第二讲 集合与集合 讲义-2026届高三数学一轮复习

第二讲 集合与集合第 - 1 - 页 一、基础知识梳理 1、集合与集合的关系： 集合间的关系 定义 符号 图示 集合为集合的子集 任意的，都有 （或） 或 集合为集合的真子集 ，且存在元素，但 （或） 集合与集合相等 且 2、空集是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集。 3、性质： （1）自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即。 （2）传递性：对于集合，若，则。 （3）规定：空集是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集。 二、典型例题 例1 (1)集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是 (2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= 例2 已知集合，则的子集的个数是( ) A．4 B．8 C．16 D．32 例3 已知集合，，若，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 例4 设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝，试判定集合A与B的关系； (2)若B⊆A，求实数a组成的集合C. 解　(1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5,3}，当a＝时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5,3}中的元素， 集合A＝{5,3}中除元素5外，还有元素3,3不在集合B中，所以BA. (2)当a＝0时，由题意得B＝∅，又A＝{3,5}，故B⊆A； 当a≠0时，B＝，又A＝{3,5}，B⊆A，此时＝3或5，则有a＝或a＝.所以C＝. 例5 已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 解 (1)由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：；综合①②，得实数的取值范围是． (2)已知，，， 则，解得：，所以实数的取值范围是． 二、课堂练习 1．已知集合，，若MN，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 2．设集合，，且，则实数的取值集合为( ) A． B． C． D． 3．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 4．满足的集合的个数为( ) A．3 B．4 C．7 D．8 5．已知集合，，若是的子集，则实数的值为 . 三、课后作业 1．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是(　　) A．0∈A B．{1}∈A C．∅⊆A D．{0,1}⊆A 2．已知集合M＝{x∈Z|－<x<}，则下列集合是集合M的子集的为(　　) A．P＝{－3,0,1} B．Q＝{－1,0,1,2} C．R＝{y∈Z|－π<y<－1} D．S＝{x∈N||x|≤} 3．(多选)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　　) A．2 B．－1 C．－2 D．4 4．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格： A为________；B为________；C为________；D为________． 6．写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中的真子集的个数． 7．已知集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}，则集合A＝________.若集合B满足{0}B⊆A，则集合B＝________. 8．已知非空集合P满足：(1)P⊆{1,2,3,4,5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________． 9．集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的取值为________． 10．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠∅，B⊆A，则a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．±1 11．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B⊆A，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由． 12．判断下列各组中两个集合之间的关系： (1)与是的正因数； (2)与． 参考答案 1.答案　B 解析　∵{1}⊆A，∴B项错误，其余均正确． 2.答案　D 解析　集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M. 3.答案　AB 解析　∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1. 4.答案　D 解析　由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 5.答案　小说　文学作品　叙事散文　散文 解析　由Venn图可得AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文． 6.解　集合{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个． 7.答案　{－1,0}　　{－1,0} 解析　∵解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0，∴集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}＝{－1,0}， ∵集合B满足{0}B⊆A，∴集合B＝{－1,0}． 8.答案　7 解析　由a∈P,6－a∈P，且P⊆{1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个． 9.答案　1或－ 解析　由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a＝1时，满足题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－. 10.答案　D 解析　当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根－1，即a＝－1； 当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根1，即a＝1；当B＝{－1,1}时，不成立．故a＝±1. 11.解　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}． ∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴1∈B. 又BA，∴a－1＝1，即a＝2. ∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，∴C＝∅或{1}或{2}或{1,2}． 当C＝{1,2}时，b＝3；当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去； 当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，即－2<b<2.综上可知，存在a＝2，b＝3或－2<b<2满足要求． 12.解　（1）因为是的正因数，所以是的正因数 （2）因为，所以集合表示的整数倍数， 因为，所以集合表示的偶数倍数， 因此. 学科网（北京）股份有限公司 $