专题2 真题解构与重构 数列-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

真题解构与重构 数 列 数列是高中数学教学的主要内容之一，也是每年高考的必考试题，选择题、填空题与解答题都是其主要题型.从高考试题可以看出，基本上是一大一小，小题表现在基本量的运算，大题呈现通项公式与前项和及其相关的关系.当难度不大时，试卷一般设置在第15题的位置,当难度略大或综合性较强时，会往后放置.作为数列真题，主要考查等差数列或等比数列的定义、公式、性质、通项公式与前项和及相关的知识，有时也会与数学文化和其他知识交汇出现，主要考查数学运算、逻辑推理等核心素养，常用化归与转化思想及函数与方程思想加以解决.下面对2024年全国甲卷（理）第18题数列问题进行解构与重构,激活真题功能，有效复习数列的相关知识，助力高考复习. ［真题呈现］．[2024· 全国甲卷（理）]记为数列的前项和，已知． （1） 求的通项公式； （2） 设，求数列的前项和． ［真题分析］ 试题以数列的第项与前项和的关系为载体，以为转化手段，从而进行数列判断与求解.试题考查等比数列的定义与通项公式和错位相减法求和问题. 考查数学运算、逻辑推理等核心素养，考查特殊与一般，化归与转化，函数与方程思想.一般地，数列求和有下列三种最常见的情况. （1）等（比）差数列的求和，直接利用求和公式. （2）等差数列裂项求和，即若是等差数列，且，则. （3）等差×等比型数列求和，即若是等差数列，是等比数列（一般公比都不为1）. 则的前项和,① 乘公比错位,② 两式相减提公差, 等比数列求和, 化简结果（可以继续合并运算）. 【答案】 （1） ［规范解答］解：因为，① 当 时，由 得，所以， 注解① ［关键步骤］①对于与的关系，首项隐于其中，用可求出 ，② ①-②， 注解② ②当时，是寻找与关系的重要手段 所以数列 是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2） 因为， 所以， 所以， 注解③ ③乘公比错位是求{等差×等比}数列前项和的关键 两式相减得,所以. ［源头与活水］ 类别 教材题（选择性必修第二册 练习 与 ） 考题 关联特征 条件 ① 系数变化 ② 都是等差×等比 问题 ① 求 求 都是求通项公式 ② 求前项和 求前项和 都是求{等差×等比}的前项和 ［真题解构］ 解构1．（多选）已知数列的通项公式,前项和为，则（ ） A. 是公比为的等比数列 B. C. 为常数 D. 数列{是等差数列 【答案】ACD 【解析】选.对于A，由 得,. 故 是首项为4，公比为 的等比数列，A正确； 对于B，由上知,B错误； 对于C，由上知,C正确； 对于D，设,所以数列，即数列{是等差数列，D正确. 解构2．已知等比数列的前项和，对于一切均有. （1） 求 ， 与的值; （2） 若数列的前项和为，求常数与的值. 【答案】 （1） 方法一：解：由 得， 当 时， ; 当 时，, , 所以 是公比为 的等比数列. 由题意知， 应满足, 所以 ,解得. 方法二：由 得 , , . 由 得 ,,解得. 方法三：由 知，等比数列 的公比. 所以. 与 对比得 解得 当 时，，， 代入 得 ， 即, 所以,.因此. （2） 由（1）知，， 由于数列 的前 项和为. 故数列 为常数列. 设（为常数）, 故, 即. 所以 解得 ,因此,故. ［真题重构］ 重构1．（多选）已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 以点，，为顶点的三角形面积为18 C. 当时，,,可能成等差数列 D. 【答案】ABD 【解析】选.由,①知 当 时，，即， 当 时，,② 得,即, 所以数列 是首项为4，公比为4的等比数列. 因此. 对于A，由 得,或，A正确; 对于B，记三点分别为，，，则，, 所以,B正确； 对于C，若,,成等差数列，则,即,即.由于,且,,,故. 所以, 即,,不可能成等差数列，C错误； 对于D，,D正确. 重构2．已知数列的前项和为，,,则________________________________________________________. 【答案】 【解析】由 得, 由,可得,故. 因此数列 是首项为，公差为1的等差数列，,故. 当 时，. 所以 或. 所以 重构3．若数列满足,. （1） 求的通项公式; （2） 令，若，求的最小值. 【答案】 （1） 解：由 得， 所以数列 是首项为,公比为3的等比数列， 因此，所以. （2） . 所以 . 由题意得，即. 因此 的最小值为100. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $