专题3 提升点5 球的切、接问题 专题强化训练-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题强化训练 ［A 基本技能］ 1．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.如图画出圆柱的轴截面，为球心.球的半径，球心到圆柱底面圆的距离为. 所以底面圆半径, 又圆柱的高,故圆柱的体积. 2．某正三棱柱的侧棱长是4，底面边长是，且每个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.因为正三棱柱底面边长为，所以底面三角形外接圆半径,又正三棱柱的侧棱长为4，即正三棱柱的高, 所以球 的半径, 所以球 的表面积 . 3．如图，几何体 为圆柱和圆锥的一个组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，，若该几何体 存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），已知，则该组合体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.设该组合体外接球的球心为，半径为，则. 所以圆柱的底面半径,则该组合体的体积 . 4．已知某正三棱台的所有顶点都在半径为5的球面上，若该正三棱台的上、下底面边长分别是和，则该正三棱台的高为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】选D. 如图所示，设该正三棱台为，其上底面外接圆为,下底面外接圆为,连接，，， 则 , , 又球的半径为5，所以球心即下底面外接圆的圆心，连接，则，所以，则该正三棱台的高为4. 5．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.如图所示，连接，，设正三棱锥 的底面边长为,高为,圆柱的外接球半径为，则圆柱的高为, 所以 的外接圆的半径为,所以圆柱的底面圆半径为, 则, 又, 所以,所以. 设正三棱锥 的外接球的半径为,则球心到底面距离为, 由勾股定理得,得,故. 6．[2024·聊城二模]已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为,,半球与圆柱的体积分别为，，则当的值最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A. 如图所示，设圆柱底面半径为,高为,半球 的半径为, 则,，,,, 所以 , 当且仅当 时等号成立，此时, 所以. 7．在正四棱锥中，，，则该四棱锥内切球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.如图所示， 过点 作 平面，则 为正方形 的中心，连接，因为，所以，所以，则四棱锥 的体积,四棱锥 的表面积.设四棱锥 内切球的半径为,内切球的球心为，由，可得，即,解得,故四棱锥 内切球的表面积是. 8．已知一个正六棱锥的所有顶点都在同一个球的球面上，六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.如图，在正六棱锥 中，连接，，，并交于点，则点 为正六边形 的中心，连接，则 平面,该六棱锥的外接球球心 在 上，连接. 因为 平面，所以，由题意可知，，所以. 设该正六棱锥外接球的半径为，则，所以， 在 中，，所以，解得, 所以所求球的表面积为. 9．[2024·南宁适应性测试]如图，若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积的比值为________，体积的比值为________. 【答案】； 【解析】设球 的半径为，则球的表面积，圆柱的表面积，所以，. 10．[2024·安庆二模]已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面直径.圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点，则该圆锥的表面积为______. 【答案】 【解析】画出圆锥的轴截面如图所示，由 为圆锥的内切球球心， 则有 为 的角平分线，为 的角平分线，由 为圆锥的外接球球心，则，故， 故，又，故 为等边三角形，故，则圆锥的表面积 . 11．[2024·湖北十一名校联考]如图1，在矩形中，，，，分别是，的中点，将四边形沿折起，使得二面角的大小为 ，如图2，若连接,,，,则三棱锥的外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】如图，易知，，所以二面角 的平面角为 ，所以，，两两垂直，三棱锥 可补形为长方体，故三棱锥 的外接球即长方体的外接球，其直径，则外接球的表面积 . 12．[2024·武汉五调]已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为________. 【答案】 【解析】如图，为内切球球心，，分别为正四棱台上、下底面的中心，为内切球与正四棱台侧面的切点，过点，，作出正四棱台的截面，设上底面边长为,,则下底面边长为,则，， ，， 故 ，在 中，，则由射影定理，，得,解得（负值已舍去）, 于是正四棱台的上底面面积为,下底面面积为,高为2,故该正四棱台的体积. ［B 综合运用］ 13．[2024· 金丽衢十二校联考]在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.如图所示，记球心为，则 为 中点，取 中点为，中点为，连接，，，, 则,,记外接球半径为, 在 中，，，， 在 中，，， 在 中，， 在 中，，，所以 与 所成角为，即， 所以，解得,所以该外接球的表面积为 . 14．[2024·菏泽三模]在三棱锥中，，，，，为的中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.如图，设三棱锥 外接球的球心为，的外接圆圆心为，连接，，，，，，， 因为 ，为 的中点，， 所以，为 的外心， 由，为 的外心，得D，，三点共线，且. 由题意得 平面， 平面，则，故直线 与平面 所成角为 的余角，所以， 所以. 在 中，由题设可得， ，由正弦定理得，， 所以，所以在 中，，所以三棱锥 外接球的表面积 . 15．[2024·滨州二模]（多选）如图1，在边长为4的正方形中，为的中点，为的中点.若分别沿，把这个正方形折成一个如图2所示的四面体，使，两点重合，重合后的点记为，则在四面体中，下列结论正确的是（ ） A. B. 到直线的距离为 C. 三棱锥外接球的半径为 D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】选.对于A，翻折前，， 则有翻折后，， 因为,， 平面， 所以 平面，又因为 平面，所以，故A正确； 对于B，又，即 为等边三角形，所以， 在平面 中过点 作，则， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 所以，， 所以，，所以 到直线 的距离为，故B错误； 对于C,由正弦定理得，外接圆的半径， 设三棱锥外接球的半径为， 因为 平面，所以,所以，即三棱锥外接球的半径为，故C正确； 对于D，由，设直线与所成的角为 , 则， 所以直线与所成角的余弦值为，故D错误. 16．[2024·长沙适应性考试]已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为__________. 【答案】 【解析】 设正四棱锥 底面的边长为,高为,所以正四棱锥的体积,则. 如图，连接，记 的中点为， 连接，则 底面，正四棱锥 外接球的球心 在直线 上. 连接.设外接球的半径为， 则，又,, 所以， 即, 得, 因为,所以. 令,，则, 令,得,当 时，,当 时，, 所以函数 在 上单调递减，在，上单调递增， 所以当 时，半径 取得最小值，且最小值为，所以球 体积的最小值为 . 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $