专题2 第2讲 数列的通项公式-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

第2讲 数列的通项公式 考情分析 备考关键 考点 由与的关系求通项公式，累加、累乘法求通项公式，构造新数列求通项公式. 考法 由递推关系求通项公式是历年高考命题常考的内容，属于中档题目，多以选择题、填空题的形式考查，解答题第一问多考查等差、等比数列的判定与证明. 构造法是求数列通项公式的一种重要方法，其总的思路是转化为特殊的数列，转化方向有：（1）构造常数列；（2）构造等差数列；（3）构造等比数列；（4）构造为可以利用累加法、累乘法求和的数列． 做真题 明方向 1．[2022·全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列，，， ，依此类推，其中.则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.依题意，不妨令，则，，,,,，,,所以，，，． 2．[2022·新高考Ⅰ卷节选]记为数列的前项和，已知,是公差为的等差数列． 求的通项公式. 解：依题意得，, , 所以, 则, 所以, 即, 所以, 即, 由累乘法得, 又,则, 所以, 又 满足上式， 综上. 研考点 破重难 考点一 由与的关系求通项公式 ［例1］ 记为数列的前项和，已知，.求： （1） ，； （2） 数列的通项公式． 【答案】（1） 【解】当 时,，得，解得（舍去）或.当 时，，得，解得 或（舍去）．故，． （2） 当 时，， 又, 所以，即．因为，所以，所以，所以数列 是首项为，公差为 的等差数列，所以. 由 与 的关系求 的思路 当已知数列满足含有,的等式时，往往用替换得到一个新的等式，然后两个等式相减，从而把前项和转化为数列的项之间的关系，再根据这个关系求解数列的通项公式. 注意 需验证是否适合,若不适合则应写成分段形式. ［对点训练］． 1．[2024·开封质量检测]已知数列的前项和,则（ ） A. 81 B. 162 C. 243 D. 486 2．[2024·徐州模拟改编]已知数列的前项和为，且,,则________________. 【答案】1．B 2． 【解析】 1．选B.方法一（公式法）：当 时，.当 时，,满足上式，所以.则.方法二（直接法）：. 2．方法一：由题意得，当 时，,可得,当 时，,所以,整理可得,即数列 是首项为1，公比为 的等比数列，则.方法二：因为当 时，,所以,即,而,即，则,因此数列 是以 为首项，为公比的等比数列，所以,则,则. 考点二 累加、累乘法求通项公式 ［例2］ （1） 已知数列满足，，则____________________. （2） 设是首项为1的正项数列，且,则________________. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 因为，所以当 时，.经检验，当 时上式也成立，故． （2） 方法一（累乘法）：将原式分解因式，得.因为 是正项数列，所以，所以,所以,所以,所以.又因为,所以,当 时也符合上式，故.方法二（逐项列举法）：由方法一，知,所以,所以.方法三（等差通项法）：由方法一，知,则数列 是首项为，公差为0的等差数列，所以,所以.方法四（等比通项法）：由方法一，知,则,则数列 是首项为，公比为1的等比数列，所以,所以. （1）型，可用“累加法”求,即. （2）型，可用“累乘法”求，即. ［对点训练］．已知数列满足,,则（ ） A. 2 023 B. 2 024 C. 4 045 D. 4 047 【答案】D 【解析】选D.因为, 所以, 即,可得, 所以. 考点三 构造新数列求通项公式 ［例3］ （1） 在数列中，若,,则____________. （2） 已知数列满足,,则__________________. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 对 取倒数得,即,所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，即,所以. （2） 对题中等式两边取以10为底的对数可得,即,又,所以数列{是以 为首项，为公比的等比数列，所以，即，即. （1）若数列满足,构造. （2）形如的数列，取倒数可得,即,构造等差数列求通项公式. （3）若数列满足，构造. ［对点训练］． 1．已知是数列的前项和，,,则__________________________________________________________. 2．已知数列满足,且,则__________________. 【答案】1． 2． 【解析】 1．因为,所以.所以 从第二项起是公比为 的等比数列，因为，所以,即,所以 2．由题意得，,两边同时除以 可得,又,所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，所以,所以. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $