17.2 平行四边形的判定（课件）2025-2026学年华东师大版 八年级数学下册

17.2 平行四边形的判定 第十七章 平行四边形 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 平行四边形的判定 三角形的中位线 知1－讲 感悟新知 知识点 平行四边形的判定 1 1. 判定方法：判定平行四边形可以从对边、对角和对角线三个方面进行，如图 17.2-1，在四边形ABCD 中， AC， BD 相交于点 O，具体方法如下表所示 ： 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形 . 2. 两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形 .如筝形(如图17.2-2 所示) 感悟新知 知1－讲 条件类型 判定方法 数学语言 对边关系 定义：两组对边分别平行的 四边形是平行四边形 ∵ AD ∥ BC， AB ∥ CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 判定定理1：两组对边分别相等的 四边形是平行四边形 ∵ AD=BC， AB=CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AD BC(或 AB CD)， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 感悟新知 知1－讲 表示AB∥CD且AB=CD，读作“AB 平行且等于CD”. 感悟新知 知1－讲 条件类型 判定方法 数学语言 对角线关系 判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA=OC， OB=OD， ∴四边形 ABCD 是 平行四边形 对角关系 (拓展) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠ DAB= ∠ DCB， ∠ ABC= ∠ ADC， ∴四边形 ABCD 是 平行四边形 续表 感悟新知 知1－讲 2. 灵活选择平行四边形判定定理的方法： 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)另一组对边相等 (2)该组对边平行 一组对边平行 (1)另一组对边平行 (2)该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 知1－练 感悟新知 [母题 教材P90 例1 ]如图17.2-3，点E，F分别为ABCD的BC，AD边上的点，且∠ 1= ∠ 2． (1)求证：AE=FC； (2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：由三角形全等的性质得到AE=FC； (1)求证：AE=FC； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B= ∠D． 又∵∠ 1= ∠ 2，∴△ABE≌△CDF(ASA)． ∴AE=FC． 知1－练 感悟新知 解题秘方：根据平行四边形和全等三角形的性质得到AF=CE，然后结合AE=CF说明． (2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 解：四边形AECF是平行四边形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC． ∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF．∴AD-DF=BC-BE，即AF=CE．又∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形． 知1－练 感悟新知 1-1. [ 期中·商丘] 如图，在ABCD 中，M，N，P，Q 分别为AB，BC，CD，DA 上的点，且AM=BN=CP=DQ. 求证：四边形MNPQ是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∠B＝∠D. ∵AM＝BN＝CP＝DQ， ∴AB－AM＝CD－CP，AD－DQ＝BC－BN， 即BM＝DP，AQ＝CN. ∴△BMN≌△DPQ，△AMQ≌△CPN. ∴MN＝PQ，MQ＝PN. ∴四边形MNPQ是平行四边形． 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 如图 17.2-4，已知 BE ∥ DF，∠ ADF= ∠ CBE， AF=CE. 求证：四边形 DEBF 是平行四边形 . 例2 知1－练 感悟新知 证明：∵ BE ∥ DF，∴∠ AFD= ∠ CEB. 又∵∠ ADF= ∠ CBE， AF=CE， ∴ △ ADF ≌△ CBE. ∴ DF=BE. 又∵ BE ∥ DF，∴ 四边形 DEBF 是平行四边形 . 解题秘方：紧扣条件“BE ∥ DF”，只需证明“BE=DF” 或“DE ∥ BF”即可得到四边形 DEBF 是平行四边形 . 知1－练 感悟新知 2-1.如图，在四边形ABCD 中，∠ B=30°，连结AC，∠ACB=∠CAD=90 °，AE 是∠ BAC 的平分线， 且BE=CD．求证：四边形AECD 是平行四边形. 知1－练 感悟新知 感悟新知 知1－练 如图17.2-5，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若AC⊥BD，求ABCD的面积. 解题秘方：紧扣对角线的关系判定平行四边形. 例3 感悟新知 知1－练 (1)求证：四边形 ABCD 是平行四边形； 证明：∵点 O 是 AC 的中点，∴ OA=OC. ∵ AD ∥ BC， ∴ ∠ ADO= ∠ CBO. 在△ AOD 和△ COB 中， ∴△ AOD ≌△ COB，∴ OD=OB. 又∵ OA=OC，∴四边形 ABCD 是平行四边形 . 感悟新知 知1－练 (2)若 AC ⊥ BD，求 ▱ABCD 的面积 . 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， AC ⊥ BD， ∴ S ▱ABCD=2S △ ABC=2× AC· BO= 2× AC· BD= AC· BD= × 8× 6=24. 知1－练 感悟新知 3-1.如图， AC， BD 相交于点 O， AB ∥ CD，AD∥ BC， E， F 分别是OB， OD 的中点 . 求证：四边形 AFCE 是平行四边形 . 知1－练 感悟新知 感悟新知 知2－讲 知识点 三角形的中位线 2 文字语言 符号语言 图示 定义 连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线 如图，在△ABC中， ∵AD=BD，AE=CE， ∴DE是△ABC的中位线 三角 形中 位线 定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 如图，在△ABC中， ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，且DE= BC 感悟新知 知2－讲 知识拓展：三角形的中位线与三角形的中线的区别 三角形的中位线 三角形的中线 图示 符号 语言 在△ABC中，∵D，E，F分别是BC，AC，AB边的中点，∴DE，EF，FD是△ABC的中位线(如图①)，AD，BE，CF是△ABC的中线(如图②) 感悟新知 知2－讲 区别 三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段 三角形的中线是连结三角形的一个顶点与其对边中点的线段 DE∥AB，DE=AB； EF∥BC，EF= BC； DF∥AC，DF= AC BD=DC， AF=FB， AE=EC 感悟新知 知2－讲 三角形的中位线 三角形的中线 区别 S △AEF= S △BDF= S △CDE= S △DEF=S△ABC S △A B D = S △A C D = S △C B F = S △C A F =S△BAE=S△BCE= S△ABC C△AEF=C△BDF=C△CDE=C△DEF= C△ABC C△ABD-C△ACD=AB-AC，C△CBF-C△CAF=BC-AC，C△BAE-C△BCE=AB-BC (AB>BC>AC) 知2－讲 感悟新知 特别解读 1. 三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 2. 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 3. 中位线具有平移角度、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到. 感悟新知 知2－练 (1)[中考·眉山]如图17.2-6，在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为(　　) A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 例4 A 知2－练 感悟新知 解题秘方：(1)紧扣“三角形中位线定理”的数量关系，计算△DEF的三边长度； 解：(1)∵点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点， ∴DE，EF，DF是△ABC的中位线. ∴DE= BC=3，EF= AB=2，DF=AC=4. ∴△DEF的周长为3+2+4=9． 感悟新知 知2－练 (2)如图17.2-7，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为(　　) A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° B 知2－练 感悟新知 解题秘方： (2)紧扣“三角形中位线定理”的位置关系和平行线的性质解答. 解： (2)∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， ∴DE，EF是△ABC的中位线. ∴DE∥BC，EF∥ AB. ∴∠ADE= ∠B，∠B= ∠EFC. ∴∠EFC= ∠ADE=65°. 知2－练 感悟新知 4-1. [中考·广安]如图，在△ ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A=45°，∠CED=70°，则∠C的度数为(     ) A. 45° B. 50° C. 60° D. 65° D 知2－练 感悟新知 4-2. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=3，BC=4，则四边形BDEF的周长是________ . 7 感悟新知 知2－练 如图 17.2-8，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE=DC，连结AE，交BC于点F，连结AC，BD，交于点O，连结OF. 求证：AB=2OF. 例5 知2－练 感悟新知 思路导引： 知2－练 感悟新知 证明：如图 17.2-8，连结 BE. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，点O是AC的中点 . ∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一 点，且CE=DC，∴AB∥CE，AB=CE. ∴四边形ABEC是平行四边形 . ∴点F是BC的中点 . ∴OF是△ABC的中位线 . ∴AB=2OF. 知2－练 感悟新知 5-1. 如图，已知在△ABC中，D，E分别是 AB，BC的中点，连结DE，CD，过点E作EF∥CD交AC的 延长线于点F．求证：CF=AC． 知2－练 感悟新知 平行四边形的判定 定义 对角关系 平行四边形 对边关系 对角线关系 性质 判定 三角形的 中位线 课堂小结 证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠CAE＝30°. ∴∠BAE＝∠B.∴AE＝BE.又∵BE＝CD，∴AE＝CD. 在Rt△AEC和Rt△CDA中， ∴Rt△AEC≌Rt△CDA(HL)．∴EC＝DA. ∵∠ACB＝∠CAD，∴AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形． 证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵E，F分别是OB，OD的中点， ∴OE＝OB，OF＝OD.∴OE＝OF. 又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形． 证明：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴DE∥AC，DE＝AC. ∵F为AC延长线上一点，∴DE∥CF. 又∵EF∥CD，∴四边形DCFE是平行四边形． ∴DE＝CF，∴CF＝AC. $