专题2 第2讲 数列的通项公式 专题强化训练-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题强化训练 ［A 基本技能］ 1．已知数列满足,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.因为,则,又,所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，则，故. 2．已知数列满足，,则下列结论正确的是（ ） A. 数列是公差为的等差数列 B. 数列是公差为2的等差数列 C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公比为2的等比数列 【答案】C 【解析】选C.由,得,则,,故数列 是以 为首项，为公比的等比数列． 3．若数列满足,则称为“梦想数列”.已知正项数列为“梦想数列”，且,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.因为“梦想数列”满足,即, 所以由正项数列 为“梦想数列”，可得, 即, 又因为,所以. 4．[2024· 苏锡常镇四市调研]已知正项数列满足,若,则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】选D.当 时，; 当 时，,则,所以,又,所以（负值已舍去）,,因为,所以,因为,所以,又因为,所以,又,故. 5．（多选）已知数列，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若,,则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】选.对于A,, 则,故A正确; 对于B，因为，所以，又，所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以,故，故B错误； 对于C，因为,所以,所以,又,所以 是以1为首项，3为公差的等差数列，所以,所以,故C正确； 对于D，因为,所以，又,所以 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以,所以,故D正确. 6．[2024·广州综合测试]已知数列的前项和,当取最小值时，______. 【答案】3 【解析】当 时，由，① 知，② ，得.又当 时，满足上式，所以,所以,当且仅当,即 时等号成立. 7．如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.根据以上规律引入一个数列，满足，且.则________________________. 【答案】 【解析】因为,,所以,,易知,所以当 时，,当 时，上式也成立，所以. 8．己知数列满足，. （1） 若,求数列的通项公式； （2） 求使取得最小值时的值. 【答案】 （1） 解：, 由， 得， 即， 当 时，， 所以， 当 时，上式也成立，所以． （2） 由（1）可知，，当 时，，当 时，,当 或 时，, 则数列 在 且 上单调递减，在 且 上单调递增，又因为，所以 取得最小值时，或. ［B 综合运用］ 9．已知数列的前项和为,且满足,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.当 时，，得，当 时，，化简得,即，又，所以 是首项为4，公比为 的等比数列，所以,所以. 10．[2024·潍坊模拟]已知数列满足,.若数列是公比为2的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.方法一（累加法）：由题知,所以, 所以, 两式相减得, 所以. 方法二（构造数列法）:由题知,所以,所以,则,即，所以 是公比为 的等比数列，则, 所以， 因此. 11．已知在数列中，，，,则________________________________. 【答案】 【解析】因为，所以，又，所以 是首项为7，公比为3的等比数列， 则，① 又，，所以 是首项为，公比为 的等比数列， 则，② 由 得，,则. 12．已知是数列的前项和，，且当时，，,成等差数列． （1） 求数列的通项公式； （2） 设数列满足,若,求正整数的值. 【答案】 （1） 方法一：解：由题意知当 时,, 所以, 整理得，由, 所以， 经检验，也符合上式，故． 所以当 时，. 也满足上式，故. 方法二：由题意知当 时，,所以当 时，,两式相减得，即, 所以,所以当 时，为常数列， 又由 得， 所以,所以，即. （2） 由（1）得, 故. 由,得. ［C 素养提升］ 13．已知数列的首项，，前项和满足当时，，则数列的前项和______________． 【答案】 【解析】由 得，当 时，,当 时，， 即， 所以，所以，两式作差，得，即，所以 或，又，故， 又 也满足上式，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以数列 的前 项和． 14．[2024·南昌一模]对于各项均不为零的数列，我们定义：数列为数列的“比分数列”.已知数列,满足,且的“比分数列”与的“比分数列”是同一个数列． （1） 若是公比为2的等比数列，求数列的前项和; （2） 若是公差为2的等差数列，求. 【答案】 （1） 解：由题意知, 因为，且 是公比为2的等比数列，所以, 因为，所以数列 是首项为1，公比为4的等比数列， 所以. （2） 因为，且 是公差为2的等差数列，所以， 所以, 所以当 时，, 又 也符合上式， 所以. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $