专题4 第3讲 随机变量的均值与方差-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

第3讲 随机变量的均值与方差 考情分析 备考关键 考点 随机变量的均值与方差的计算、实际生活中的决策问题. 考法 主要以解答题的形式考查独立事件的概率，以及随机变量的分布列、均值、方差，也经常与函数、数列结合考查.试题以解答题为主，中等难度. 熟练掌握离散型随机变量的取值，确定其对应的事件，并要学会数据的提取与分析，还应学会根据数据做出判断与决策. 做真题 明方向 1．[2022·全国甲卷]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立． （1） 求甲学校获得冠军的概率； （2） 用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望． 【答案】 （1） 解：设甲学校获得冠军为事件，则甲学校必须获胜2场或者3场. . 故甲学校获得冠军的概率为0.6. （2） 的取值可以为0，10，20，30. ， ， ， . 所以 的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 所以. 2．[2024·北京卷节选]某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 索赔次数 0 1 2 3 4 保单份数 800 100 60 30 10 假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元. 假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. （1） 估计一份保单索赔次数不少于2的概率； （2） 一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. 记为一份保单的毛利润，估计的数学期望. 【答案】 （1） 解：方法一（正面计算）：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件， 由索赔次数不少于2，知索赔次数为2，3，4， 所以. 方法二（反面计算）：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件，由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算， 则. （2） 由题知 的所有可能取值为，，，，， 则, , , , , 故. 研考点 破重难 考点一 随机变量的均值与方差的计算 离散型随机变量的分布列为 … … … … 则：（1）,,2, ,; （2）; （3）; （4）； （5）若，则,. ［例1］ [2024·济南模拟]抛掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为,，记的取值为随机变量，其中表示不超过的最大整数. （1） 求在的条件下，的概率； （2） 求的分布列及其均值. 【答案】 （1） 【解】记抛掷骰子的样本点为，则样本空间,,,，则， 记事件“”，记事件“”， 则,,},且,又,,,,,,,,,,,,,, 则, 所以，即在 的条件下，的概率为. （2） 所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. ,, ,, ,,, 所以 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 所以. 解决离散型随机变量分布列问题的两个关键点 （1）正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率； （2）正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从特殊分布，则可直接使用公式求解. ［对点训练］． 1．（多选）设离散型随机变量的分布列如表所示： X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.3 若离散型随机变量 ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 2．[2024·普通高考适应性测试]已知盒中有标记数字为1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球. （1） 求取出的3个小球上的数字都不同的概率； （2） 记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及均值. 【答案】1．BC 2．（1） 解：从8个小球中，随机一次取出3个小球，共有 种结果. 先从数字1，2，3，4中选择3个数字，再从选定的数字中各取1个小球，共有 种结果. 记事件“取出的3个小球上的数字都不同”，则. 所以取出的3个小球上的数字都不同的概率为. （2） 因为 为取出的3个小球上的最小数字，所以 的所有可能取值为1，2，3， ， ， . 故 的分布列为 1 2 3 故 . 【解析】 1．选.由,得，又由，得，从而得，，故A错误，B正确；，故C正确；因为，所以，故D错误. 考点二 实际生活中的决策问题 ［例2］ [2024·湖南九校联考]猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有，，三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表： 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.5 0.5 获得的奖励基金金额/元 1 000 2 000 3 000 （1） 求甲按“，，”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率； （2） 甲决定按“，，”或者“，，”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的均值；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由. 【答案】 （1） 【解】由题意可知甲按“，，”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：只猜对，，猜对，，，这两种情况不会同时发生. 设“甲按，，的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名”为事件， 由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，可得. （2） 甲按“，，”的顺序猜歌名，获得的奖励基金记为，则 的所有可能取值为0，，，， ， ， ， ， 所以； 甲按“，，”的顺序猜歌名，获得的奖励基金记为，则 的所有可能取值为0，，，， ， ， ， ， 所以. 由于,, 由于，，所以为了得到更多的奖励基金，应该按“，，”的顺序猜歌名. 决策类问题的解题关注点 （1）关注均值：随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平. （2）关注方差：方差反映了随机变量稳定于均值的程度，方差和均值从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据. （3）先后顺序：一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． ［对点训练］．某投资公司计划在某年年初将1 000万元投资到“销售某农产品”的项目上，现有两种销售方案可供选择：方案一：线下销售，根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．针对以上两种销售方案，请你从均值和方差的角度为该投资公司选择一个合理的方案，并说明理由． 解：若选方案一，设获利 万元，则 的可能取值为300，，0，则 的分布列为 300 0 . （或）. 若选方案二，设获利 万元，则 的可能取值为500，，0，则 的分布列为 500 0 . （或）. 由，得， ①方案一与方案二的利润均值差异不大，但方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一即线下销售更稳妥，故选方案一. ②方案一的利润均值低于方案二，故选方案二. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $