专题6 提升点15 函数的同构与构造 专题强化训练-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题强化训练 ［A 基本技能］ 1．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由指数和对数的运算性质得，.令，，易知 在 上为增函数.又因为，所以，即，所以. 2．已知连续函数是定义在上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.令,因为 是定义在 上的偶函数，所以，则，所以函数 也是定义在 上的偶函数，且.因为当 时，，所以当 时，，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减.不等式 即为不等式.由,得，所以，则,解得 或，所以 的解集是. 3．已知,,,且,,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.由已知得,,,令,则,故 在 上单调递增.,又,,所以,又,，所以,所以. 4．已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 在上恒成立 B. 在上恒成立 C. 当且仅当， D. 当且仅当， 【答案】A 【解析】选A.依题意， 由， 得. 令， 则， 所以函数 在 上为增函数. 又，故当 时，,； 当 时，，. 又 在 上是减函数， 所以 在 上恒成立. 5．若对任意，都有成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】选B.由题得，即，令，则，所以 在 上单调递增.，令，解得，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以，所以实数 的最大值为1. 6．已知定义在上的函数的导函数为,且满足，当时，,则不等式的解集为（ ） A. , B. , C. ， D. ,, 【答案】C 【解析】选C.由，得. 设，则，又，所以,所以 是偶函数.设，则，所以 在 上单调递增，所以,即，所以当 时，,所以当 时，，故 在 上单调递增.因为，所以，即，解得.所以不等式 的解集为,. 7．（多选）若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.易知 在 上单调递减，故当 时，,故A错误；在 上为增函数，故当 时，，故B正确；在 上单调递减，故当 时，，故C错误；令，则，即 在 上为增函数，故当 时，,即，故D正确. 8．（多选）已知函数满足,,则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，方程有两个解 C. D. 当时，方程有且只有一个解 【答案】CD 【解析】选.因为,将 代入得,又，所以,故A错误；令,,则,为任意常数.又,所以.所以,则,当 时，，单调递增；当 时,,单调递减，所以 在 处取得最大值1，作出 的大致图象如下. 当方程 有两个解时，直线 与 的图象有两个交点，所以,故B错误；由图可知，，故C正确；当 时，直线 与 的图象有且只有一个交点，即方程 有且只有一个解，故D正确. 9．（多选）下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】选.令，则 在 上恒成立，所以 在 上为增函数，所以当 时，，即，故A正确，B错误； 令，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，所以当 时，，即，故C错误，D正确. 10．设,，则“”是“”的____条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【解析】设 可得 在 上为增函数.所以，即“”是“”的充要条件. 11．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，.若，则不等式的解集是________________________. 【答案】 【解析】设，当 时,,则 在 上单调递增，,所以当 时，,当 时，.当 时，由,得.因为 是定义在 上的奇函数，设,则,则 是定义在 上的偶函数.所以当 时，由,得.故不等式 的解集是. 12．[2024·苏锡常镇四市调研]已知,,,则的最小值为______________. 【答案】 【解析】因为,,, 所以,所以, 所以,即, 所以. 令,, 则, 所以当 且 时，,当 时，， 所以 在 和 上单调递减， 在 上单调递增， 所以. 所以,当且仅当,时取得最小值. ［B 综合运用］ 13．[2024·南京联考]已知,,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.因为,所以.设，则,所以 在 上单调递减，所以,即,所以.令,则,所以 在 上单调递增，所以,即,则，综上所述，. 14．已知实数,，满足,则,，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.不等式 可变形为,设,则,令,则.当 时，,所以 即 单调递增，则,所以 单调递增，由，得,所以. 15．已知实数,满足，则满足条件的的最小正整数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】选B.由实数,满足，可化为，即，构造函数，则， 当 时，,单调递增，即，可以得到， 从而，构造函数，， 当 时，,单调递减，当 时，,单调递增，从而当 时，，即 有最小值，所以满足条件的 的最小正整数为3. 16．[2024·常州联考],，当时，均有,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.由题意得，即，即，即.令,,则,,当 时，均有,所以函数 在 上单调递减，即,,即,由,得,所以,所以实数 的取值范围是. 17．已知函数.若的最小值为0，则实数的最小值是____________. 【答案】 【解析】由 得，， 当且仅当，即 时，等号成立. 令,则， 当 时，,单调递减， 当 时，,单调递增， 得， 即实数 的最小值为. 18．[2024·太原模拟]已知，若对于任意的,不等式恒成立，则实数的最小值为________. 【答案】 【解析】因为, 所以, 可化为, 即. 令,则. 易知, 令,得.当 时，,当 时，, 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增. 因为当,时， 不等式 恒成立， 即 恒成立. 因为,,, 所以,, 且 在 上单调递增， 所以 在,上恒成立. 即,,恒成立. 令,,, 则. 令，得,当 时，,当 时，. 所以函数 在，上单调递增， 在，上单调递减， 则当 时，取得最大值， 且最大值为，所以 的最小值为. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $