专题9 考点21 空间点、线、面之间的位置关系 题组2 -【高考密码】备战2025年高考数学2020-2024五年真题分类汇编

专题九立体几何 题组二 用时： 易错记录： 一、选择题 二、解答题 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC- 6.(2024·新课标I卷)如图，四棱锥P-ABCD中， ABG的体积为号，AB=6,AB=2,则AA PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB =√3. 与平面ABC所成角的正切值为 A号 B.1 C.2 D.3 2.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为 D P,底面圆心为O,AB为底面直径，∠APB 120°，PA=2,点C在底面圆周上，且二面角P AC0为45°，则 () A.该圆锥的体积为π (1)若AD⊥PB,证明：AD∥平面PBC; B.该圆锥的侧面积为4√3π (2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为 C.AC=2√2 D.△PAC的面积为√3 受求AD 3.(2022·全国乙卷·理)在正方体ABCD- A1B1CD中，E,F分别为AB,BC的中点，则 ( A.平面B1EF⊥平面BDD B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF/平面A1AC D.平面B1EF//平面A1C1D 4.(2022·浙江卷)如图，已知正三 棱柱ABCA1B1C1,AC=AA, E,F分别是棱BC,AC1上的 点.记EF与AA1所成的角为 a,EF与平面ABC所成的角为 B,二面角FBCA的平面角为 y,则 A.a≤≤Y B.≤a≤y C.sy≤a D.a≤y≤3 5.(多选)(2020·山东适应性 D 考试)如图，正方体ABCD A1B1CD1的棱长为1，E, F,G分别为BC,CC1,BB1 的中点，则 () A.直线D1D与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行 C.平面AEF裁正方体所得的截面面积为 8 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 65 五年高考真题分类集训 数学 7.(2023·全国甲卷·理) G 9.(2021·上海卷)如图，在长方 在三棱柱ABC-A1B1C 体ABCDA1B1C1D1中，已知 中，AA1=2,A1C⊥底面 AB=BC=2,AA1=3. ABC,∠ACB=90°，A1到 (1)若点P是棱A1D1上的动 平面BCC1B1的距离 点，求三棱锥VPADC的体积： 为1. (2)求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小. (1)求证：AC=A1C: (2)若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平 面BCC1B1所成角的正弦值. 8.(2023·天津卷)三棱台ABCA1B1C1中，若 A1A⊥面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2, AC=1,M,N分别是 A 10.(2020·江苏卷)在三棱柱 BC,BA中点. ABG-A BC 中， (1)求证：A1N∥平 AB⊥AC,B1C⊥平面 面CMA; ABC,E,F分别是AC, (2)求平面C1MA与平面 B1C的中点. ACC1A1所成夹角的余 (1)求证：EF∥平面AB1C1: 弦值： (2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1. (3)求点C到平面C1MA的距离. 66五年高考真题 分类集训 数学 所以AC1平面BED. 题组二 由于ACC平面ACD,所以平面BEDI平面ACD 1.B 补形法 设正三校台ABC一 (2)依题意AB-BD-BC-2. ACB-60*,三角形ABC是 A.B.C 的高为h,三条制核延长后交 等边三角形, 于一点P,作PO1平面ABC于点O. 所以AC-2.AE-CE-1.BE-/3. PO交平面A:BC.于点O.,连接OA. 由于AD-CD,AD)CD,所以三角形ACD是等腰直角三角 O.A.,如图所示.由AB-3AB,可 形,所以DE-1. 得PO-}P-}h.. S△a DE*+BE-BD,所以DE BE, 由于ACOBE-E.AC,BEC平面ABC,所以DE 平 -2.× 面ABC. 由子△ADB2△CDB,所以乙FBA-乙FBC, 1BF-BF 由于 乙FBA=FBC,所以△FBA△FBC. A.B.C.的体积V-V-Aac-Vp-Aac-x9/③x3} AB-CB 所以AF-CF,所以EF AC. -}4,_、由 由于Sc-·1ACl·|EFl,所以当EF最短时,三角 形AFC的面积最小值. 正三校台的性质可知,O为底面ABC的中心,则OA-× 过E作EFBD,垂足为F, --2③,因为PO 平面ABC,所以 PAO是AA 在R△BED中 ·BE·DE·BD·IEF. 得1EFl- 1.故选B. 2.AC 因为 APB-120°,PB-PA -2.所以PO-1.AO-3.取线段 #行 AC的中点M,由OA一OC可知OM IAC.又PA-PC,所以PM AC. 所以乙PMO为二面角P-AC-O的平 过F作FH1BE,垂足为H,则FH/DE,所以FHI平 面ABC. 面角,即 PMO-45*,则an PMO 积S-π·OA·PA-2 ③π.故B选项错误:对于C,AC= $AM-22,故C选项正确;对于D,因为AC-2v②,所以 A PA+PC^{}一AC^{},所以 APC一90”(提示:勾股定理的逆定 --3 理),所以Spac--PA·PC-2,故D选项错误,故选AC. 以F_1一# 3.A 在正方体ABCDA.BC.D.中. AC1BD且DD。1平面ABCD. 所以VrAn-·$A·FH-x2x寻 又 EFC平面ABCD,所以EF1DD. 因为E,F分别为AB,BC的中点. 所以EF/AC,所以EFIBD. 又 BDODD-D. 15.解:(1)证明:如图,过点D作DO1AC. 所以EF1平面BDD. 交直线AC于点O,连接OB. 又 EFC平面BFF. 由乙ACD-45*,DO1AC得CD= 所以平面B.EF1平面BDD.,故A正确; ②CO,由平面ACFD平面ABC得DO 如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,设AB一2, 1平面ABC,所以DO]BC. 由/ACB-45”BC-CD-CO得 D 1C BO1BC 又:BO.DOC平面BDO.且BO门DO-0. 所以BC1平面BDO,故BC1DB. 由三校台ABCDEF 得BC/EF,所以FF DB. (2)如图,过点O作OH BD,交直线BD于点H,连 接CH. 由三校台ABC一DEF得DF/CO.所以真线DF 与平面 DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角. 则B.(2.2.2),E(2.1.0).F(1.2.0).B(2.2.0).A(2.0.2). 由BC 平面BDO得OH 1BC,故OH1 平面BCD,所以 A(2.0.0).C(0.2.0).C.(0.2.2). 乙OCH为直线CO与平面DBC所成角. 设CD-2/2 则EF-(-1.1,0),EB-(0.1.2),DB-(2.2.0).DA (2,0.2). 由 O=OC-2,BO-BC-②,得BD-,OH-23 AA-(0.0.2)AC-(-2.2.0).AC-(-2,2.0). 设平面BEF的法向量为n一(r,y,). [m1Ef---:+y=0 ,可取词-(2,2,-1). 同理可得平面ABD的法向量为a-(1,-1,一1), 166 详解答案 平面AAC的法向量为n-(1,1,0). 可取n-(2,0,-a). 平面ACD的法向量为n=(1,1,-1). 第3步:得出平面ACP的一个法向量 则n·n-2-2+1-1 0, 设平面ACP的法向量为m-(x.,,). 所以平面B.EF与平面A:BD不垂直,故B错误: [nCp=o* a- 4-a”y+2=0 因为m与n。不平行, 则 所以平面B.EF与平面A:AC不平行,故C错误: 因为m与n。不平行, 可取m-( 4-a,a,o). 所以平面B.EF与平面A.C.D不平行,故D错误. 故选A. 第4步:根据二面角A一CP一D的正弦值列方程 4.A 如图,过点F作FGAC于点G,过 “二面角A-CP-D的正弦值为12. 点G作GH BC于点H,连接FH,FG. 7 FC 易得 FGAA..'。 GFE,FG 平面ABC...FG GH,FG IEG.FG 1 BC..GH 1BC.FG I BC.FGOGH= 故 cos(n,aì-·|n In.n 24- G...BC1平面FGH...BCIFH..FG I平面ABC,FH BC,GH]BC,平面 4-+.4+ FFCO 面BCA-BC...- FEG. 第5步:得出AD的长 EG EG FG -FHGVAAAC-FG. tan a-F-A tan-FG 又0.'-3.即AD-3. 7.解:(1)证明:如图, AC FG AC -AG tan)-GGAC.易得ACEG,EG>GH,即an .A.C底面ABC.BCC tantana.由题意,得a,a.xre[0.).v.y>a.故选A. 面ABC. '.A.C1BC.X BCIAC. A.C.ACC平面ACCA.AC 5. BC 连接AD..D F,则AD /EF,平面AEF即为平面 OAC-C. AEED..显然DD 不直于平面AEFD..'直线DD 与直 *.BC1平面ACCA.又BC 线AF不垂直,故选项A错误. C平面BCC.B. 'A. G/D F.A.G平面AEFD ..'A.G/平面AEFD,即 .平面ACCA A.G/平面AEF,故选项B正确。 面BCCB. 平面AEF载正方体所得截面为等腰梯形AEFD.,易知梯形 过A.作A.O)CC.交CC.于O,又平面ACCA门平面 #AEFD.的积为$(+2)3#故选 C# BCC.B-CC.AOC平面ACC;A. '.A.O平面BCCB 正确 .A. 到平面BCC.B.的距离为1...A.O-1; 记点C与点G到平面AEF的距离分别为h..h..'Vc-ar 寻·$r·V-寻x)- 在R△A.CC 中,ACIAC.CC.=AA=2. 设CO-x.则C0-2-x. .△AOC.△AOC.△ACC 为直角三角形,且CC=2. +AG=ACAO+O$=CAAC+AC=CC ,1++1+(2-r)-4,解得x-1, '.AC-AC-AC -2'AC-AC 6.解:(1)第1步:证明AD1AB (2)AC-A.C.BC IA.C.BC]AC 由于PA1底面ABCD,ADC底面ABCD.',PAIAD. '.R:△ACB:R:△ACB 又AD PB,PAPB=P.PA,PBC平面PAB.'AD平 ..BA-BA. 面PAB. 过B作BDIAA,交AA 于D,则D为AA;中点, 又ABC乎面PAB...AD AB 由直线AA;与BB。距离为2,所以BD-2 第2步:证明ABIBC,得出BC/AD 'AD1.BD-2. AB-AB-5. .AB+BC=AC..'$ABBC.'.BC/AD. 第3步:证明AD/平面PBC 在Rt△ABC.BC-AB-AC-3. *ADC平面PBC,BCC平面PBC...AD/平面PBC. 延长AC.使AC一CM.连接C.M: (2)第1步:建系,设出点A(a,0.0),写出相关向量的坐标 由CM/AC.CM-AC 知四边形A.CMC. 为平行四 由题意知DC,AD,AP两两垂直,以D为坐标原点,AD所在 边形. 直线为x轴,DC所在直线为y轴,过点D且平行于AP的直 '.C.M/A.C...C.MI平面ABC,又AMC平面ABC. 线为:轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),设 .C.MIAM A(a,0.0),a>0.则CD- 4-a^{,.c(0.v4-a^{,0).P(a,0. 则在Rt△AC.M中.AM-2AC.C M-A.C 2).CD-(o.- 4-a.o).Ac-(-a. 4-a?.o).cP- 'AC-/(2AC)+AC. (a.-v4-a,2). 在RABC 中,AC-(2AC)+ACBC=BC- *AB-(2v②)+②)+③)-13. 又A到平面BCC,B. 距离也为1. 所以AB:与平面BCC.B:所成角的正弦值为 1 1 8.解:(1)证明:连接MN.C.A.由 M.N分别是BC,BA的中点,根 据中位线性质,MN/AC.且MN 第2步,得出平面CPD的一个法向量 设乎面CPD的法向量为n一(x,y.z). 由台性质,AC/AC,于是 MN/AC.由MN-AC -1 则 可知,四边形MNA.C。是平行四 r- 4-ay+2-0 167 _ 五年高考真题 分类集训 数学 边形,则A.N/MC.. ABCDA B CD 中 AB-BC-2 又A. N平面C.MA,MC.C平面C.MA,于是A.N/平 面C.MA. (2)过M作MEIAC,垂足为E,过E作EF IAC,垂足为 F.连接MF.C.E. 由MEC面ABC,A.A面ABC,故AA.IME,又ME1AC. ACOAA =A.AC,AA. C平面 ACCA,则 ME 平 面ACCA. 由ACC平面ACCA,故 MELAC ,又 EF IAC,ME O EF=E,ME,EFC平面 所以四边形A.B.C.D.为正方形, MEF,于是AC1平面MEF, 所以A.C BD,又’:AA 1平面A.BCD 由MF二平面MEF,故AC.1 OB.C平面A.BCD..OB 1AA MF.于是平面C.MA与平面 又OB 1AC..AAOA.C=A..'OB 1平面ACCA ACC.A: 所成角即乙MFE. 连接OA,AB.OAB.即为直线AB 与平面ACCA.所成 又ME-AB二1. 的角,B-22-- AB-③+2-vT3. coCAc-. 5 /5 10.证明:(1D)因为E.F分别是AC,BC的中点, 所以EF/AB. 在Rt△MEF中,MEF-90,则MF- 又EF平面AB.C,AB.C平面ABC. 于是coZMrFRHMF} 所以EF/平面ABC. (2)因为B.C1平面ABC,ABC平面ABC. (3)法一:几何法 所以B.C1AB. 过C 作C.PAC,垂足为P. 又AB1AC,B.CC平面ABC. 作CQAM,垂足为Q.连接 ACC平面AB.C.B.COAC-C. PQ.PM.过P作PRIC.Q.垂 所以ABI平面ABC. 定为R. 又因为AB二平面ABB. 由题干数据可得,C.A-CC一 所以平面ABCI平面ABB。 .CM=vCP+PM{ 考点22 空间向量与立体几何 -5. 题组一 根据勾股定理,CQ一 1.解:(1)第1步:利用勾股定理求AO.PO B ##()# 在正四校锥P一ABCD中,底面ABCD为正方形,且PO1底 面ABCD...△AOD为等腰直角三角形,又AD-3/②. .AO-3. 由C.PI平面AMC,AMC平面AMC,则C.PIAM,又C.Q IAM.C.QOCP=C.CQ.CPC平面C.PQ.于是AMI 'AP-5..P0-AP-A0-4. 平面C.PQ. 第2步:求旋转体体积 又PRC平面C.PQ.则PR1AM,又 PRC.Q.C.QOAM '.Rt△AOP绕直角边PO旋转一周形成的几何体是底面半 Q.CO.AMC平面C.MA:效 PR 乎面CMA. 径为3,高为4的园错, &旋转体的体积为V-×x×3{×4-12x. PC.Po2.2 在R△CPO中,PR QC: (2)第1步:找线面垂直,定线面角 又CA一2PA,故点C到平面C.MA的距离是P到平面 C.MA的距离的两倍, 即点C到平面C.MA的距离是. 法二:等体积法 辅助线同法一 如图,连接OE. 设点C到乎面C.MA的距离 “?AP一AD-AB,E为PB的中点,..PB AE, 为h. 同理:PB CE,又AFOCF-E,AF.CFC乎面AFC .PB平面AEC. .乙BOE是BD与平面AEC所成的角. ##×#)#)-# 第2步:计算线面角的大小 设AP-AD-2,则BO-②.BE-1. VC_-xhxs- 在△BPD中,EO分别为BP,BD的中点.EO-PD- ##### (1 Ap-1. #由#V--V-一----# .△BEO是等腰直角三角形..乙BOE-吾.即BD与平面 9.解:(1)V-o-.Sn·-x2x3-2. AEC所成角的大小为哥. 2.解:(1)解法一(利用线面平行判定定理) (2)连接A.C 与B.D.交于点O.连接AC,如围因为长方体 第1步:证四边形 BCDM为平行四边形 168