专题4 第3讲 随机变量的均值与方差 专题强化训练-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题强化训练 ［A 基本技能］ 1．已知随机变量的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】选A..因为，所以,解得. 2．已知口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中一次性任取2个球，记取出的球的最大编号为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.由题意得，的所有可能取值为2,3,则,, 所以，则. 3．设，若随机变量 的分布列如表所示 0 2 P 则下列方差值中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.由题意知,则,,,，.所以,，， 所以 最大. 4．[2024·蚌埠质量检测]在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为,,,，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ） A. ,,, B. ,,, C. , D. , 【答案】C 【解析】选C.对于A，，，所以, 对于B，，,所以, 对于C，,,所以, 对于D，,，所以，所以. 5．[2024·沈阳教学质量检测]（多选）如图是离散型随机变量的概率分布图，其中,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.由题图知，,,，则，又,,所以,,，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误. 6．已知盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，从盒中随机取球，每次取1个，取后不放回，直到蓝球被全部取出为止，记在这一过程中取球次数为 ，则 的均值________． 【答案】 【解析】由题意可知，随机变量 的可能取值有2，3，4， ， ， ， 所以随机变量 的分布列为 2 3 4 P . 7．在某次篮球比赛中，运动员甲有两次定点投篮的机会，每次定点投篮投中得2分，投不中得0分．已知甲在第一次定点投篮中投中的概率为，受心理素质的影响，若甲第一次投中，则第二次投中的概率将增加；若甲第一次未投中，则第二次投中的概率将减少．记这两次定点投篮中，甲的总得分为 ，则____，____． 【答案】0.2； 3.28 【解析】由题意可知， 的所有可能取值为0，2，4，其中，，，故. 8．[2024·福建适应性测试]11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权.每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为．求： （1） 再打两个球甲新增的得分的分布列和均值； （2） 第一局比赛甲获胜的概率. 【答案】 （1） 解：依题意，的所有可能取值为0，1，2. 设打成 后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且， 所以, ， . 所以 的分布列为 X 0 1 2 P 故. （2） 设第一局比赛甲获胜为事件. 则，， ， 由（1）知，，， ， 由全概率公式，得，解得，即第一局比赛甲获胜的概率. ［B 综合运用］ 9．（多选）甲、乙、丙三人参加某赛事的志愿服务活动，共三个赛区，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记为三人选中的赛区个数，为三人没有选中的赛区个数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.由题意得，随机变量 的所有可能取值为1，2，3，则，，，所以,.随机变量 的所有可能取值为0，1，2，则，,，所以,,故,. 10．[2024·开封质量检测]已知袋中有4个红球，个黄球，个绿球.现从中一次性任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球都是红球的概率为，则________. 【答案】 【解析】依题意，为非负整数，,即,解得 或（舍去），故 的可能取值为0，1，2， 则, , , 所以. 11．设随机变量 的分布列如表所示， 1 2 3 4 5 6 P 其中，， ，构成等差数列，则的最大值为________. 【答案】 【解析】方法一：因为，， ，构成等差数列，且，所以，即，,,所以,,，所以当 时，取得最大值. 方法二：因为，， ，成等差数列，且，所以，且，，所以，当且仅当 时取等号，所以 的最大值为. 12．[2024·沈阳质量监测]某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲、乙、丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为. （1） 已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若，求他既选出正确选项也选出错误选项的概率； （2） 已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若，试比较乙、丙两同学得分的均值的大小. 【答案】 12．记事件 为“该题的正确答案是2个选项”，则 为“该题的正确答案是3个选项”， 即，. （1） 解：由 得，，设事件 为“甲同学既选出正确选项也选出错误选项”， 则, , 则. （2） 由 得，,， 设 表示乙同学的得分，则 的可能取值为0，2，3， 所以， ， ， 所以； 设 表示丙同学的得分，则 的可能取值为0，4，6， 所以， , , 所以， 即，故乙同学得分的均值小于丙同学得分的均值. ［C 素养提升］ 13．[2024· 皖东智校协作联盟联考]（多选）某次乒乓球比赛采用五局三胜制，当参赛者甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，该选手晋级且比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局获胜的概率为，实际比赛局数的均值记为，则下列说法正确的是（ ） A. 三局就结束比赛的概率为 B. 的常数项为3 C. D. 【答案】BCD 【解析】选.设实际比赛局数为，的所有可能取值为3，4，5，则，，，因此三局就结束比赛的概率为，A错误； ，得 的常数项为3，B正确； ，C正确； 方法一：对函数 求导得.由，得.令，解得；令，解得，则函数 在,上单调递增，在,上单调递减.而，因此 的图象关于直线 对称，则. 方法二：, ,所以,D正确. 14．投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列如表所示. 甲种股票： 收益元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙种股票： 收益元 0 1 2 概率 0.3 0.3 0.4 （1） 如果有人向你咨询想投资其中一种股票，你会给出怎样的建议呢？ （2） 在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，假设两种股票的买入价都是每股1元，某人有10 000元用于投资，请你给出一个投资方案，并说明理由（结果保留整数）. 【答案】 （1） 解：甲种股票每股收益的均值为,乙种股票每股收益的均值为, 甲种股票每股收益的方差为, 乙种股票每股收益的方差为. 因为,,所以甲、乙两种股票每股收益的均值相等，乙种股票每股收益更稳定，所以建议投资乙种股票. （2） 设投资甲种股票 元，则投资乙种股票 元，则， 而，当 时，取得最小值，所以应当投资甲种股票约3 485元，投资乙种股票约6 515元. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $