专题2 第1讲 等差、等比数列-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题二 数列 第1讲 等差、等比数列 考情分析 备考关键 考点 等差、等比数列基本量的运算，等差、等比数列的性质、判定与证明. 考法 主要以选择题、填空题的形式考查等差数列、等比数列的基本运算、性质，解答题的第一问求数列的通项公式及等差、等比数列的判断（证明）. 1.等差、等比数列基本运算中的“整体思想与方程思想”，性质研究中的“函数思想”. 2.“定义法”证明等差、等比数列. 做真题 明方向 1．[2024·全国甲卷]记为等差数列的前项和.已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由，得，所以， 所以，公差， 所以. 2．[2024·北京卷]设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，，给出下列四个结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是____. 【答案】①③④ 【解析】对于①：由题知，是关于 的一次式，对应的函数为一次函数，即点，分别在两条斜率均不为0的直线上，而这两条直线最多有1个交点，所以 中最多有1个元素，所以①正确; 对于②：不妨取，，则有,，所以，此时 中有无数个元素，所以②不正确; 对于③：由①知点 在一条斜率不为0的直线 上．设，当公比 时，直线 与数列 对应的函数的图象至多有2个公共点，中最多有2个元素；当 时，点 在如图所示的曲线，上，由图易知直线 与曲线，至多有3个公共点，如当，时，,,,两个数列有3项相同，所以 中最多有3个元素； 当 时，易知 中最多有2个元素；当 时，易知 中最多有3个元素．综上可知，当 为等差数列，为等比数列时，中最多有3个元素，所以③正确； 对于④：若数列 为递增数列，数列 为递减数列，则它们对应的函数分别为单调递增函数和单调递减函数，两个函数图象的公共点最多有1个，所以 中最多有1个元素，所以④正确．综上可知，正确结论的序号为①③④． 3．[2024·全国甲卷]记为等比数列的前项和，已知. （1） 求的通项公式； （2） 求数列的前项和. 【答案】 （1） 解：因为， 所以， 两式相减可得, 即，所以等比数列 的公比为. 因为，所以， 故. （2） 因为，所以, 设数列 的前 项和为,则. 研考点 破重难 考点一 等差、等比数列基本量的运算 1.通项公式 等差数列:; 等比数列：. 2.求和公式 等差数列：; 等比数列： ［例1］ （1） [2024·黄山质量检测]已知是以为公比的等比数列，,,则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （2） [2024· 九省联考]记等差数列的前项和为,,,则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】（1） A （2） C 【解析】 （1） 由题得，,解得. （2） 设等差数列 的公差为,由题得 解得 所以. 破解等差（等比）数列基本量问题的关键 等差（等比）数列的通项公式及求和公式共涉及,,,,五个基本量，可以通过列方程（组），达到“五量二式，知三求二”的目的. 注意 在等比数列的前项和公式中，若不确定是否等于1，应注意分和两种情况讨论. ［对点训练］1．[2024·湖南九校联考]已知是等比数列，是其前项和.若，，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】选C.设等比数列 的公比为.由 可得,. 由，可得,化简得,所以，又因为,所以,所以. 2．[2024·蚌埠质量检测]记数列的前项和为,若是等差数列，，，则（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】选C.设 的公差为,则, 所以, 所以,所以. 考点二 等差、等比数列的性质 1.通项性质：若,则对于等差数列，有,对于等比数列，有. 2.前项和的性质 （1）对于等差数列有，，, 成等差数列；对于等比数列有,,, 成等比数列（且为偶数的情况除外）. （2）对于等差数列，有. ［例2］ （1） [2023. 新课标Ⅱ卷]记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 120 B. 85 C. D. （2） [2024·安徽六校测试]（多选）已知等差数列的前项和为,,且,则（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时，的最小值为19 【答案】（1） C （2） ABD 【解析】 （1） 方法一：设等比数列 的公比为，由题意易知,则 化简整理得 所以.方法二：易知,,,, 为等比数列，所以,解得 或.当 时，由,解得；当 时，结合 得 化简可得，不成立，舍去.所以. （2） 对于A，由题得，,由等差数列性质可得,即.因为,若公差,则，,不满足上述不等式，故,则，则,,故A正确；对于B，由A知，,,故,.则,则,又,故，即,故B正确；对于C，由,可得，, ,,，，，,故当 时，取最大值，故C错误；对于D，,,由 的单调性可得，当 时，单调递减，所以当 时，的最小值为19，故D正确. 等差、等比数列的性质问题的求解策略 抓关系 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解 用性质 数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题 ［对点训练］1．[2024·岳阳质量监测]已知为等差数列，,,则（ ） A. 6 B. 12 C. 17 D. 24 【答案】C 【解析】选C.设等差数列 的公差为, 由题知，,解得,又由， 解得，所以. 2．[2024·东北三省四市模拟]（多选）设等比数列的公比为,前项和为,前项积为,并且满足,,,则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】选.因为,,所以等比数列 的公比 且，则 没有最大值，所以D错误； 因为,,所以,且,,所以A，C正确; 因为,所以,所以B正确. 考点三 等差（比）数列的判定与证明 类别 等差数列 等比数列 定义法 通项法 中项法 前项和法 （,为常数） （为常数且,,1） ［例3］ [2024·苏州适应性考试节选]已知数列的前项和为,对任意正整数,总存在正数,,,使得,恒成立；数列的前项和为,且对任意正整数,恒成立. （1） 求正数,,的值； （2） 证明:数列为等差数列. 【答案】 （1） 【解】因为,① 所以,② 得, 即, 又,所以, 当 时，;当 时，. 因为,为正数，解得. 又因为,,且,所以. （2） 证明：因为，③ 当 时，，④ 得, 即，⑤ 方法一：又，⑥ 得, 即, 所以 为等差数列. 方法二：当 时，由， 得, 即, 所以,, 所以当 时，, 因为当 时，由 得,所以,则当 时，成立,所以,对 恒成立，所以 为等差数列. 判定数列是等差（等比）数列的关键 （1）会转化：将所给的关系式进行变形、转化，利用等差（等比）数列判定方法进行判定. （2）举反例：判定一个数列不是等差（等比）数列，只需说明某连续三项不是等差（等比）数列即可. 注意 在解答题证明数列为等差（比）数列只能使用定义法或等差（等比）中项法. ［对点训练］．[2024·长沙适应性考试]已知数列满足,且. （1） 证明：数列是等比数列； （2） 求数列的前项和. 【答案】 （1） 证明：因为,, 所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列. （2） 解：由（1）可知，, 则. 从而 . 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $