专题3 第2讲 空间点、线、面的位置关系 专题强化训练-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题强化训练 ［A 基本技能］ 1．[2024·邯郸调研]已知 ， 是两个平面，，是两条直线，且 ， ， ，则“”是“ ”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】选A.用平面 代表平面 ，平面 代表平面 ，当 如图所示时，显然 与平面 不垂直，反之，当 时，又 ，根据线面垂直的性质有，所以“”是“ ”的必要不充分条件. 2．[2024·全国甲卷]设 , 为两个平面，，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则 或 ②若，则 或 ③若 且 ，则 ④若与 ， 所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】选A.，则 ， ，对于①，若，则 或 ，①为真命题；对于②，若，则可能 或 与 相交，②为假命题；对于③，若 且 ，则，③为真命题；对于④，与 所成角可以为,内的任意角，④为假命题. 3．如图所示，四棱锥的底面为正方形， 底面，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平面 平面 D. 【答案】D 【解析】选D. 底面，在平面 内的射影 与 垂直，则，A正确；在平面 内的射影 与 垂直，则，B正确；由,,, 平面,且,可得 平面，且 平面，所以平面 平面，C正确；若，则 垂直 在平面 内的射影，这不符合题意，D不正确. 4．如图，在三棱柱中，侧棱 底面，是正三角形，是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. 与为异面垂直 D. 平面 【答案】C 【解析】选C.对于A，因为， 平面， 所以 与 共面，故A错误； 对于B，若 平面， 平面，则，即 为直角三角形，所以 为直角三角形，与已知 是正三角形相矛盾，故B错误； 对于C，因为 平面，，所以 与 为异面直线，因为 为正三角形，为 的中点，所以，因为，所以，故C正确； 对于D，直线 平面，又，所以直线 与平面 相交，故D错误. 5．（多选）在正方体中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】AD 【解析】选.对于A，如图，连接，则 为 的中点，所以，故A正确；对于B，易知 为等边三角形，所以 ，又，所以 ，故B错误；对于C， 平面，而平面 平面，则 和平面 相交，故C错误；对于D，因为，，，， 平面，所以 平面，又，所以 平面，故D正确. 6．如图所示，在斜三棱柱中， ，，则在平面上的射影在______（填序号）. ①直线上；②直线上； ③直线上；内部. 【答案】① 【解析】因为 ，所以，又，，, 平面,所以 平面，又 平面，所以平面 平面，又平面 平面，所以点 在两平面的交线上，即. 7．如图，为所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，________. 【答案】 【解析】如图，连接 交 于点，连接.因为，为 的中点，所以，因为 平面，平面 平面， 平面，所以，所以. 8．如图，在四棱锥中， 底面，，，，，点为棱的中点. 求证： （1） ； （2） 平面； （3） 平面 平面. 【答案】 8．证明： 依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系，如图， 可得,，，，，. （1） ，， 故，所以. （2） 因为 平面， 平面，所以，又,，， 平面， 所以 平面， 所以 为平面 的一个法向量，而，所以，又 平面，所以 平面. （3） 由（2）知平面 的一个法向量为，，， 设平面 的法向量为， 则 即 不妨令，可得 为平面 的一个法向量，且， 所以, 所以平面 平面. ［B 综合运用］ 9．[2024·武汉二调]（多选）将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为 C. 过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D. 平面 【答案】AC 【解析】选.对于A，，所以表面积为，故A正确； 对于B，如图所示, 设点D在平面 内的射影为，为 的中点，则由对称性可知 为 的重心， 所以，又因为， 所以正三棱锥 的高为， 所以题图中几何体的体积为，故B错误； 对于C，由B选项可知 平面，由对称性可知D，，三点共线，所以 平面，而 平面， 所以平面 平面，故C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系， 其中 轴//，因为，，所以，，， ，，，，0，，，，，， 设平面 的法向量为，所以 即 不妨取，解得，，所以，又，，，，0，，所以，，，而，所以 与平面 不平行，故D错误. 10．（多选）已知在直角梯形中，，，，为线段上一动点（不含端点）如图1，现将沿直线翻折，使点翻折到点的位置，如图2所示，关于翻折的过程，下列四个结论正确的是（ ） A. 存在某个位置，使直线 B. 存在某个位置，使直线 C. 存在某个位置，使直线 D. 存在某个位置，使直线 平面 【答案】AB 【解析】选.在翻折过程中，当点 在平面 内的射影落在直线 上时，平面 平面，又， 平面,平面 平面，所以 平面，又 平面，所以，因此A正确；在翻折过程中，当点 在平面 内的射影落在点 处时，有 平面， 平面，故，因此B正确；连接（图略），在 中，易知，因此，无论任何位置，都不可能有，因此C不正确；假设存在某个位置，使直线 平面，则有，即 ，此时，设，则，，，矛盾，因此D不正确. 11．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形， ，，.点为棱的中点，点为棱上一点，且，平面 平面.证明： （1） 平面； （2） 平面. 【答案】 （1） 证明：由题意知， ，则在 中，由余弦定理，得，在 中， ，由余弦定理可知， 可得，由，得 ，所以.又平面 平面，且平面 平面， 平面， 所以 平面. （2） 由（1）可知.取棱 的中点，连接，， 因为 为棱 的中点，所以，且. 又，所以， 所以四边形 为平行四边形，所以. 又 平面， 平面， 所以 平面. 12．如图1，2，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，点是上的点，且.将，分别沿，折起，使，两点重合于点，连接，，,. （1） 求证：； （2） 试判断与平面的位置关系，并给出证明. 【答案】（1） 证明：易知折叠前，，所以折叠后，，又，， 平面，所以 平面，而 平面，所以. （2） 解： 平面.证明如下： 连接 交 于点，连接，在正方形 中，连接 交 于点，如解析图1，解析图2所示. 则， 所以， 又，即，在 中，， 所以. 又 平面， 平面，所以 平面. ［C 素养提升］ 13．（多选）如图1，半圆的直径为4，点，三等分半圆，，分别为，的中点，将此半圆以为母线卷成如图2所示的圆锥，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 三棱锥与公共部分的体积为 【答案】ACD 【解析】选.对于A，设卷成的圆锥的底面圆半径为,则 ，解得,由题意知点B，C为卷成的圆锥的底面圆周的三等分点，所以 为等边三角形，则,所以，又点，分别是，的中点，所以，故A正确. 对于B，连接（图略），因为 是边长为 的等边三角形，是腰长为2的等腰三角形，点D是 的中点，所以，,因为,所以 与 不垂直，不垂直于平面，故B错误. 对于C，易知， 平面， 平面，所以 平面，故C正确. 对于D，设,交于点，连接 并延长（图略），则由对称性可知 必定交 于点D，连接（图略），则三棱锥 与三棱锥 公共部分即三棱锥，因为点，分别是，的中点，所以 为 的重心，所以,由上述分析知，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的高为，所以,所以三棱锥 与三棱锥 公共部分的体积为，故D正确. 14．[2024·郑州质检]（多选）已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点， ，在平面内的射影为点，在平面内的射影为点，则（ ） A. ，，两两垂直 B. 在平面内的射影为的中点 C. ，，三点共线 D. 形如三棱锥的容器能被整体装入一个直径为2.5的球 【答案】ACD 【解析】选 选项，因为D，分别为，的中点，所以，因为 ，所以，故， 取 的中点，连接，，因为，，所以，， 又，， 平面，所以 平面，又 平面，所以,又,, 平面，所以 平面， 因为， 平面，所以，，又，，故，又，所以，得，所以，，两两垂直，A正确； B选项，由题意得，不重合，过点 作，交 于点，因为 平面，所以 平面， 且，D不重合，故 在平面 内的射影不为 的中点，B错误； C选项，三棱锥 为正三棱锥，故点 为等边三角形 的中心，故C，，三点共线，C正确； D选项，因为，，两两垂直，故三棱锥 的外接球即为以，，为棱的正方体的外接球，故外接球直径为，而，故形如三棱锥 的容器能被整体装入一个直径为2.5的球，D正确. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $