专题2 第1讲 等差、等比数列 专题强化训练-【备考最优解】2025年高考数学二轮专题复习教用word

专题强化训练 ［A 基本技能］ 1．[2024·济南三模]记等差数列的前项和为.若,,则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 【答案】B 【解析】选B.由题知. 2．[2024·甘肃高考诊断考试]在等差数列中，,是方程的两根，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】选B.因为,是方程 的两根，,所以.又因为在等差数列 中，,所以,,代入 可得,解得. 3．[2024·洛阳质量检测]已知正项等比数列的前项和为,若，且与的等差中项为，则（ ） A. 29 B. 31 C. 33 D. 36 【答案】B 【解析】选B.不妨设等比数列 的公比为, 由,可得, 因为,,所以,① 又由 与 的等差中项为 可得， 即,② 将①代入②，可得（负值已舍去）,则, 于是. 4．[2024·广州综合测试]记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】选C.方法一（基本量法）设等比数列 的公比为,由，得,又，,所以, 所以. 方法二：设等比数列 的公比为,由,得,,所以, 所以. 5．[2024·东北三校模拟]（多选）已知等差数列的首项,则下列选项中正确的是（ ） A. 若,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,则, 【答案】ACD 【解析】选.对于A，因为，所以，故A正确;对于B，因为,所以,因为,所以,所以,,所以,故，故B错误;记等差数列 的公差为,对于C，,则,所以,故C正确;对于D，因为，所以,所以,所以,,,故D正确. 6．[2024·邵阳联考]已知等差数列的前项和为.若，，则______. 【答案】9 【解析】由题得，，，所以，，所以. 7．已知数列的前项和为,若,且,则______. 【答案】2 【解析】方法一：因为,所以当 时，,得,即,所以数列 是常数列，所以,,所以,解得. 方法二：因为,所以当 时，,得,则有, 所以数列 是常数列，则, 所以, 所以,解得. 8．[2024·南京、盐城调研]设数列的前项和为,. （1） 求数列的通项公式； （2） 若数列满足,求的前50项和. 【答案】 （1） 解：由,得, 两式相减得, 即, 当 时，由,得, 所以,故 是首项为，公比为 的等比数列，故. （2） 由（1）得, 所以 . ［B 综合运用］ 9．[2024·贵阳适应性考试]设正项等比数列的前项和为,,且,,成等差数列，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.设正项等比数列 的公比为，由题意知，,即,所以,解得 或（舍去）， 则, ,所以. 10．[2024·宁波“十校”联考]已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“，，成等差数列”是“存在不相等的正整数,，使得,,成等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】选A.设数列 的公比为.因为 是公比不为1的等比数列 的前 项和，所以若，，成等差数列，则，又， 从而,化简得. 若,,成等差数列， 则，即, 所以, 故当 时，有 即“，，成等差数列”能推出“存在不相等的正整数,，使得,,成等差数列”，故充分性成立； 反之，满足 不一定是,如,,,满足,但不满足,即“存在不相等的正整数,,使得,,成等差数列”推不出“，，成等差数列”，故必要性不成立. 所以“，，成等差数列”是“存在不相等的正整数,，使得,,成等差数列”的充分不必要条件. 11．[2024·赣州模拟]（多选）已知等比数列的前项和为,,,则（ ） A. B. C. 数列为单调数列 D. 数列为单调数列 【答案】BC 【解析】选.设数列 的公比为， 由题有 解得 或 对于A，当 为偶数时，，故A错误; 对于B，因为,当 时,显然有,当 时， 因为,,所以. 综上，，故B正确; 对于C，当 时，数列 是首项为2，公比为3的递增等比数列，当 时，数列 是首项为32，公比为 的递减等比数列，故C正确; 对于D，由B知，所以, 当 时，, 此时 不具有单调性，故D错误. 12．[2024·武汉二调]已知各项均不为0的数列对任意正整数满足：. （1） 若为等差数列，求； （2） 若,求的前项和. 【答案】 （1） 解：由题意, 当，时，,两式相减得， 即,, 所以数列 是公差为2的等差数列. 在 中， 令,得, 又,所以， 所以，解得 或,若，则， 与 矛盾，舍去，所以. （2） 因为，由（1）知，当 时,所以. 而当,时，, 所以, 所以当,时，,而 时 也满足上式，综上所述，的前 项和. ［C 素养提升］ 13．线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如图所示，若图1中正六边形的边长为1，图n中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和、面积之和分别记为,，其中图n中每个正六边形的边长是图n-1中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 存在正数，使得恒成立 D. 【答案】D 【解析】选D.A选项，由题意及题图得数列 为首项为1，公比为7的等比数列，所以，故，故A错误； B选项，由题意知，，，故B错误； C选项，数列 是首项为6，公比为 的等比数列，故， 因为，所以 为递增数列，不存在正数，使得 恒成立，故C错误； D选项，分析可得，题图n中的正六边形的个数，每个正六边形的边长为，故每个正六边形的面积为，则，故D正确. 14．已知数列的前项和为,,. （1） 求证：数列是等差数列； （2） 求数列中最接近2 025的数. 【答案】 （1） 证明：. 由，得. 因为,所以 是以 为首项，为公差的等差数列. （2） 解：由（1）得,即,则, 当 时，满足上式，所以,则. 由 可知，在 上单调递增， 当 时，； 当 时，. 所以数列 中最接近2 025的数是1 980 和2 070. 第 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $