专题5 提升点8 圆锥曲线中二级结论的应用 专题强化训练-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题强化训练 1．已知椭圆的两焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.设 ,根据焦点三角形面积公式可知，. 2．已知抛物线的顶点是原点，焦点在轴的正半轴上，经过点的直线与抛物线交于，两点，若，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.设抛物线，,,则由,,得,解得,即抛物线C的方程为. 3．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.记 的中点为，由,得,即,又由题意知,即,所以,,所以 的方程为. 4．已知，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于，的任意一点，若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.由题意得，,所以, 所以椭圆C的离心率 . 5．[2024·北京三模]已知点为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】选C.设,,，由，得， 所以,，准线方程为， 因为，所以 为 的重心， 所以， 所以， 所以. 6．已知椭圆,,为长轴端点，点，， ，是的六等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，， ，，则直线，， ，这10条直线的斜率乘积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.如图所示， 由椭圆的性质可得.由椭圆的对称性可得，则.同理可得.所以直线，， ，这10条直线的斜率乘积为. 7．（多选）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为中点 【答案】BCD 【解析】选.设直线 的倾斜角为 ，则.由抛物线的焦点弦的性质，得,解得,则,,,过点B作准线的垂线，垂足为（图略），在 中，，所以，又，因此 为 中点. 8．（多选）已知抛物线：,过其准线上的点作该抛物线的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时，直线的斜率为2 D. 直线过定点 【答案】BD 【解析】选.因为 为准线上的点， 所以,解得,故A错误； 当 时，点坐标为.根据抛物线方程得到,则, 设切点坐标分别为,,,, 则,整理得, 同理得, 所以,为方程 的解，则,所以,所以，故B正确； 由B选项得当 时，,所以,故C错误； 当 点坐标为 时，由B选项同理得,又, 联立得,同理得, 所以直线 的方程为,恒过点，故D正确. 9．[2024·重庆七校期末]（多选）已知椭圆，斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与垂直 B. 若点的坐标为，，则直线的方程为 C. 若直线的方程为,则点的坐标为， D. 若直线过椭圆焦点，则 【答案】BD 【解析】选.由题意，,.对于A，设,,,则 两式作差可得,所以,则，故A错误；对于B，若点 的坐标为,，则,则直线 的方程为,即,故B正确；对于C，若直线 的方程为,则,显然点 的坐标不可能为，，故C错误；对于D，易知过椭圆焦点的弦中，通径最短，为,长轴最长，为4，由直线 的斜率存在且不过原点，得,故D正确. 10．已知双曲线的离心率为2,实轴的两个端点为，，点为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线与的斜率之积为______. 【答案】3 【解析】由题意知,即,所以,所以,所以, 所以. 11．已知是椭圆和双曲线的一个交点，，是椭圆和双曲线的公共焦点，,分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】因为点 为椭圆和双曲线的公共点，，是两曲线的公共焦点，则由焦点三角形的面积公式得,化简得,即,等式两边同除以,得,所以，解得,当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为. 12．如图，椭圆,圆,椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆上一点和原点作直线交圆于，两点，若，则______. 【答案】8 【解析】设,因为 在椭圆上，所以,则.因为，所以,又,所以,,又,则. 13．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，为右焦点. （1） 求椭圆的方程. （2） 设坐标原点为，在轴上是否存在一点，使得过的任意一条直线与椭圆的两个交点，，恒有？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） 解：依题意，,离心率, 即,解得, 所以椭圆 的方程为. （2） 由（1）知，，假定存在点 满足条件，当直线与 轴不重合时， 设 的方程为, 由 消去 并整理得, 设,, 则,, 因为，则直线，的斜率互为相反数，即, 整理得, 即, 则有, 即,而 为任意实数，要使等式恒成立，则, 当直线 与 轴重合时，点，为椭圆长轴的两个端点，点 也满足，综上，存在点 满足条件，点 的坐标为. 14．过点作已知直线的平行线，交双曲线于点，. （1） 证明点是线段的中点； （2） 分别过点，作双曲线的切线,,证明：三条直线,,相交于同一点； （3） 设为直线上一动点，过作双曲线的切线，，切点分别为，，证明：点在直线上. 【答案】 （1） 证明：由题意知，直线 的方程为,代入双曲线方程, 得，. 设,,则. 所以. 故点 是线段 的中点. （2） 双曲线 过点，的切线方程分别为,. 两式相加并将,代入，得.这说明直线,的交点在直线 上，即三条直线,,相交于同一点. （3） 设，则直线 的方程为. 又,代入整理得,显然无论 取什么值（即无论 为直线 上哪一点），点 都在直线 上. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $