第3章 第14节 二次函数的图象与性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

第十四节 二次函数的图象与性质 一阶教材知识全梳理 知识点①二次函数的图象与性质（重点） 概念 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数项，且a≠0)的函数 开口方向 a>0,开口向① a<0,开口向② 大致图象 (抛物线) 解析式 般式：y=ax2+bx+c(a≠ 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)（x-x2)（a≠ (三种形式) 0) (a≠0) 0) 对称轴 直线③ 直线④ 直线⑤ 将x=⑧ 代入解析式，求 顶点坐标 ⑥ ⑦ y值 最值 在对称轴处，y取得最⑨ 值 在对称轴处，y取得最⑩ 值 在对称轴左侧，y随x的增大而① 在对称轴B 增减性 ,y随x的增大而增大； 在对称轴右侧，y随x的增大而② 在对称轴④ y随x的增大而减小 知识点② 二次函数图象与系数的关系 开口向上→a⑤ 0:开口向下→a6 0； 开口方向 1a越大，开口越小；lal相同，开口大小相同： (由a决定) y=ax2和y=-ax2(a≠0)的图象关于x轴对称 对称轴 对将结在y链左侧心名0（印a,6月号）： (由a,b决定) 对称轴是y轴台2a=0(即b@ 口诀：左同右异 0); 对称轴在y轴右侧→⑧ (即a,b⑩ 与y轴的交点 与y轴正半轴相交→c>0:过原点20 (由c决定) 与y轴负半轴相交→@ 与x轴的交点个数 与x轴有两个交点→b2-4ac>0:与x轴有一个交点曰b2-4ac=0: (由b-4ac决定) 与x轴无交点一2 其他特殊关系 看到2a+b,比较 b和1的大小 石到2a-6,比较云和吗 的大小 (先把含a,b,c 的项移到等式 看到a+b+c,找当x=1时，y的值 看到a-b+c,找当x=②④ 时，y的值 或不等式的一 边) 看到4a+2b+c,找当x=2时，y的值 看到4a-2b+c,找当x=5 时，y的值 47 知识点③3)二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程am2+bx+c=0的根是抛物线y=a2+bx+c与x轴交点的横坐标 △=b2-4ac 方程ax2+bx+c=0的根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 △>0 两个6 实数根 7 交点 △=0 两个8 实数根 一个交点 △<0 没有实数根 没有交点 2. 二次函数y=ax2+bx+c与不等式的关系 不等式 解集 图示 函数y=ax2+bx+c的图象位于函数y=kx+m的图象②四 y=ax'+bx+c ax2+bx+c>kx+m 对应的点的横坐标的取值范围 B y=kx+m 函数y=ax2+bx+c的图象位于函数y=x+m的图象30 ax2+bx+c<kx+m 0 对应的点的横坐标的取值范围 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1二次函数的图象与性质（必考） 1.(2024陕西8题3分)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： -4 -2 0 3 5 y -24-8 0-3 -15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 2.(人教九上P41T7改编)已知抛物线y=-x2+2x+3. (1)该抛物线开口向 对称轴是直线 ,与x轴有 个交点，交点坐标 是 ,与y轴的交点坐标是 ,有最 (填“大”或“小”)值，最 值为 顶点坐标为 (2)将抛物线的解析式化为顶点式是 化为交点式是 (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线； (4)现要在抛物线上找点P(a,b),若b=5,则点P的个数为 ;若b=4,则点P的个数 为 ;若b=3,则点P的个数为 (5)当x≤0时，y随x的增大而 ,最大值为 (6)若抛物线经过点(-2，a)和(-1，b),则a b;若抛物线经过点(-3，m)和(4，n),则 n.(填“>”“<”或“=”) 48 变式1一坐标含参数已知点A(n2,y1),B(n2+1,y2)在抛物线y=-（x+2)2+1上，则y1 (填“>”“<”或“=”) 变式2一解析式含参数若点A(-1,yA),B(2,yB),C(6,yc)都在抛物线y=mx2-6mx+4(m>0)上， 则yA,yB,yc的大小关系为 .(用“<”连接) +。十 同技巧点拨 利用二次函数的性质比较函数值大小的方法： (1)代入比较法：已知函数解析式→将横坐标代入解析式]→求得纵坐标→比较大小 (2)增减性比较法：已知图象对称轴→将已知，点转化到对称轴同侧→利用增减性比较大小 a>0时，距离越大，对应函数值越大； (3)距离比较法：比较，点到对称轴的距离 a<0时，距离越小，对应函数值越大 考点2二次函数图象与系数的关系(8年2考) 3.（2025陕西8题3分)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴有两 个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是 A.图象的开口向下 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时，y<0 4如图，抛物线y=2+bx+c(a≠0)与x轴负半轴交于点(-2,0)，对称轴为直线x=1,则以下结论 中正确的是 .（填序号)》 ①abc<0:②a-b+c>0:③4a+2b+c<0;④2a-b>0:⑤c<0;⑥b2<4ac;⑦3a+c=0;⑧一元二次方程 ax2+bx+c-3=0有实数根；⑨若(-1，y1),(2,y2),(4,y3)都是抛物线上的点，则y1<y2<y3;⑩am2+ bm≥a+b(m为任意实数). 考点3二次函数与一元二次方程、不等式的关系 5.（人教九上P47T5改编)观察下列函数图象，解答问题. Y=x2-2x-3 Y= y=2x+3 2103 图1 图2 图3 (1)如图1，方程x2-2x-3=0的解为 (2)如图2，方程x2-2x=3的解为 (3)如图3，方程x2=2x+3的解为 (4)如图3，不等式x2<2x+3的解集为 49 重难点与二次函数有关的最值问题 6. 已知二次函数y=x2-4x+3. 【铺垫设问】 (1)该二次函数图象的开口向 对称轴为直线 ,顶点坐标为 【解决问题1—定轴定范围】 (2)①当-1≤x≤1时，函数y的最大值为 最小值为 ②当4≤x≤8时，函数y的最大值为 ,最小值为 ③当0≤x≤3时，函数y的最大值为 最小值为 ④当1≤x≤7时，函数y的最大值为 最小值为 【解决问题2—定轴动范围】 (3)若当a≤x≤a+2时，函数y的最小值为0，则a的值为 【拓展探究一动轴定范围】 (④)已知关于x的二次函数y=-42-4心+2，若当了≤≤时，函数y有最大值-2.则a的 值为 园方法总结 解决二次函数的最值问题时，通常会用到分类讨论思想 (1)若自变量的取值范围未限定，则在对称轴处取得最值，此时需要由二次项系数α的符号来确定是最 大值还是最小值.若a的符号未知，则需要分类讨论：①a>0;②a<0. (2)若自变量的取值范围被限定，且自变量的取值范围或二次函数解析式中含有参数，通常需要分类讨论： ①对称轴在自变量的取值范围的右侧； ②对称轴在自变量的取值范围内： ③对称轴在自变量的取值范围的左侧. 以a>0,自变量的取值范围为x,≤x≤x2为例： 对称轴与取值 对称轴在 对称轴在x1≤x≤x2内 对称轴在 范围的关系 x1≤x≤x,右侧 离,近 离，近 ,≤x≤化2左侧 图示 当x=x时，y最大； 当x=x2时，y最大； 当x=x,时，y最大； 当x=2时，y最大； 结论 当x=x2时，y最小 当x= b时，y最小 2 当=乡时，y最小 当x=龙1时，y最小 2a 温馨提示 请完成分层练习册P30~P32习题 50(3)二次函数的解折式为y=子+3x+12 5 (4)二次函数的解析武为y=4-5x (5)二次函数的解析式为y=5x2+20x+15. (6)二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. 2.y=(x-2)2-9:y=(x+1)(x-5)3.D4.D5.C 第十四节二次函数的图象与性质 ①上②下③x-六④r=h⑤r赞 2 0云)(8 2 :⑨小①大 ①减小②增大B左侧④右侧5>6<⑦= ⑧-7>09异号2@c=02Dc<026-4c<05- ②4-1巧-2②6不相等的②⑦两个②四相等的②四上方 团下方 1D2.(1)下：x=1:2;(-1,0)和(3,0)；(0,3)；大；大； 4:(1,4)(2)y=-(x-1)2+4:y=-(x+1)(x-3)(3)略. (4)0;1;2(5)增大：3(6)<：<【变式1】> 【变式2】yB<yc<y43.D4.②③④⑤⑧0 5.(1)x1=-1,x2=3(2)x1=-1,x2=3(3)x1=-1,x2=3 (4)-1<x<36.(1)上：x=2:(2,-1)(2)①8：0②35：3 ③3；-1④24：-1(3)-1或3(4)-1或2+√5 第十五节二次函数的实际应用 1(1)抛物线L,的函数表达式为y=石+4 (2)MN的长为12m. 2.(1)铅球离地面的最高高度为3m,此时的水平距离为 4m. (2)在铅球行进过程中，当它离地面的高度为；m时。 水平距离为8m 3.(1)W=-10x2+200x+15000. (2)当每盒降价10元时，公司每天的利润最大，最大利 润为16000元. (3)当每盒降价20元时，公司每天的利润最大，最大利 润为15000元. 4.(1)y与x之间的函数关系式为y=-2x+40x(0<x<20). (2)当AB边的长为10m时，菜园的面积最大，最大面积 为200m2. 【变式】这个矩形的长为12m、宽为9m时，菜园的面积最 大，最大面积是108m2. 5.(1)5:2000 (2)S=4x2-120x+900(0<x<15). (3)在解决生活中的问题时，可以尝试使用函数（答案不 唯一). 第三章易错题专练 1.-2【变式】12.-2【变式】-13.2【变式】-3 4.C5.y=2x2-4x-6或y=-2x2+4x+6 6.(1)y=-10x+800 (2)当售价定为48元/件时，商家销售该商品每天获得 的利润最大，最大利润为5760元. 第四章三角形 第十六节线段、角、相交线与平行线（含命题） ①两②线段③BC④AC⑤BC⑥AC⑦AB⑧2 ⑨90°090°<a<180°①14224B90°④相等 ⑤180°6相等⑦相等⑧相等9- 20PW@∠2 或∠4②2∠1或∠33180°②④∠35∠4②6相等 ⑦∠52四∠629∠7团∠8①∠832∠58∠5 ④L8图一0垂线段团垂线段的长度⑧相等 砂相等⑩1①=2=B一∥5相等G∠2 4⑦相等4⑧∠349互补⑤①180°+52- 1.(1)两点确定一条直线(2)两点之间，线段最短 2.(1)2或4(2)1.5；1或23.B【变式】钝；85°4.A 5.(1)60°(2)26.117.B【变式】40：20 8.(1)∠2：∠5(2)∠5；∠7(3)①②(4)①70°：110° ②55°③24°：66°9.D 第十七节三角形及其基本性质 ①等腰②等边③直角④90°⑤>⑥<⑦180 8∠B⑨大于国<①大角卫？h⑧== 590G内部⑦直角⑧内部9外部②0内部 行②行8】3相等雪中点雪F 2 1.B2.B3.6(答案不唯一)4.(1)高：6 (2)角平分线①65°②15③110°(3)中线①12 ②225.D6.167.6 第十八节特殊三角形 ①相等②相等③相互重合④1⑤相等⑥相等 060°⑧轴⑨3060°①4a2互余B90 ④-半50-半m}8a2+b=c'⑩90 2 2 ②0互余①a2+b2=c22相等3相等④45°51 1D2(1)65°(2)03②24 (3)等边三角形；3： 25W3 4 3.5-14.C5.C 00336,99(2 2 (3)3:607.358.A 9.35°【变式1】38°或26°【变式2】80°或20° 【变式3】80°或40°10.16cm或14cm11.90°或40 【特别提醒1(1)180°-a,180- -:180°-2a(2)2a+b:2b+a 2 2 第十九节全等三角形 ①完全重合②相等③相等④相等⑤相等⑥相等 ⑦三边⑧夹角⑨夹边0对边 5