，例如x＝0.5时，故本项正确． 故答案为：③④． 【点评】此题考查了实数的运算，仔细审题，理解[x）表示大于x的最小整数是解答本题的关键，难度一般． 15．a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是　①②④　 ．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）． 【考点】有理数大小比较；数轴．版权所有 【分析】首先能够根据数轴得到a，b之间的关系的正确信息，然后结合数的运算法则进行分析． 【解答】解：根据数轴得a＜﹣1＜b，|a|＞|b|． ①中，a﹣b＜0，故①正确； ②中，a+b＜0，故②正确； ③中，由于b的符号无法确定，所以ab＜0不一定成立，故③错误； ④中，ab+a+b+1＝（b+1）（a+1）＜0，故④正确． 所以一定成立的有①②④． 故答案为：①②④． 【点评】此题综合考查了数轴、绝对值、有理数的运算法则的有关内容． 特别注意④中，能够运用因式分解的知识分解成积的形式，再分别判断两个因式的符号． 16．若|x|+3＝|x﹣3|，则x的取值范围是x≤0　 ． 【考点】绝对值．版权所有 【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0＜x＜3，x≤0三种情况进行分析． 【解答】解：①当x≥3时，原式可化为：x+3＝x﹣3，无解； ②当0≤x＜3时，原式可化为：x+3＝3﹣x，此时x＝0； ③当x＜0时，原式可化为：﹣x+3＝3﹣x，等式恒成立． 综上所述，则x≤0． 【点评】此题主要是能够根据x的取值范围进行分情况化简绝对值，然后根据等式是否成立进行判断． 17．将有理数1，﹣2，0按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来． 【考点】有理数大小比较．版权所有 【分析】根据负数＜0＜正数，直接比较大小即可． 【解答】解：∵负数＜0＜正数， ∴﹣2＜0＜1． 【点评】比较有理数的大小的方法：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小． 18．已知多项式2m2n4﹣3mn﹣2 的次数为a，项数为b，常数项为c．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，P点表示数x（x≠3）． （1）a＝　6　 ，b＝　3　 ，c＝　﹣2　 ； （2）若将数轴对折，使得对折后A点与C点重合，此时点B与点P也重合，求点P所表示的数x； （3）若将数轴从点P处对折，使得对折后PB＝2AC，求点P所表示的数x． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据多项式的定义即可得出答案； （2）根据中点坐标公式即可得出答案； （3）由对称性可知，分别求出折叠后的对称点xB＝2x﹣3，xA＝2x﹣6，xC＝2x+2，再由|2x﹣3﹣x|＝2×8，求出x的值即可． 【解答】解：（1）多项式2m2n4﹣3mn﹣2的次数为6，项数为3，常数项为﹣2， ∴a＝6，b＝3，c＝﹣2， 故答案为：a＝6，b＝3，c＝﹣2． （2）A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，P点表示数x，由（1）得a＝6，b＝3，c＝﹣2， ∵将数轴对折，使得对折后A点与C点重合， ∴中点表示的数为：2， ∵点B与点P也重合， ∴2， ∴x＝1， 故答案为：点P所表示的数x为1． （3）①当P在C的右边或与C重合时， PB＝3﹣x，AC＝8， ∴3﹣x＝2×8， 解得x＝﹣13； ②当P在B与C之间时，设折叠后C表示的数为y，则x， ∴y＝2x+2， PB＝3﹣x，AC＝|2x+2﹣6|＝|2x﹣4|， ∴3﹣x＝2×|2x﹣4|， ∴3﹣x＝2（2x﹣4），解得x，或3﹣x＝2（4﹣2x），解得x； ③当P在B与A之间或与点A重合时，设折叠后A表示的数为m，则x， ∴m＝2x﹣6， PB＝x﹣3，AC＝2x﹣6+2＝2x﹣4， ∴x﹣3＝2（2x﹣4）， 解得x3，故舍去； ④当P在A的右边时， PB＝x﹣3，AC＝8， ∴x﹣3＝2×8， 解得x＝19； 综上，点P所表示的数为﹣13或或或19． 【点评】本题考查了多项式定义、数轴、代数式等知识点，解题的关键在于读懂题意和灵活运用分类讨论的思想． 19．设A、B、C是数轴上的三个点，且点C在A、B之间，它们对应的数分别为xA、xB、xC． （1）若AC＝CB，则点C叫做线段AB的中点，已知C是AB的中点． ①若xA＝1，xB＝5，则xc＝　3　 ； ②若xA＝﹣1，xB＝﹣5，则xC＝　﹣3　 ； ③一般的，将xC用xA和xB表示出来为xC＝　　 ； ④若xC＝1，将点A向右平移5个单位，恰好与点B重合，则xA＝　﹣1.5　 ； （2）若AC＝λCB（其中λ＞0）． ①当xA＝﹣2，xB＝4，λ时，xC＝　﹣0.5　 ． ②一般的，将xC用xA、xB和λ表示出来为xC＝　xAxB ． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）①②③分别按所给的关系式及点在数轴上的位置，计算即可； ④根据平移关系用xA+5表示出xB，再按③中关系式计算即可； （2）①根据AC＝λCB，将xA＝﹣2，xB＝4，λ代入计算即可； ②根据AC＝λCB，变形计算即可． 【解答】解：（1）C是AB的中点， ①∵xA＝1，xB＝5， ∴xc3 故答案为：3； ②∵xA＝﹣1，xB＝﹣5， ∴xC3 故答案为：﹣3； ③xC 故答案为：； ④∵将点A向右平移5个单位，恰好与点B重合， ∴xB＝xA+5， ∴xC1， ∴xA＝﹣1.5 故答案为：﹣1.5； （2）①∵AC＝λCB，xA＝﹣2，xB＝4，λ， ∴xC﹣（﹣2）＝λ（4﹣xC） ∴（1+λ）xC＝4λ﹣2 ∴xC0.5 故答案为：﹣0.5； ②∵AC＝λCB ∴xC﹣xA＝λ（xB﹣xC） ∴（1+λ）xC＝xA+λxB ∴xCxAxB 故答案为：xAxB． 【点评】本题考查了数轴上的点所表示的数及相关线段的数量关系，数形结合，是解题的关键． 20．出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，表中是上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，O表示载有乘客，且乘客都不相同）： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 ﹣3 ﹣15 +19 ﹣1 +5 ﹣12 ﹣6 +12 载客 × O O × O O O O （1）刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ （2）已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有8升油，若少于2升则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油； （3）已知载客时3千米以内收费15元，超过3千米后，超出部分每千米收费2.8元，问：刘师傅这天上午最高一次的营业额是多少元？ 【考点】数轴；正数和负数．版权所有 【分析】（1）将8次里程相加计算即可； （2）先算出刘师傅这天上午行驶的总路程，再求出耗油量，再计算出剩下的油量，并与2升比较大小，即可； （3）由表可知，刘师傅这天上午第3次的里程行驶的最多，其营业额最高，计算出第3次的里程营业额即可． 【解答】解：（1）﹣3﹣15+19﹣1+5﹣12﹣6+12＝﹣1， 答：刘师傅走完第8次里程后，他在A地的西边，离A地有1千米． （2）刘师傅这天上午行驶的总路程为：|﹣3|+|﹣15|+|+19|+|﹣1|+|+5|+|﹣12|+|﹣6|+|+12|＝73（千米）， 耗油量为：0.06×73＝4.38（升）， 8﹣4.38＝3.62＞2， 答：刘师傅这天上午中途可以不加油． （3）由表可知，刘师傅这天上午第3次的里程营业额最高． 第3次的营业额为：15+（19﹣3）×2.8＝59.8（元）， 答：刘师傅这天上午最高一次的营业额是59.8元． 【点评】本题考查了数轴与正负数的知识点，灵活运用所学知识解决实际问题是解题的关键． 21．【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有|c﹣3+d|+（d+2）2＝0，则CD的中点N所对应的数为 　1.5　 ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为ts，t为何值时，PQ的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为 　　 ． ②在（2）的条件下，若E是PQ最靠近Q的五等分点，F为PC的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）先由非负数的性质求出c＝5，d＝﹣2，进而可得CD的中点N所对应的数； （2）首先依题意求出点P所表示的数为：5﹣t，点Q所表示的数为：﹣2+2t，然后根据PQ的中点所对应的数为10，得，由此解出/即可； （3）①依题意可得出M对应的数；②由（2）可知：点P所表示的数为：5﹣t，点Q所表示的数为：﹣2+2t，再求出点E所表示的数为，点F所表示的数为，进而求出 ，从而得．然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【解答】解：（1）∵|c﹣3+d|+（d+2）＝0， ∴d+2＝0，c﹣3+d＝0， ∴c＝5，d＝﹣2， ∵点N是CD的中点， ∴CD的中点N所对应的数为：， 故答案为：1.5； （2）由题意可得，点P表示的数为5﹣t，点Q表示的数为﹣2+2t， ∴， 解得t＝17， 当t＝17时，PQ的中点所对应的数为10； （3）①根据题意：五等分点公式：点M对应的数为：； 故答案为：； ②由题意，得点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，，不是定值， 当t≤10时，，是定值， 当t＞10时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 【点评】此题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $