专题3 提升点6 立体几何中的截面及动态问题 专题强化训练-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题强化训练 ［A 基本技能］ 1．如图，在正方体中，为底面上的动点，于点，且，则点的轨迹是（ ） A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】A 【解析】选A.连接（图略）,由题意知，，则点 在线段 的中垂面上运动，从而与底面 的交线为线段. 2．[2024·新乡三模]已知球的半径为5，点到球心的距离为3，则过点的平面 被球所截的截面面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.由点A到球心 的距离为3，得球心 到过点A的平面 距离的最大值为3，因此过点A的平面 被球 所截的截面圆半径最小值为，所以过点A的平面 被球 所截的截面面积的最小值是 . 3．如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一端点在正方形内运动，则的中点形成的轨迹的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.易知 平面， ，取线段 的中点（图略），则，所以点 的轨迹是以D为球心，1为半径的 球面，故. 4．如图，圆柱的轴截面是正方形，，分别是和的中点，是的中点，则经过点，，的平面与圆柱侧面相交所得到的曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.设正方形 的边长为2，设 是的中点且点 与点C不在平面 同侧，则点 与点C关于圆柱的中心对称，由题意可知，所求曲线为椭圆. 椭圆的短轴长为2,长轴长，所以长半轴长,短半轴长,故半焦距， 所以椭圆的离心率. 5．[2024·江南十校联考]如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则（ ） A. 该截面是四边形 B. 平面 C. 平面平面 D. 该截面与棱的交点是棱的一个三等分点 【答案】D 【解析】选D.对于A，如图所示，将线段 向两边延长，分别与棱，棱 的延长线交于点，，连接，，分别与棱，交于点，，连接,,得到截面 是五边形，故A错误； 又，,, 平面，故 平面， 又 平面，故. 假设,又,, 平面,故 平面，又 平面，由于过一点作一个平面的垂线只能有一条，假设不成立，即 与 不垂直. 又 平面，所以 与平面 不垂直，故B错误； 对于C，连接,因为 平面， 平面，故，又，,, 平面，故 平面，又 平面，故，同理可得，又,， 平面,故 平面，又 与平面 不垂直， 所以平面 与平面 不平行，故C错误； 对于D，易知，所以, 所以截面 与棱 的交点 是棱 的一个三等分点，故D正确. 对于，连接,,因为 平面， 平面，故， 6．如图，在正方体中，点，分别是线段，上的动点，点是内的动点（不包括边界），记直线与所成角为 ，若 的最小值为，则点的轨迹是（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分 【答案】B 【解析】选B.如图所示，延长 交平面 的内部于点，连接，则 为直线 与其在平面 内的射影 所成的角，即直线 与 所成角 的最小值，故，从而，所以 的轨迹是以 为轴，顶点为，母线 与轴 的夹角为 的圆锥侧面的一部分，则点 的轨迹就是该部分圆锥侧面与（不包括边界）的交线，而 所在平面与轴 斜交，故点 的轨迹是椭圆的一部分. 7．（多选）如图，一个平面 斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆.若圆柱底面圆半径为,平面 与圆柱底面所成的锐二面角大小为,则下列对椭圆的描述中，正确的是（ ） A. 短轴长为 B. 离心率为 C. 焦距为 D. 面积为 【答案】ACD 【解析】选.由题意知，椭圆短轴长,而长轴长随 变大而变长且, 所以 , 故 ,焦距 , 由椭圆在底面射影即为底面圆，则 等于圆的面积与椭圆面积的比值，所以椭圆面积. 综上，A,C,D正确，B错误. 8．（多选）如图，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当为的中点时，直线与平面所成角的正切值为 B. 当时，平面 C. 周长的最小值为 D. 存在点,使得三棱锥的体积为 【答案】BD 【解析】选.对于A，如图1所示，当 为 的中点时，取 的中点，连接，，易知， 平面，则 平面，故 为直线 与平面 所成的角， 则，故A错误； 对于B，如图2所示，当 时，延长 交 于点， 此时， 所以，， 所以. 又，所以四边形 是平行四边形， 所以,即. 因为 平面， 平面， 所以 平面，故B正确； 对于C，当点 与 重合时，易知，，此时 的周长为，显然有,故C错误； 对于D，取 的中点，连接（图略）. 易知 平面，，若三棱锥 的体积为，即，所以，所以. 因为，所以存在点，使得三棱锥 的体积为，故D正确. 9．如图，在棱长为1的正方体中，是截面上的一个动点（不包含边界），若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】如图所示，连接，若，则 在平面 上的射影在 上，所以 的轨迹为（不包含端点），的最小值为 到 的距离，连接，过点 作 于点，因为，且，，所以，故 的最小值为. 10．在正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面 ，记平面 与平面的交线为，则与所成角的大小为________. 【答案】 【解析】如图所示，连接,,因为平面 平面 ，平面 平面，平面 平面，则. 在正方体 中，易证 平面，而 平面,故，所以，即 与 所成角的大小为. 11．如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5.若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为__. 【答案】10 【解析】如图所示，连接，，因为 是圆柱下底面圆 的直径，所以，又因为，,, 平面，所以 平面，设过 的母线与上底面的交点为，过 的母线与上底面的交点为，连接，因为 平面， 平面，所以， 因为，， 平面，所以 平面，所以点 在平面 内，又因为点 在圆柱的表面，所以点 的轨迹是矩形（不包含点）， 依题意得，，，所以， 所以矩形 的面积为. 故点 的轨迹所围成图形的面积为10. 12．如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为______. 【答案】 【解析】由题意得平面 是边长为 的正三角形，且球 与以点 为公共点的三个面的切点恰为 三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，截面如图所示，内切圆的半径是,则所求的截面圆的面积是. ［B 综合运用］ 13．[2024·甘肃高考诊断考试]（多选）已知直三棱柱内接于球，，，，点，分别为，的中点，点为侧面上一动点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 存在点，使得 平面 C. 过点作球的截面，截面的面积最小为 D. 点的轨迹长为 【答案】ACD 【解析】选.对于A，如图1所示， 设点A到平面 的距离为,因为,所以.过点 作 的垂线，垂足为点，易得，，所以，所以，又，，所以,即点A到平面 的距离为，故A正确； 对于B,如图2所示， 以点A为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.设,其中,则.设平面 的法向量为,则 即 取,得,与平面 的法向量 不平行，所以侧面 上不存在点，使得 平面，故B错误； 对于C，如图3所示， 将直三棱柱 补形为长方体，则直三棱柱的外接球即该长方体的外接球，则外接球的半径.设外接球球心为，连接，当 与过点D的截面垂直时，截面的面积最小.取 的中点，连接，，则，， 平面，所以，则过点D作球的截面，截面圆的半径的最小值为，所以截面的面积最小为 ，故C正确； 对于D，如图4所示， 过点 作，交 于点，连接，则.又，，， 平面，所以 平面，又 平面,则，所以，则点 的轨迹是以点 为圆心，为半径的半圆弧，点 的轨迹长为 ，故D正确. 14．[2024·湖北七市州联考]（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】选.如图所示，对于A，分别取，的中点，，连接，，，则由正方体的性质可得，.因为， 平面，， 平面，所以 平面，平面.又， 平面，，所以平面 平面，所以点 的运动轨迹为线段，即动点 轨迹的长度为，故A正确; 对于B，,易知当点 与点 重合时，取得最小值，即,所以,故B正确； 对于C，当 为线段 的中点时，因为，所以. 又,所以，故C错误； 对于D，，易知当点 与点 重合时，取得最大值，连接，，，，所以.由正方体的性质知，所以 为直角三角形，易知点 在平面 上的射影为 的斜边 的中点，设为，连接，则三棱锥，即三棱锥 的外接球的球心 在直线 上，设球 的半径为，易知，，则由,得，所以球 的表面积 ，故D正确. 15．（多选）已知在棱长为1的正方体中，点为底面上的动点，则（ ） A. 当点在对角线上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当点在对角线上运动时，异面直线与所成角可以取到 C. 当点在对角线上运动时，直线与平面所成角可以取到 D. 若点到棱的距离是到平面的距离的两倍，则点的轨迹为椭圆的一部分 【答案】AB 【解析】选.对于A，当点 在对角线 上运动时，， 平面， 平面， 故 平面，从而点 到平面 的距离为定值，从而三棱锥 的体积为定值，即三棱锥 的体积为定值，故A正确； 对于B,如图，以D为原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则,，，，，，，， 因为点 在对角线 上运动，所以设,则，，假设存在点 满足异面直线 与 所成角为， 则有,解得, 所以异面直线 与 所成角可以取到，故B正确； 对于C，如图，连接，则，，， 则，，所以,,易得 平面,所以平面 的一个法向量为， 令,无解,即直线 与平面 所成角取不到，故C错误； 对于D，易知点 到棱 的距离为点 到点A的距离，所以在平面 内，动点 到定点A的距离与到定直线 的距离之比为2，则动点 的轨迹为双曲线的一部分，故D错误. 16．在正方体中，以点为球心，棱为半径的球将正方体截为（含球心的部分）和两部分，则四边形被球截得的区域面积与的表面积的比值为________. 【答案】 【解析】设正方体的棱长为1，由题可知 为球的， 如图，连接，，则 在平面，平面，平面 上的形状都为 圆，故 的表面积为. 接下来确定四边形 被球 截得的区域的形状，先把四边形 看作平面，则平面 被球 截得的形状为圆. 连接，设 交 于点，则，， 又 平面， 平面，故， 因为， 平面，,所以 平面， 又 为球心，所以截得的圆周上的点到 的距离都相等，从而到 的距离都相等，所以 为截面圆的圆心， 所以球 被平面 截得的形状为以 为圆心，为半径的圆. 所以球 被四边形 所截得的交线为四边形内的一段圆弧和线段，又线段 过圆弧的圆心，所以球 被四边形 所截得的形状为以 为圆心，为半径的半圆，故四边形 被球 截得的区域面积与 的表面积的比值为. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $