21.3.1 矩形 (课件) 2025-2026学年人教版数学 八年级下册

21.3 特殊的平行四边形 第二十一章 四边形 21.3.1 矩形 学习目标 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 矩形的定义 矩形的性质 直角三角形斜边上的中线的性质 矩形的判定 学习目标 知识点 矩形的定义 知1－讲 1 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 图示 符号语言 如图，若四边形ABCD 是平行 四边形，且∠ABC＝90°， ∴ ▱ABCD 是矩形 也就是长方形 感悟新知 知1－讲 注意 由矩形的定义知：矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. 矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 矩形必须具备两个条件： 1. 它是一个平行四边形； 2. 它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. 感悟新知 知1－练 例 1 如图21.3－1，在▱ABCD中，点E，F为BC边上的点，且BE＝CF，AF＝DE. 求证：▱ABCD 是矩形. 解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明. 感悟新知 知1－练 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB＝CD，∠B＋∠C＝180°. ∵ BE＝CF，∴ BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE. 又∵ AF＝DE，∴△ABF ≌△DCE(SSS). ∴∠B＝∠C＝ 90°. ∴ ▱ABCD 是矩形. 感悟新知 知1－练 1－1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，E 是AC的中点，O 是AB的中点，连接EO并延长至点F，使BF∥AC.四边形BCEF是矩形吗？请说明理由. 感悟新知 知1－练 解：四边形BCEF是矩形．理由如下： ∵E是AC的中点，O是AB的中点， ∴OE∥BC，即EF∥BC. 又∵BF∥CE， ∴四边形BCEF是平行四边形． 又∵∠C＝90°，∴▱BCEF是矩形． 感悟新知 知2－讲 知识点 矩形的性质 2 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，如下表. 类别 性质 符号语言 图形 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90° 感悟新知 知2－讲 续表 类别 性质 符号语言 图形 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形，∴ AC＝BD 对称性 矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴 直线l1，l2是矩形ABCD的两条对 称轴 OA＝OB＝OC＝OD 两条对称轴互相垂直 感悟新知 知2－讲 特别解读 1. 矩形的任意一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形. 2. 矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，且相对的两个等腰三角形全等. 感悟新知 知2－练 如图21.3－2，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝6. 求： 例 2 解题秘方：紧扣矩形的“角、对角线的性质”进行计算. 当矩形两条对角线的一个夹角是60°或120°时，矩形中就会含有等边三角形和含30°角的直角三角形. 感悟新知 知2－练 (1)对角线的长； 解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴ AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD. 又∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°. ∴△AOB是等边三角形. ∴ OA＝AB＝6. ∴ BD＝AC＝2OA＝2×6＝12. 感悟新知 知2－练 (2)BC的长； (3)矩形ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°. ∴ BC＝＝＝6 . S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6＝36. 感悟新知 知2－练 2－1.[中考· 杭州]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD 相交于点O. 若∠AOB＝60°，则＝(　　) A． B． C． D． D 感悟新知 知2－练 2－2. 已知矩形的一边长为6 cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积为_______cm2． 48 感悟新知 知2－练 [月考·咸阳彬州市]如图21.3－3，已知AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E. 求证：BD＝BE. 解题秘方：将线段AC作为“桥梁”，利用矩形对角线的性质和平行四边形的判定证明. 例 3 感悟新知 知2－练 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AB∥CD. ∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形. ∴AC＝BE. ∴BD＝BE. 感悟新知 知2－练 3－1.如图，在矩形ABCD中， 点F在CB的延长线上，AF＝AC. 求证：四边形AFBD是平行四边形. 感悟新知 知2－练 证明：∵四边形ABCD是矩形，点F在CB的延长线上， ∴AD∥FB，AD＝BC，AB⊥FC. ∵AF＝AC，∴FB＝BC. ∴AD＝FB.∴四边形AFBD是平行四边形． 感悟新知 知3－讲 知识点 直角三角形斜边上的中线的性质 3 性质 数学语言 主要应用 图示 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，在Rt△ABC 中，∵∠ACB＝90 °， AD＝BD，∴ CD＝AB (或CD＝AD＝BD) 证明线段的倍分、相等关系 感悟新知 知3－讲 直角三角形斜边上的中线的性质 说明 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的.将矩形沿某条对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的模型. 感悟新知 知3－讲 直角三角形斜边上的中线的性质 2. 该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形” 仍然成立， 它可以用来判定一个三角形是直角三角形. 感悟新知 知3－讲 特别解读 1. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形. 2. 此性质与“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”都是解决线段倍分关系的重要依据. 感悟新知 知3－练 [期中·杭州上城区]已知：如图21.3－4，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F分别是AC，BD的中 点，AC＝6.求EF的长. 例 4 感悟新知 知3－练 解题秘方：连接AF，构造直角三角形，为利用直角三角形斜边上的中线的性质创造条件. 解：如图21.3－4，连接AF. ∵AB＝AD，F是BD的中点， ∴AF⊥ BD. ∴△AFC是直角三角形. 又E是AC的中点，∴ EF＝AC. ∵AC＝6, ∴EF＝3. 感悟新知 知3－练 4－1. [中考·德阳]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90 °，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD＝1，则GE＝( ) A. 3 B. 2 C.1 D. B 感悟新知 知3－练 如图21.3－5，BD，CE 是△ABC的两条高，M，N分别是BC，DE 的中点. 求证：MN⊥DE. 例 5 感悟新知 知3－练 思路导引： 感悟新知 知3－练 证明：如图21.3－5，连接EM，DM. ∵ BD，CE 为△ABC的两条高，∴ BD⊥AC，CE⊥AB. ∴∠BEC＝∠CDB＝90°. 在Rt△BEC中， ∵ M为斜边BC的中点，∴ EM＝BC. 在Rt△CDB 中，∵ M 为斜边BC 的中点，∴ DM＝BC. ∴ EM＝DM. 又∵ N 为DE 的中点，∴ MN ⊥ DE. 感悟新知 知3－练 技巧点拨：当两个直角三角形共斜边时，若已知斜边上的中点，则一般可作斜边上的中线构造等腰三角形解决问题. 感悟新知 知3－练 5－1.[期末·泰州兴化市]如图，△ABC中，AD是边BC上的 高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． 求证： 感悟新知 知3－练 (1)DE⊥CF； 证明：如图，连接DF. ∵AD是边BC上的高，∴∠ADB＝90°. 感悟新知 知3－练 (2)∠B＝2∠BCF． 证明：∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF. ∴∠FDB＝∠DFC＋∠DCF＝2∠DCF. ∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B. ∴∠B＝2∠BCF. 感悟新知 知4－讲 知识点 矩形的判定 4 判定方法 符号语言 图示 角 有一个角是直角 的平行四边形 (定义法) 在▱ABCD 中， ∵∠ABC＝90°， ∴▱ABCD 是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD 中， ∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形 感悟新知 知4－讲 续表 判定方法 数学语言 图示 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD中，∵ AC＝ BD，∴▱ABCD是矩形 感悟新知 知4－讲 注意 判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择判定方法 感悟新知 知4－讲 特别解读 矩形判定的常见思路： 1. 从角的角度证明. (1)四边形矩形；(2)平行四边形矩形. 2.从对角线的角度证明. (1)平行四边形矩形； (2)四边形矩形. 感悟新知 知4－练 [中考·连云港]如图21.3－6，点C是BE的中点，四边形ABCD 是平行四边形． 例 6 感悟新知 知4－练 思路导引： 感悟新知 知4－练 (1)求证：四边形ACED 是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，且AD＝BC． ∵点C 是BE 的中点，∴ BC＝CE. ∴ AD＝CE. ∵ AD∥CE，∴四边形ACED 是平行四边形. 感悟新知 知4－练 (2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED 是矩形． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB＝DC. ∵ AB＝AE，∴ DC＝AE. ∵四边形ACED 是平行四边形， ∴四边形ACED 是矩形. 感悟新知 知4－练 6－1. 如图，在△ABC中，点D，E 分别是AB，AC 的中点，连接ED 并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE． 感悟新知 知4－练 (1)求证：△ADE ≌△BDF； 感悟新知 知4－练 (2)若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE 是矩形． 证明：∵AD＝BD，DF＝DE， ∴四边形AFBE是平行四边形． ∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC.∴∠DEB＝∠CBE. ∵∠ABE＝∠CBE，∴∠DEB＝∠ABE. ∴DB＝DE.∴AB＝EF. ∴平行四边形AFBE是矩形． 感悟新知 知4－练 如图21.3－7，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN 为△ABC的外角∠CAM的 平分线，CE∥AD，交AN于点E． 求证：四边形ADCE 是矩形． 例 7 感悟新知 知4－练 思路导引: 感悟新知 知4－练 证明：在△ABC 中，∵ AB＝AC，AD是BC边的中线， ∴ AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°. ∵ AN 为△ABC 的外角∠CAM 的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°. ∵ CE∥AD，∴∠AEC＝90°．∴四边形ADCE是矩形． 感悟新知 知4－练 7－1.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F 分别为垂足． 感悟新知 知4－练 (1)求证：△ABE ≌△CDF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC.∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°. 感悟新知 知4－练 (2)求证：四边形AECF是矩形． 证明：∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠CFA＝90°. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠FAE＝180°－∠AEC＝90°. ∴四边形AECF是矩形． 感悟新知 矩形 角的性质 对称性 性质 矩形 定义 直角三角形斜边 上的中线的性质 判定 对角线的 关系 对角线的性质 角的关系 课堂小结 方法 利用折叠法解决矩形中的计算问题 1 如图21.3－8，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点C′，BC′ 与AD 交于点E. 若AD＝8 cm，AB＝4 cm， 求△BDE 的面积. 例 8 综合应用创新 解题秘方：紧扣折叠的性质将要求的边与已知边都集中在同一个三角形中是解决问题的关键. 综合应用创新 解：如图21.3－8，设DE＝x cm ，则AE＝(8－x)cm. 由折叠的性质知△BCD≌△BC′D，则∠1＝∠2. 综合应用创新 在矩形ABCD 中，∵ AD∥BC，∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3. ∴ BE＝DE＝x cm . 在Rt△ABE 中，由勾股定理得BE2＝ AB2＋AE2， 即x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5. ∴△BDE 的面积为DE·AB＝×5×4＝10(cm2). 将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中，利用勾股定理列方程求解 综合应用创新 方法总结 解决矩形折叠问题的方法： 1. 利用折叠的性质：折叠前后的图形能够完全重合，折叠前后的图形对应边相等，对应角相等. 2. 此类问题往往通过图形间的折叠找出折叠部分与原图形中线段或角的关系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形中线段或角的关系. 综合应用创新 方法 利用逆向思维法解决矩形中的条件探究题 2 如图21.3－9，在△ABC中，点O是AC边上一动点，点H是BC延长线上一点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E， 交∠ACH的平分线于点F. 例 9 解题秘方：紧扣结论的特性，运用逆向思维是解题的关键. 综合应用创新 (1)证明：EO＝FO； 证明：∵ MN∥BC，∴∠CEO＝ ∠ECB. ∵ CE 是∠BCA 的平分线，∴∠ECO＝ ∠ECB. ∴∠CEO＝ ∠ECO. ∴ EO＝OC. 同理可得FO＝OC，∴ EO＝FO. 综合应用创新 (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明 理由. 解：当点O运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形. 理由：由(1)知OE＝OF. 又∵ AO＝CO，∴四边形AECF 是平行四边形. ∵ OE＝OC，∴ AC＝EF. ∴四边形AECF 是矩形. 综合应用创新 思路点拨 求点O运动到何处时四边形AECF是矩形，可以先把矩形当作已知条件，求出O点与AC的位置关系，然后将这个位置关系作为需添加的条件，经过推理，证明四边形AECF是矩形.这种逆向思维的方法是条件探究题的一般解题思路. 综合应用创新 方法 利用数形结合法解决矩形中的动点问题 3 如图21.3－10，在矩形ABCD 中，AB＝24 cm， BC＝10 cm，点P从A开始沿AB边以4 cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2 cm/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发， 当其中一点到达终点时，另一点 也随之停止运动，设运动时间为t s. 例10 综合应用创新 解题秘方：抓住点在运动过程中的一个瞬间(或一个确定的位置)，如本例(1)中求PQ的长时，可构造直角三角形，利用勾股定理求解；(2)中要使AQ与DP互相平分，只需保证四边形APQD是平行四边形即可. 综合应用创新 (1)当t＝2 时，求P，Q两点之间的距离. 解：如图21.3－10，连接PQ，过点P作PE⊥DC于点E，则DE＝AP，PE＝BC＝10 cm . 综合应用创新 ∵点P从A开始沿AB边以4 cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2 cm/s的速度运动， ∴当t＝2时，QC＝4 cm ，AP＝8 cm＝DE. 在矩形ABCD中，DC＝AB＝24 cm ， ∴ QE＝DC－QC－DE＝12 cm . ∴ PQ＝＝＝2(cm). 综合应用创新 (2)直接写出当t 为何值时，线段AQ与DP互相平分？ 解：故当t＝ 4 时，线段AQ 与DP 互相平分. 综合应用创新 (3)当t为何值时，四边形APQD的面积为矩形面积的？ 解：根据题意，得(4 t＋24－2t)×10＝24×10×， 解得t＝3. ∴当t＝3时，四边形APQD 的面积为矩形面积的. 综合应用创新 方法技巧 动点问题的解题策略： 1. 动中寻静，在“静”中探求“动”的规律,获得图形在运动的过程中具有的某种性质,抓住变化中不变的因素,进行求解； 综合应用创新 2. 化动为静，抓住动的一个瞬间(或一个确定的位置)，从而找到“动”与“静”的关系； 3. 以静制动，当图形中点的位置变化导致线段间数量关系发生变化时，可寻找变量间的等量关系，建立函数模型或方程模型进行求解. 综合应用创新 详解： 当线段AQ与DP互相平分时，四边形APQD为平行四边形，则AP＝DQ，即4t＝24－2t，解得t＝4. 综合应用创新 易错点 因矩形的判定条件不足而出错 下列说法正确的是( ) A. 有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B. 一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 例11 综合应用创新 答案：D 错解：B 正解：A 是错误的，提供的条件甚至不能证明它是平行四边形；B 中提供的条件对于直角梯形也成立，所以是错误的；对角线互相垂直的平行四边形不一定是矩形，所以C 是错误的；由对角线互相平分可知，这个四边形是平行四边形，又有一个角是直角，根据矩形的定义可知其是矩形，所以D正确. 综合应用创新 诊误区： 判定一个四边形是矩形分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，此时可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明其是矩形. 此题易错选B，其提供的两个条件都是证明矩形所必需的，只不过条件不足. 综合应用创新 [中考·福建]某房梁如图21.3－11所示，立柱AD⊥ BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点. 若AB＝AC＝ 8 m， 则DE的长为_______m． 考法 利用直角三角形斜边上中线的性质计算 1 例12 4 中考风向标 试题评析：本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 解：∵AD⊥BC，∴△ABD为直角三角形. ∵E是斜梁AB的中点， ∴DE＝AB＝4 m． 中考风向标 [中考·烟台] 如图21.3－12，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题： 考法 利用矩形的性质求线段的长 2 例13 中考风向标 试题评析：本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练作图是解本题的关键． 中考风向标 (1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)； 解：如图21.3－12，△BED即为所求作的三角形. 中考风向标 (2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长． 解：如图21.3－12 所示， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，AD∥BC，∠A＝90° . ∴∠ADB＝∠CBD . ∵∠EBD＝∠CBD，∴∠FBD＝∠FDB. ∴FB＝FD. 中考风向标 设AF＝x，则DF＝2－x＝BF. 在Rt△BAF中，由勾股定理得12＋x2＝(2－x)2， 解得x＝. ∴AF＝． 中考风向标 [中考· 内江] 如图21.3－13，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． 考法 利用矩形的判定证明矩形 3 例14 中考风向标 试题评析：本题考查了矩形的判定，证明△AEF ≌△DEC 是解题的关键．证明四边形是矩形时，通常先证明该四边形是平行四边形，再在平行四边形的基础上证有一个角是直角或对角线相等. 中考风向标 (1)求证：FA＝BD； 证明：∵ AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE. 又∵ E 是AD 的中点，∴ AE＝DE， ∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF＝DC. 又∵ D 是BC 的中点，∴ BD＝CD. ∴ FA＝BD. 中考风向标 (2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF 是矩形． 证明：∵ AF＝BD，FA∥BD， ∴四边形ADBF 是平行四边形. ∵ AB＝AC，D 是BC 的中点， ∴ AD ⊥ BC. ∴∠ADB＝ 9 0°. ∴四边形ADBF 是矩形． 中考风向标 [中考·宜宾]如图21.3－14，在矩形ABCD中，点E，F 分别在BC，CD上，且EF∥BD，把△ECF沿EF翻 折，点C恰好落在矩形对角线BD上 的点M处．若A，M，E三点共线， 则 的值为______． 考法 矩形与折叠问题 4 例15 中考风向标 试题评析：本题考查矩形的性质与图形的折叠，解题关键是灵活运用折叠的性质和勾股定理表示出所求线段的长. 中考风向标 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ AD＝BC，AB＝CD， ∠ABC＝90 °，AD∥BC. ∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，∠FEM＝∠EMB. 由翻折得∠CEF＝∠FEM，CE＝ME， ∴∠EMB＝∠EBM. ∴ME＝BE＝CE. ∵AD∥BC，∴∠ADM＝∠EBM. 中考风向标 又∠AMD＝∠EMB，∴∠ADM＝∠AMD. ∴AD＝AM. 设BE＝ME＝CE＝x，则AM＝AD＝BC＝2x， AE＝AM＋EM＝3x， ∴AB＝＝2x. ∴CD＝2x. ∴＝＝. 中考风向标 1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 C 综合素养训练 2. [中考·成都]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A．AB＝AD B．AC ⊥ BD C．AC＝BD D．∠ACB＝ ∠ACD C 综合素养训练 3. 如图，要使▱ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是( ) A. AB∥CD B. AB＝BC C. ∠ABC＝∠ADC D. AC＝BD D 综合素养训练 4. [中考·辽宁]如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE＝BC，连接CE，若AB＝3，AE＝4，则CE的长为(　　) A. 1 B. 5 C. 2 D. D 综合素养训练 5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为E，F是OC的中点，连接EF，若EF＝2，则矩形ABCD的周长是(　　) A．16 B．8＋4 C．4＋8 D．8＋8 D 综合素养训练 6. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”． 如图，矩形ABCD 位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是( ) A．点A B．点B C．点C D．点D B 综合素养训练 7. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝ 8 cm ，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A 运 动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动． 综合素养训练 设点P 的运动时间为t s，下列结论正确的是(　　) A．当t＝4 时，四边形ABMP 为矩形 B． 当t＝5 时，四边形CDPM 为平行四边形 C．当CD＝PM 时，t＝4 D．当CD＝PM 时，t＝4 或6 D 综合素养训练 8. [中考· 扬州]如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝ 90°，若AC＝4，BC＝8，则DF的长是_______． 6 综合素养训练 9. [中考·威海]将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D 落在点D′ 处，C′D′交AD 于点E． 若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝_______． 综合素养训练 10. 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD 边上，连接OF． 若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝__________. 46°或106° 综合素养训练 11.[中考·吉林]如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上， 连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF． 综合素养训练 (1)求证：△ABE≌△DCF； 综合素养训练 (2)当AB＝12，DF＝13 时，求BE的长． 综合素养训练 12. [中考·江西]如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图 (保留作图痕迹). (1)在图①中作出BC的中点； 解：如图，点D即为所作； 综合素养训练 (2)在图②中作出△ABC的重心． 解：如图，点F即为所作． 综合素养训练 13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC的中点．延长BO至点D，使OD＝OB.连接AD，CD，记AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3． 综合素养训练 (1)求证：四边形ABCD矩形； 证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC. ∵OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 综合素养训练 (2)若l2－l1＝2，l3＝28，求AC的长． 综合素养训练 14.【问题背景】已知矩形ABCD与矩形CEFG共顶点C, AB＝CG，BC＝CE，连接AF交BE的延长线于点M. 【特例感知】 (1)如图①，当点E在CD上时，试判断 ∠DAF与∠EFM的大小，并说明理由. 综合素养训练 解：∠DAF＝∠EFM.理由如下： ∵矩形ABCD与矩形CEFG共顶点C，且E在CD上，∴EF⊥CD，AD⊥CD， ∴AD∥EF， ∴∠DAF＝∠EFM. 综合素养训练 【拓展探究】 (2)如图②，当点E不在CD上时，求证： ①∠DAF＝∠EFM＋∠DCE； 综合素养训练 证明：如图，过点F作FP⊥CD，交CD于点P，交CE于点Q，∵AD⊥CD，∴AD∥FP， ∴∠DAF＝∠AFP＝∠EFM＋∠EFQ. ∵在Rt△CPQ与Rt△FEQ中， ∠PQC＝∠EQF，∠CPQ＝∠FEQ＝90°， ∴∠PCQ＝∠EFQ，即∠DCE＝∠EFQ， ∴∠DAF＝∠EFM＋∠DCE. 综合素养训练 ②AM＝MF. 证明：如图，过点A作AN∥EF，交BM的延长线于点N. ∴∠NAM＝∠EFM，∠ANM＝∠MEF. ∵BC＝CE，∴设∠EBC＝∠BEC＝α. ∵CE⊥EF， ∴∠ANM＝∠MEF＝90°－α， 又∠ABN＝90°－α，∴AN＝AB＝EF. ∴△ANM≌△FEM(ASA)．∴AM＝MF. 综合素养训练 ∵CF是边AB上的中线， ∴点F是AB的中点，∴DF＝AB＝BF. ∵DC＝BF，∴DC＝DF. ∵点E是CF的中点，∴DE⊥CF. 证明：∵点D是AB的中点，∴AD＝BD. 在△ADE和△BDF中， ∴△ADE≌△BDF(SAS)． 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(AAS)． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°. 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF(ASA)． 解：由(1)知△ABE≌△DCF，∴AE＝DF＝13. 在Rt△ABE中， BE＝＝＝5. 解：∵l2－l1＝BO＋OC＋BC－(BO＋AB＋AO)，AO＝OC， ∴l2－l1＝BC－AB＝b－a＝2.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝a，AD＝BC＝b.∴a＋a＋b＋b＝28，即a＋b＝14.∴联立得解得∵∠ABC＝90°， ∴AC＝＝10. 因此AC的长为10. $